№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Степенные рядыЛекции12, 13, 14 |
2 |
 |
Функциональные рядыРяд, члены которого являются функциями, называется функциональным и обозначается . Если при ряд сходится, то называется точкой сходимости функционального ряда. Определение. Множество значений х, для которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда. |
3 |
 |
Пример функционального рядаРассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х. |
4 |
 |
Степенные рядыОпределение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням . |
5 |
 |
Интервал сходимости степенного рядаДля любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0. |
6 |
 |
Нахождение интервала сходимости по признаку ДаламбераСоставим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию. |
7 |
 |
ПродолжениеВ этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование. |
8 |
 |
ПримерыНайти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1). |
9 |
 |
ПримерыПоложим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1). |
10 |
 |
ПримерыНайти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = = = |
11 |
 |
Продолжение= . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток . |
12 |
 |
ПримерНайти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0. |
13 |
 |
Свойства степенных рядовНепрерывность суммы ряда 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если . |
14 |
 |
Почленное дифференцирование2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то |
15 |
 |
Почленное интегрирование3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где . |
16 |
 |
Разложение функций в степенные ряды |
17 |
 |
ОпределенияОпределение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или . |
18 |
 |
Степенной ряд как ряд ТейлораТеорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно. |
19 |
 |
Формула ТейлораРассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора. |
20 |
 |
Формула Тейлора с остаточным членом в форме ЛагранжаОстаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. |
21 |
 |
Условия сходимости ряда Тейлора к функции у=f(x)Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех |
22 |
 |
Достаточные условия разложимости функции в ряд ТейлораЕсли функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале. |
23 |
 |
РазложениеВсе производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции |
24 |
 |
Разложение в ряд синусаВычислим производные синуса: |
25 |
 |
ПродолжениеЯсно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси. |
26 |
 |
Разложения некоторых функций в ряд ТейлораПри решении задач удобно пользоваться разложениями: 1. 2. 3. |
27 |
 |
ПродолжениеГеометрическую прогрессию мы получили выше: 4. Интегрируя по х обе части равенства, получим логарифмический ряд: 5. |
28 |
 |
Биномиальный ряд6. 7. Биномиальный, логарифмический ряды и ряд для арктангенса сходятся в интервале (-1,1). |
29 |
 |
ПримерРазложить в ряд Тейлора по степеням x функцию Решение. Зная разложение функции в биномиальный ряд, сходящийся на интервале (-1,1), преобразуем данную функцию так, чтобы воспользоваться биномиальным рядом. , где |
30 |
 |
Применение степенных рядов |
31 |
 |
Приближенное вычисление интеграловРазложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001 |
32 |
 |
РешениеРазложим подынтегральную функцию в степенной ряд: |
33 |
 |
ПродолжениеТак как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001. |
34 |
 |
ПродолжениеВычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим: |
35 |
 |
Приближенное вычисление значений функцийВычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и |
36 |
 |
ПродолжениеПолучим |
«Степенные ряды» |