Виды функций
<<  Степенная функция Степенная функция и ее производная  >>
Степенные ряды
Степенные ряды
Функциональные ряды
Функциональные ряды
Пример функционального ряда
Пример функционального ряда
Степенные ряды
Степенные ряды
Интервал сходимости степенного ряда
Интервал сходимости степенного ряда
Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера
Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера
Продолжение
Продолжение
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Продолжение
Продолжение
Пример
Пример
Свойства степенных рядов
Свойства степенных рядов
Почленное дифференцирование
Почленное дифференцирование
Почленное интегрирование
Почленное интегрирование
Разложение функций в степенные ряды
Разложение функций в степенные ряды
Определения
Определения
Степенной ряд как ряд Тейлора
Степенной ряд как ряд Тейлора
Формула Тейлора
Формула Тейлора
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа
Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)
Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)
Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора
Разложение
Разложение
Разложение в ряд синуса
Разложение в ряд синуса
Продолжение
Продолжение
Разложения некоторых функций в ряд Тейлора
Разложения некоторых функций в ряд Тейлора
Продолжение
Продолжение
Биномиальный ряд
Биномиальный ряд
Пример
Пример
Применение степенных рядов
Применение степенных рядов
Приближенное вычисление интегралов
Приближенное вычисление интегралов
Решение
Решение
Продолжение
Продолжение
Продолжение
Продолжение
Приближенное вычисление значений функций
Приближенное вычисление значений функций
Продолжение
Продолжение

Презентация на тему: «Степенные ряды». Автор: Людмла. Файл: «Степенные ряды.ppt». Размер zip-архива: 133 КБ.

Степенные ряды

содержание презентации «Степенные ряды.ppt»
СлайдТекст
1 Степенные ряды

Степенные ряды

Лекции12, 13, 14

2 Функциональные ряды

Функциональные ряды

Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

3 Пример функционального ряда

Пример функционального ряда

Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х.

4 Степенные ряды

Степенные ряды

Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .

5 Интервал сходимости степенного ряда

Интервал сходимости степенного ряда

Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

6 Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

Нахождение интервала сходимости по признаку Даламбера

Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

7 Продолжение

Продолжение

В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование.

8 Примеры

Примеры

Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

9 Примеры

Примеры

Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).

10 Примеры

Примеры

Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =

=

11 Продолжение

Продолжение

= . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .

12 Пример

Пример

Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

13 Свойства степенных рядов

Свойства степенных рядов

Непрерывность суммы ряда

1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если .

14 Почленное дифференцирование

Почленное дифференцирование

2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то

15 Почленное интегрирование

Почленное интегрирование

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где .

16 Разложение функций в степенные ряды

Разложение функций в степенные ряды

17 Определения

Определения

Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или .

18 Степенной ряд как ряд Тейлора

Степенной ряд как ряд Тейлора

Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

19 Формула Тейлора

Формула Тейлора

Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

20 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

21 Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)

Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

22 Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора

Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

23 Разложение

Разложение

Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

24 Разложение в ряд синуса

Разложение в ряд синуса

Вычислим производные синуса:

25 Продолжение

Продолжение

Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

26 Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

Разложения некоторых функций в ряд Тейлора

При решении задач удобно пользоваться разложениями: 1. 2. 3.

27 Продолжение

Продолжение

Геометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд: 5.

28 Биномиальный ряд

Биномиальный ряд

6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1).

29 Пример

Пример

Разложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом. , где

30 Применение степенных рядов

Применение степенных рядов

31 Приближенное вычисление интегралов

Приближенное вычисление интегралов

Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

32 Решение

Решение

Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

33 Продолжение

Продолжение

Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

34 Продолжение

Продолжение

Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:

35 Приближенное вычисление значений функций

Приближенное вычисление значений функций

Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

36 Продолжение

Продолжение

Получим

«Степенные ряды»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/stepennye-rjady-242947.html
cсылка на страницу

Виды функций

25 презентаций о видах функций
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды