Комбинаторика
<<  Комбинаторика сочетания и размещения) Решение комбинаторных задач  >>
Лекция 14 расчет сооружений методом конечных элементов
Лекция 14 расчет сооружений методом конечных элементов
Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты
Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты
Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го
Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го
МКЭ – дискретный метод
МКЭ – дискретный метод
2. Вариационные основы МКЭ
2. Вариационные основы МКЭ
Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его
Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его
3. Аппроксимация КЭ
3. Аппроксимация КЭ
Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе
Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе
Подставив и в полином, получим два равенства:
Подставив и в полином, получим два равенства:
Определим вектор :
Определим вектор :
4. Матрица жесткости КЭ
4. Матрица жесткости КЭ
После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с
После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с
К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном
К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном
Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые
Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые
При рассмотрении прямо-угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с
При рассмотрении прямо-угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с

Презентация: «Расчет сооружений методом конечных элементов». Автор: . Файл: «Расчет сооружений методом конечных элементов.ppt». Размер zip-архива: 132 КБ.

Расчет сооружений методом конечных элементов

содержание презентации «Расчет сооружений методом конечных элементов.ppt»
СлайдТекст
1 Лекция 14 расчет сооружений методом конечных элементов

Лекция 14 расчет сооружений методом конечных элементов

Лекция 14 РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2 Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты

Современная вычислительная техника позволяет проводить расчеты

сооружений с более подробным описанием их внутренней структуры и с более точным учетом действующих нагрузок. Для этого разработаны специальные методы расчета, среди которых наибольшее распространение получил метод конечных элементов (МКЭ). 1. Понятие о методе конечных элементов Метод конечных элементов – это метод расчета сооружений, основанный на рассмотрении сооружения как совокупности типовых элементов, называемых конечными элементами (КЭ). В дискретном методе мы рассмотрели три типа стержневых элемента, которые используются и в МКЭ как конечные элементы.

3 Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го

Например, элемент 3-его типа в МКЭ называются ферменным КЭ, а 1-го

типа – плоским стержневым КЭ. При расчете пространственных рам используется КЭ бруса. В расчетах плоских тел используются треугольный или четырехугольный КЭ. При расчете пространственных сооружений могут использоваться КЭ призмы или КЭ тетраэдра и др.

ферменный КЭ

стержневой КЭ

треугольный КЭ

четырехугольный КЭ

тетраэдальный КЭ

КЭ бруса

призменный КЭ

Для расчета разных сооружений разработано множество других КЭ.

4 МКЭ – дискретный метод

МКЭ – дискретный метод

В этом методе сооружение делится на определенное число КЭ, соединяемых между собой в узлах конечно-элементной модели. А нагрузка, действующая на сооружение, переносится в узлы. Это позволяет определять НДС сооружения через узловые усилия и перемещения конечно-элементной модели. В пределах одной и той же расчетной схемы сооружения можно выбирать разные расчетные модели по МКЭ, т.к. можно: ? разбить ее на разное количество однотипных КЭ; ? представить ее как комбинацию различных типов КЭ; ? реализовать различные варианты МКЭ ? в формах метода сил, метода перемещений и смешанного метода. В настоящее время широкое распространение получил МКЭ в форме метода перемещений.

5 2. Вариационные основы МКЭ

2. Вариационные основы МКЭ

При решении многих задач статики, динамики и устойчивости сооружений определяется полная потенциальная энергия U: U = W – V. Здесь W – работа внешних сил, V – работа внутренних сил. Обычно они представляются в виде функций, зависящих от перемещений, деформаций, напряжений элементов расчетной модели сооружения. Исследование этого выражения позволяет выявить важные законы механики, называемые принципами. Например, в теоретической механике известен принцип Лагранжа-Дирихле: для того чтобы механическая система находилась в равновесии, ее полная потенциальная энергия должна быть постоянной. Из этого принципа следует, что приращение полной потенциальной энергии системы, находящейся в равновесии, должно равняться нулю:

6 Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его

Вычисление приращения функции обычно заменяется вычислением его

приближенного значения ? дифференциала. Тогда получается вариационное уравнение Лагранжа:

где символ ? означает вариацию, вычисление которого схоже с вычислением дифференциала функции. Это уравнение позволяет свести задачу определения НДС сооружения к отысканию экстремума полной потенциальной энергии. Так как U =W ? V , уравнение Лагранжа принимает вид

и формулируется как принцип Лагранжа: вариация работы внутренних сил равна вариации работы внешних сил. Вариационный принцип Лагранжа используется для сведения континуальной задачи к дискретной задаче путем аппроксимации непрерывных полей перемещений, деформаций, напряжений внутри конечного элемента через его узловые перемещения. Этот принцип является основой варианта МКЭ в форме метода перемещений. Имеются и другие вариационные принципы ? принципы Кастильяно, Рейсснера, Ху-Вашицу и др.

7 3. Аппроксимация КЭ

3. Аппроксимация КЭ

При выборе конечно-элементной модели сооружения можно вводить узлы с разным числом степеней свободы. Например, в плоской системе вводятся узлы с тремя, с двумя или с одной степенью свободы:

Для использования принципа Лагранжа вводятся координатные функции, аппроксимирующие непрерывное поле перемещений внутри КЭ через перемещения ее узлов:

где – вектор перемещений внутренних точек КЭ, C – матрица координатных функций, ? – вектор коэффициентов. Элементы матрицы C выбираются в виде полиномов, непрерывных внутри КЭ. Если в полиноме учитывается минимальное число членов, то такой КЭ называется симплекс-элементом. При учете большего числа членов полинома, КЭ называется комплекс-элементом.

8 Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе

Как пример рассмотрим ферменный КЭ с узлами i и j в местной системе

координат. Его узлы имеют по одной поступательной степени свободы и соответствующие им узловые перемещения u1i и u1j. Пусть в узлах КЭ приложены силы P1i и P1j :

Перемещения внутренних точек элемента будем аппроксимировать полиномом первой степени

Запишем его в матричной форме:

Где ? матрица координатных функций, ? вектор коэффициентов.

9 Подставив и в полином, получим два равенства:

Подставив и в полином, получим два равенства:

С другой стороны, Тогда предыдущие уравне-ния примут вид:

Их можно записать в матричной форме:

Или как

Где

10 Определим вектор :

Определим вектор :

Тогда

Или

Входящая сюда матрица

называется матрицей форм. Она позволяет аппроксимировать поле перемещений внутренних точек КЭ через перемещения узлов. По аналогии с перемещениями, поле внутренних усилий в КЭ можно аппроксимировать через вектор узловых сил по формуле

11 4. Матрица жесткости КЭ

4. Матрица жесткости КЭ

Известные в механике геометрические и физические соотношения для континуальных систем можно записать в виде, аналогичном рассмотренным ранее уравнениям дискретного подхода: для дискретной системы для континуальной системы

Здесь: и – вектора деформаций и напряжений, и – матрицы равновесия и податливости.

При рассмотрении конечного элемента как континуальной системы, принцип Лагранжа можно записать в виде

где левая и правая части представляют возможные работы внутренних и внешних сил, а интегрирование ведется по объему КЭ V.

12 После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с

После этого осуществляется переход к дискретной модели КЭ с

использованием матрицы форм H. Тогда, после ряда преобразований получается матричное уравнение, связывающее вектор узловых перемещений u с вектором узловых усилий P КЭ:

? матрица жесткости конечного элемента. Физический смысл любого элемента kij матрицы K – это реакция (реактивная сила), возникающая в i-ом направлении от заданного единичного перемещения в j-ом направлении.

В которой симметричная квадратная матрица

13 К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном

К примеру, для рассмотренного ферменного КЭ, находящегося в одноосном

напряженном состоянии, геометрическое уравнение будет

Сравнив его с матричным уравнением

Видим, что матрица равновесия будет дифференциальным оператором с одним членом:

Из уравнения связи между деформацией и напряжением

Следует, что матрица податливости будет:

14 Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые

Для определения матрицы жесткости такого КЭ вычислим все необходимые

величины:

Интегрирование по объему V сводится к интегрированию по длине l КЭ, т.к. (F ? площадь сечения КЭ):

15 При рассмотрении прямо-угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с

При рассмотрении прямо-угольного КЭ толщиной t и размерами 2a и 2b с

четырьмя узлами i, j, k, m и восемью узловыми перемещениями, ее матрица жесткости будет иметь размеры 8?8.

Для краткости записи эту матрицу жесткости представим в блочной форме с 16 блоками одинаковой размерности 2?2:

Здесь ? – коэффициент Пуассона. Элементы каждого блока матрицы K определяются по разным формулам. Например,

«Расчет сооружений методом конечных элементов»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/raschet-sooruzhenij-metodom-konechnykh-elementov-152056.html
cсылка на страницу

Комбинаторика

25 презентаций о комбинаторике
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Комбинаторика > Расчет сооружений методом конечных элементов