Задачи, приводящие к понятию производной

Задачи, приводящие к понятию производной

Цели урока

Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной; ввести понятие производной.

К понятию производной можно прийти, рассматривая, например, такое

широко используемое в физике понятие, как мгновенная скорость неравномерно движущегося тела.

Мгновенная скорость тела

Мгновенной скоростью тела называют скорость, которую оно имеет в данный момент времени (в данной точке траектории)

Как вы представляете себе мгновенную скорость

Если тело движется равномерно, то в разные моменты времени его скорость одинакова. Если тело движется неравномерно (ускоряясь или замедляясь), то в разные моменты времени его скорость будет различной

Фраза «скорость в данный момент времени» не более как синоним фразы

«мгновенная скорость». Как говорится, «что в лоб, что по лбу». Термин «скорость в данный момент времени» нуждается в разъяснении в той же мере, в какой нуждается в нём термин «мгновенная скорость».

Физик эту проблему решает просто

У него есть приборы, например, спидометр. А математик создаст математическую модель процесса.

«Территория» исследований

Связь между количественными характеристиками самых различных процессов, исследуемых физикой, химией, биологией, экономикой, техническими науками, аналогична связи между путём и скоростью. Основным математическим понятием, выражающим эту связь является производная.

Задачи, приводящие к понятию производной

Центральные понятия дифференциального исчисления – производная и дифференциал возникли при рассмотрении большого числа задач естествознания и математики, приводивших к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие среди них – физическая задача определения скорости неравномерного движения и геометрическая задача построения касательной к кривой.

Свободное падение тела

Будем вслед за итальянским учёным Г. Галилеем изучать закон свободного падения тел. Поднимем камешек и затем из состояния покоя отпустим его. Движение свободно падающего тела явно неравномерное. Скорость v постепенно возрастает. Но как именно выглядит зависимость v(t)?

Скорость свободного падения тела

Фиксируем момент t, в который мы хотим знать значение скорости v(t). Пусть h – небольшой промежуток времени, прошедший от момента t. За это время падающее тело пройдёт путь, равный s(t+h)-s(t).

Скорость свободного падения тела

Если промежуток времени h очень мал, то приближённо s(t+h)-s(t)?v(t)?h, или причём последнее приближённое равенство тем точнее, чем меньше h.

Скорость свободного падения тела

Значит величину v(t) скорости в момент t можно рассматривать как предел, к которому стремится отношение, выражающее среднюю скорость на интервале времени от момента t до момента t+h.

Скорость свободного падения тела

Задача о мгновенной скорости

Предел средней скорости за промежуток времени от t0 до t при t? t0, называется мгновенной скоростью v(t0) в момент времени t0

Алгоритм

На языке предмета ?t = t – t0 ?v = v(t+t0) - v(t0) 4.

На математическом языке ?x = x – x0 ?f = f(x+x0) – f(x0) 3. 4.

Задача о касательной к графику функции

Рассмотрим теперь другой классический пример, который решается в терминах производной, - построение касательной к кривой. Требуется построить прямую Т, касательную в т. А к кривой – графику функции y = f(x).

Задача о касательной к графику функции

y

?f(x) = f(x) - f(x0)

С

?Х=х-х0

x

А л г о р и т м

1) ?x = x – x0 2) ?f = f(x+x0) – f(x0) 3) 4)

Угловой коэффициент касательной к графику функции y = f(x) можно

определить по формуле

M

y=f(x)

?y

M0

T

?x

x0 x0+?x

y

x

0

Задача о скорости химической реакции

Средняя скорость растворения соли в воде за промежуток времени [t0;t1] (масса соли, растворившейся в воде) изменяется по закону х = f(t) определяется по формуле

Задача о теплоёмкости тела

Если температура тела с массой в 1 кг повышается от t1 = 0 до t2 = ?, то это происходит за счёт того, что телу сообщается определённое количество тепла Q; значит Q есть функция температуры ?, до которой тело нагревается: Q=Q(?).

Задача о теплоёмкости тела

Пусть температура повысилась с ? до ? +??. Количество тепла ?Q, затраченное для этого нагревания равно: ?Q=Q(?+??)-Q(?). Отношение есть количество тепла, которое необходимо «в среднем» для нагревания тела на 1?. Это отношение называется средней теплоёмкостью, которая не даёт представления о теплоёмкости для любого значения температуры ?. Теплоёмкостью при температуре ? называ-ется предел отношения приращения количества тепла ?Q к приращению температуры ??.( при ?? ?0)

А л г о р и т м

?? = ? – ?0 ?x = x – x0 ?Q = Q(?1) - Q(?0) ?f = f(x) – f(x0) 3) 4)

На языке предмета На математическом языке

Задача о мгновенной величине тока

Обозначим через q = q(t) количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника за время t. Пусть ?t – некоторый промежуток времени, ?q = q(t+?t) – q(t) – количество электричества, протекающее через указанное сечение за промежуток времени от момента t до момента t + ?t. Тогда отношение называют средней силой тока.

Задача о мгновенной величине тока

Мгновенной силой тока в момент времени t называется предел отношения приращения количества электричества ?q ко времени ?t, при условии, что ?t?0.

А л г о р и т м

?t = t – t0 ?x = x – x0 ?q = q(t1) - q(t0) ?f = f(x) – f(x0) 3) 4)

На языке предмета На математическом языке

Экономическая задача

Пусть функция u(t) выражает количество произведенной продукции за время t. Найдем производительность труда в момент t0. За период от t0 до t0+ t количество продукции изменится от u(t0) до u0+? u = u(t0+? t). Тогда средняя производительность труда за этот период поэтому производительность труда в момент t0

Рост численности населения

Выведем формулу для вычисления численности населения на ограниченной территории в момент времени t. Пусть у=у(t)- численность населения. Рассмотрим прирост населения за ?t = t - t0 ?y=k ? y ? ?t, где к = кр – кс –коэффициент прироста (кр – коэффициент рождаемости, кс – коэффициент смертности) получим

Выводы

Различные задачи привели в процессе решения к одной и той же математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Значит, эту математическую модель надо специально изучить, т.е.: Присвоить ей новый термин. Ввести для неё обозначение. Исследовать свойства новой модели. Определить возможности применения нового понятия - производная

Определение производной

Производной функции f(x) в точке х называется предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, если этот предел существует

Возвращаясь к рассмотренным задачам, важно подчеркнуть следующее:

а) мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от пути по времени; б) угловой коэффициент касательной к графику функции в точке (x0; f(x)) есть производная функции f(x) в точке х =х0; в) мгновенная сила тока I(t) в момент t есть производная от количества электричества q(t) по времени; г) теплоёмкость С(?) при температуре ? есть производная от количества тепла Q(?), получаемого телом; д) скорость химической реакции в данный момент времени t есть производная от количества вещества у(t), участвующего в реакции, по времени t.

А это значит:

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…» Н.И. Лобачевский

Аппарат производной можно использовать при решении геометрических

задач, задач из естественных и гуманитарных наук, экономических задач оптимизационного характера. И, конечно, не обойтись без производной при исследовании функции и построении графиков, решении уравнений и неравенств

Авторы:

Учащиеся 10 класса Амбарцумян Ануш, Дешевых Андрей, Рындин Вячеслав, Макаровская Ирина Леликова Евгения, Морохов Александр.