Производная
<<  Приложение производной к решению прикладных задач Производная и ее приложения  >>
Задачи, приводящие к понятию производной
Задачи, приводящие к понятию производной
Цели урока
Цели урока
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое
К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое
Мгновенная скорость тела
Мгновенная скорость тела
Как вы представляете себе мгновенную скорость
Как вы представляете себе мгновенную скорость
Фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы
Фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы
Физик эту проблему решает просто
Физик эту проблему решает просто
«Территория» исследований
«Территория» исследований
Задачи, приводящие к понятию производной
Задачи, приводящие к понятию производной
Свободное падение тела
Свободное падение тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Скорость свободного падения тела
Задача о мгновенной скорости
Задача о мгновенной скорости
Алгоритм
Алгоритм
Задача о касательной к графику функции
Задача о касательной к графику функции
Задача о касательной к графику функции
Задача о касательной к графику функции
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно
Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно
Задача о скорости химической реакции
Задача о скорости химической реакции
Задача о теплоёмкости тела
Задача о теплоёмкости тела
Задача о теплоёмкости тела
Задача о теплоёмкости тела
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Задача о мгновенной величине тока
Задача о мгновенной величине тока
Задача о мгновенной величине тока
Задача о мгновенной величине тока
А л г о р и т м
А л г о р и т м
Экономическая задача
Экономическая задача
Рост численности населения
Рост численности населения
Выводы
Выводы
Определение производной
Определение производной
Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:
А это значит:
А это значит:
Аппарат производной можно использовать при решении геометрических
Аппарат производной можно использовать при решении геометрических
Авторы:
Авторы:

Презентация: «Задачи, приводящие к понятию производной». Автор: Неизвестный. Файл: «Задачи, приводящие к понятию производной.pps». Размер zip-архива: 287 КБ.

Задачи, приводящие к понятию производной

содержание презентации «Задачи, приводящие к понятию производной.pps»
СлайдТекст
1 Задачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной

2 Цели урока

Цели урока

Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной; ввести понятие производной.

3 К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.

4 Мгновенная скорость тела

Мгновенная скорость тела

Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

5 Как вы представляете себе мгновенную скорость

Как вы представляете себе мгновенную скорость

Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь), то в разные моменты времени его скорость будет различной

6 Фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы

Фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы

«мгновенная скорость». Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени» нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».

7 Физик эту проблему решает просто

Физик эту проблему решает просто

У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.

8 «Территория» исследований

«Территория» исследований

Связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

9 Задачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

10 Свободное падение тела

Свободное падение тела

Будем вслед за итальянским учёным Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)?

11 Скорость свободного падения тела

Скорость свободного падения тела

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).

12 Скорость свободного падения тела

Скорость свободного падения тела

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)?v(t)?h, или причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h.

13 Скорость свободного падения тела

Скорость свободного падения тела

Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.

14 Скорость свободного падения тела

Скорость свободного падения тела

15 Задача о мгновенной скорости

Задача о мгновенной скорости

Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t? t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0

16 Алгоритм

Алгоритм

На языке предмета ?t = t – t0 ?v = v(t+t0) - v(t0) 4.

На математическом языке ?x = x – x0 ?f = f(x+x0) – f(x0) 3. 4.

17 Задача о касательной к графику функции

Задача о касательной к графику функции

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

18 Задача о касательной к графику функции

Задача о касательной к графику функции

y

?f(x) = f(x) - f(x0)

С

?Х=х-х0

x

19 А л г о р и т м

А л г о р и т м

1) ?x = x – x0 2) ?f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

20 Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно

Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно

определить по формуле

M

y=f(x)

?y

M0

T

?x

x0 x0+?x

y

x

0

21 Задача о скорости химической реакции

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде) изменяется по закону х = f(t) определяется по формуле

22 Задача о теплоёмкости тела

Задача о теплоёмкости тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = ?, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры ?, до которой тело нагревается: Q=Q(?).

23 Задача о теплоёмкости тела

Задача о теплоёмкости тела

Пусть температура повысилась с ? до ? +??. Количество тепла ?Q, затраченное для этого нагревания равно: ?Q=Q(?+??)-Q(?). Отношение есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1?. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры ?. Теплоёмкостью при температуре ? называ-ется предел отношения приращения количества тепла ?Q к приращению температуры ??.( при ?? ?0)

24 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?? = ? – ?0 ?x = x – x0 ?Q = Q(?1) - Q(?0) ?f = f(x) – f(x0) 3) 4)

На языке предмета На математическом языке

25 Задача о мгновенной величине тока

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть ?t – некоторый промежуток времени, ?q = q(t+?t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ?t. Тогда отношение называют средней силой тока.

26 Задача о мгновенной величине тока

Задача о мгновенной величине тока

Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества ?q ко времени ?t, при условии, что ?t?0.

27 А л г о р и т м

А л г о р и т м

?t = t – t0 ?x = x – x0 ?q = q(t1) - q(t0) ?f = f(x) – f(x0) 3) 4)

На языке предмета На математическом языке

28 Экономическая задача

Экономическая задача

Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+? u = u(t0+? t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t0

29 Рост численности населения

Рост численности населения

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за ?t = t - t0 ?y=k ? y ? ?t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности) получим

30 Выводы

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

31 Определение производной

Определение производной

Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

32 Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х =х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; г) теплоёмкость С(?) при температуре ? есть производная от количества тепла Q(?), получаемого телом; д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

33 А это значит:

А это значит:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

34 Аппарат производной можно использовать при решении геометрических

Аппарат производной можно использовать при решении геометрических

задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

35 Авторы:

Авторы:

Учащиеся 10 класса Амбарцумян Ануш, Дешевых Андрей, Рындин Вячеслав, Макаровская Ирина Леликова Евгения, Морохов Александр.

«Задачи, приводящие к понятию производной»
http://900igr.net/prezentacija/algebra/zadachi-privodjaschie-k-ponjatiju-proizvodnoj-203368.html
cсылка на страницу

Производная

31 презентация о производной
Урок

Алгебра

35 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по алгебре > Производная > Задачи, приводящие к понятию производной