Уравнения
<<  Решение уравнений первой степени Уравнения высших степеней  >>
Уравнения высших степеней
Уравнения высших степеней
Методы решения уравнений:
Методы решения уравнений:
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)
Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)
Решить уравнение (3x + 2)
Решить уравнение (3x + 2)
Разложение на множители
Разложение на множители
Решить уравнение x
Решить уравнение x
Введение новой переменной
Введение новой переменной
Решить уравнение
Решить уравнение
Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как
Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как
Решите уравнение 6(x
Решите уравнение 6(x
Функционально – графический метод
Функционально – графический метод
Решить уравнение
Решить уравнение
Подбор корней
Подбор корней
Теорема Безу
Теорема Безу
Решить уравнение x
Решить уравнение x
Решить уравнение 2x
Решить уравнение 2x
Решить уравнение 6x
Решить уравнение 6x
Формулы Виета
Формулы Виета
Найти сумму квадратов корней уравнения x
Найти сумму квадратов корней уравнения x
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений
Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений
Ответы и указания:
Ответы и указания:
1. Указание
1. Указание
14
14
Самостоятельная работа
Самостоятельная работа
Ответы
Ответы
Библиография
Библиография

Презентация на тему: «Уравнения высших степеней». Автор: Пользователь. Файл: «Уравнения высших степеней.ppt». Размер zip-архива: 170 КБ.

Уравнения высших степеней

содержание презентации «Уравнения высших степеней.ppt»
СлайдТекст
1 Уравнения высших степеней

Уравнения высших степеней

2 Методы решения уравнений:

Методы решения уравнений:

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x) Разложение на множители. Введение новой переменной. Функционально – графический метод. Подбор корней. Применение формул Виета.

3 Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)

Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x)

Метод можно применять только в том случае, когда y = h(x) – монотонная функция, которая каждое свое значение принимает по одному разу. Если функция немонотонная, то возможна потеря корней.

4 Решить уравнение (3x + 2)

Решить уравнение (3x + 2)

? = (5x – 9)??

y = x ?? возрастающая функция, поэтому от уравнения (3x + 2)?? = (5x – 9)?? можно перейти к уравнению 3x + 2 = 5x – 9, откуда находим x = 5,5. Ответ: 5,5.

5 Разложение на множители

Разложение на множители

Уравнение f(x)g(x)h(x) = 0 можно заменить совокупностью уравнений f(x) = 0; g(x) = 0; h(x) = 0. Решив уравнения этой совокупности, нужно взять те их корни, которые принадлежат области определения исходного уравнения, а остальные отбросить как посторонние.

6 Решить уравнение x

Решить уравнение x

– 7x + 6 = 0

Представив слагаемое 7x в виде x + 6x, получим последовательно: x? – x –6x + 6 = 0 x(x? – 1) – 6(x – 1) = 0 x(x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = 0 (x – 1)(x? + x – 6) = 0 Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений x –1 = 0; x? + x – 6 = 0. Ответ: 1, 2, – 3.

7 Введение новой переменной

Введение новой переменной

Если уравнение y(x) = 0 удалось преобразовать к виду p(g(x)) = 0, то нужно ввести новую переменную u = g(x), решить уравнение p(u) = 0, а затем решить совокупность уравнений g(x) = u1; g(x) = u2; … ; g(x) = un , где u1, u2, … , un – корни уравнения p(u) = 0.

8 Решить уравнение

Решить уравнение

Особенностью этого уравнения является равенство коэффициентов его левой части, равноудаленных от ее концов. Такие уравнения называют возвратными. Поскольку 0 не является корнем данного уравнения, делением на x? получаем

9 Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как

Введем новую переменную Тогда Получаем квадратное уравнение Так как

корень y1 = – 1 можно не рассматривать. Получим Ответ: 2, 0,5.

10 Решите уравнение 6(x

Решите уравнение 6(x

– 4)? + 5(x? – 4)(x? – 7x +12) + ( x? – 7x + 12)? = 0

Данное уравнение может быть решено как однородное. Поделим обе части уравнения на (x? – 7x +12)? (ясно, что значения x такие, что x? – 7x +12=0 решениями не являются). Теперь обозначим Имеем Отсюда Ответ:

11 Функционально – графический метод

Функционально – графический метод

Если одна из функций у = f(x),y = g(x) возрастает, а другая – убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней, либо имеет один корень.

12 Решить уравнение

Решить уравнение

Достаточно очевидно, что x = 2 – корень уравнения. Докажем, что это единственный корень. Преобразуем уравнение к виду Замечаем, что функция возрастает, а функция убывает. Значит, уравнение имеет только один корень. Ответ: 2.

13 Подбор корней

Подбор корней

Теорема1: Если целое число m является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то свободный член многочлена делится на m. Теорема 2: Приведенный многочлен с целыми коэффициентами не имеет дробных корней. Теорема 3:

Пусть

Если число

И дробь

То p есть делитель свободного члена an , а q – делитель коэффициента при старшем члене a0 .

14 Теорема Безу

Теорема Безу

Остаток при делении любого многочлена на двучлен (x – a) равен значению делимого многочлена при x = a.

Следствия теоремы Безу Разность одинаковых степеней двух чисел делится без остатка на разность этих же чисел; Разность одинаковых четных степеней двух чисел делится без остатка как на разность этих чисел, так и на их сумму; Разность одинаковых нечетных степеней двух чисел не делится на сумму этих чисел; Сумма одинаковых степеней двух не чисел делится на разность этих чисел; Сумма одинаковых нечетных степеней двух чисел делится без остатка на сумму этих чисел; Сумма одинаковых четных степеней двух чисел не делится как на разность этих чисел, так и на их сумму; Многочлен делится нацело на двучлен (x – a) тогда и только тогда, когда число a является корнем данного многочлена; Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не более чем его степень.

15 Решить уравнение x

Решить уравнение x

– 5x? – x + 21 = 0

Многочлен x? – 5x? – x + 21 имеет целые коэффициенты. По теореме 1 его целые корни, если они есть, находятся среди делителей свободного члена: ± 1, ± 3, ± 7, ± 21. Проверкой убеждаемся в том, что число 3 является корнем. По следствию из теоремы Безу многочлен делится на (x – 3). Таким образом, x?– 5x? – x + 21 = (x – 3)(x?– 2x – 7). Ответ:

16 Решить уравнение 2x

Решить уравнение 2x

– 5x? – x + 1 = 0

По теореме 1 целыми корнями уравнения могут быть только числа ± 1. Проверка показывает, что данные числа не являются корнями. Так как уравнение не является приведенным, то оно может иметь дробные рациональные корни. Найдем их. Для этого умножим обе части уравнения на 4: 8x? – 20x? – 4x + 4 = 0 Сделав подстановку 2x = t, получим t? – 5t? – 2t + 4 = 0. По тереме 2 все рациональные корни данного приведенного уравнения должны быть целыми. Их можно найти среди делителей свободного члена: ± 1, ± 2, ± 4. В данном случае подходит t = – 1. Следовательно По следствию из теоремы Безу многочлен 2x? – 5x? – x + 1 делится на (x + 0,5): 2x? – 5x? – x + 1 = (x + 0,5)(2x? – 6x + 2) Решив квадратное уравнение 2x? – 6x + 2 = 0, находим остальные корни: Ответ:

17 Решить уравнение 6x

Решить уравнение 6x

+ x? – 11x – 6 = 0

По теореме 3 рациональные корни этого уравнения следует искать среди чисел Подставляя их поочередно в уравнение, найдем, что уравнению. Ими и исчерпываются все корни уравнения. Ответ:

Удовлетворяют

18 Формулы Виета

Формулы Виета

Для корней имеют место формулы:

Уравнения

19 Найти сумму квадратов корней уравнения x

Найти сумму квадратов корней уравнения x

+ 3x? – 7x +1 = 0

По теореме Виета Заметим, что откуда

20 Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений

Укажите, каким методом можно решить каждое из данных уравнений

Решите уравнения № 1, 4, 14, 15, 17.

21 Ответы и указания:

Ответы и указания:

1. Введение новой переменной. 2. Функционально – графический метод. 3. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 4. Разложение на множители. 5. Подбор корней. 6 Функционально – графический метод. 7. Применение формул Виета. 8. Подбор корней. 9. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x). 10. Введение новой переменной. 11. Разложение на множители. 12. Введение новой переменной. 13. Подбор корней. 14. Применение формул Виета. 15. Функционально – графический метод. 16. Разложение на множители. 17. Введение новой переменной. 18. Разложение на множители.

22 1. Указание

1. Указание

Запишите уравнение в виде 4(x?+17x+60)(x+16x+60)=3x?, Разделите обе его части на x?. Введите переменную Ответ: x1 = – 8; x2 = – 7,5. 4. Указание. Прибавьте к левой части уравнения 6y и – 6y и запишите его в виде (y? – 2y?) + (– 3y? + 6y) + (– 8y + 16) = (y – 2)(y? – 3y – 8). Ответ:

23 14

14

Указание. По теореме Виета Так как – целые числа, то корнями уравнения могут быть только числа –1, – 2, – 3. Ответ: 15. Ответ: –1. 17. Указание. Разделите обе части уравнения на x? и запишите его в виде Введите переменную Ответ: 1; 1,5; 2; 3.

24 Самостоятельная работа

Самостоятельная работа

Решите уравнения: Вариант 1. Вариант 2.

25 Ответы

Ответы

Вариант 1. Вариант 2.

26 Библиография

Библиография

Колмогоров А. Н. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2003). Башмаков М. И. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1993). Мордкович А. Г. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Мнемозина, 2003). Алимов Ш. А., Колягин Ю. М. и др. «Алгебра и начала анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 2000). Галицкий М. Л., Гольдман А. М., Звавич Л. И. «Сборник задач по алгебре, 8 – 9» (М.: Просвещение, 1997). Карп А. П. «Сборник задач по алгебре и началам анализа, 10 – 11» (М.: Просвещение, 1999). Шарыгин И. Ф. «Факультативный курс по математике, решение задач, 10» (М.: Просвещение. 1989). Скопец З. А. «Дополнительные главы по курсу математики, 10» (М.: Просвещение, 1974). Литинский Г. И. «Уроки математики» (М.: Аслан, 1994). Муравин Г. К. «Уравнения, неравенства и их системы» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», №2, 3, 2003). Колягин Ю. М. «Многочлены и уравнения высших степеней» (Математика, приложение к газете «Первое сентября», №3, 2005).

«Уравнения высших степеней»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/uravnenija-vysshikh-stepenej-137135.html
cсылка на страницу

Уравнения

49 презентаций об уравнениях
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Уравнения > Уравнения высших степеней