Интегралы
<<  Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла Тема: «Производная и интеграл»  >>
Производная, первообразная, интеграл и их применения
Производная, первообразная, интеграл и их применения
Производная
Производная
f (x)=(2-
f (x)=(2-
Применение производной к исследованию функций
Применение производной к исследованию функций
Применение производной в геометрии
Применение производной в геометрии
2°
Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках
Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках
Первообразная
Первообразная
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют
Свойства первообразной
Свойства первообразной
Интегралы
Интегралы
Производная, первообразная, интеграл и их применения
Производная, первообразная, интеграл и их применения
Выполнила: Трунькина Татьяна Проверила: Дубровская В.М
Выполнила: Трунькина Татьяна Проверила: Дубровская В.М

Презентация на тему: «Производная, первообразная, интеграл и их применения». Автор: ученица 10 Б класса Трунькина Т.. Файл: «Производная, первообразная, интеграл и их применения.pptx». Размер zip-архива: 103 КБ.

Производная, первообразная, интеграл и их применения

содержание презентации «Производная, первообразная, интеграл и их применения.pptx»
СлайдТекст
1 Производная, первообразная, интеграл и их применения

Производная, первообразная, интеграл и их применения

Учитель :Дубровская В.М.

2 Производная

Производная

Производной функции f(x) в точке х=х0 называется отношение приращения функции в этой точке к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.

.

3 f (x)=(2-

f (x)=(2-

x) tg x 2. f (x)=(x? +5)(x?-2x+2) f (x)=(4-x?)sin x f (x)=sin 3x+cos 5x f (x)=(3-2x?)?

Найдите производные функции

4 Применение производной к исследованию функций

Применение производной к исследованию функций

f (x)=x?(x-2)? f (x)=sin? x-sin x f (x)=x?-3x?-9x f (x)=1-2sin 2x f (x)=x-ln x

5 Применение производной в геометрии

Применение производной в геометрии

1°. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то: 1) в этой точке имеется касательная к графику функции, 2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения ?y/?x. Но отношение ?у/?x есть тангенс угла секущей СМ (черт.). lim tg? = tg(lim?) ? x?0 ? x?0 ?y/?x=tgx (1) Значит, согласно условию, существует Из равенства (1) следует: ?=arctg(?y/?x). Вследствие непрерывности арктангенса, имеем: Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому lim ? = arctg f’(x). ? x?0 Полагая arctg f '(x)=?, получаем: lim ? = ?. ? x?0 lim ? = ?. ? x?0 Следовательно, существует предел ?. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой коэффициент tg? = f '(x).

6 2°

Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е. tg? = f '(х1). 2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол ?, то производная f '(x)>0, так как tg? >0 (черт.); б) тупой угол ?, то производная f '(х1)<0, так как tg?<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол ?=0, tg?=0 и f '(х1) = 0. Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление ? к ?/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tg?= + ? (черт.) пли tg?=- ?(черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tg? = +?, а «справа» tg?= - ?). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.

7 Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках

Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках

непрерывности функции f(x). 3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка. 4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую. 4°. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).

8 Первообразная

Первообразная

Первообразной (первообразной) или примитивной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ? = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. Для примера: F(x) = x3 / 3 является первообразной f(x) = x2. Так как производная константы равна нулю, x2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x3 / 3 + 45645 или x3 / 3 ? 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x2 можно обозначить как F(x) = x3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения C. Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то: Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

9 Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют

неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов: Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования. Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом: Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0. Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации).

10 Свойства первообразной

Свойства первообразной

Первообразная суммы равна сумме первообразных Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

11 Интегралы

Интегралы

Неопределенный интеграл. Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением: F(x) + C. Определенный интеграл. Определенным интегралом функции f(x) от a до b называют разность значений первообразной этой функции в точках a и b.

12 Производная, первообразная, интеграл и их применения
13 Выполнила: Трунькина Татьяна Проверила: Дубровская В.М

Выполнила: Трунькина Татьяна Проверила: Дубровская В.М

«Производная, первообразная, интеграл и их применения»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/proizvodnaja-pervoobraznaja-integral-i-ikh-primenenija-208258.html
cсылка на страницу
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Интегралы > Производная, первообразная, интеграл и их применения