№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Принцип ДирихлеРаботу подготовила учитель математики Тучковской СОШ №3 Гацкан Т.А |
2 |
 |
«Многие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; ноМногие вещи нам непонятны не потому, что наши понятия слабы; но потому, что сии вещи не входят в круг наших понятий» Козьма Прутков |
3 |
 |
Иоганн Петер Густав Лежён-Дирихле(1805-1859гг) Немецкий математик внесший существенный вклад в математический анализ и теорию функций. |
4 |
 |
БиографияДИРИХЛЕ Петер Густав Лежен(13.2.1805-5.5.1859) - немецкий математик. Род. в Дюрене. В 1822-1827 Дирихле был домашним учителем в Париже. Входил в кружок молодых ученых, которые группировались вокруг Ж. Фурье. В 1827 Д. занял место доцента в Бреславле; с 1829 работал в Берлине. В 1831-1855 - профессор Берлинского ун-та, а после смерти К. Гаусса (1855) - Геттингенского ун-та. |
5 |
 |
Дирихле сделал ряд крупных открытий в теории чисел: установил формулыдля числа классов бинарных квадратичных форм с заданным определителем и доказал теорему о бесконечности количества простых чисел в арифметической прогрессии из целых чисел, первый член и разность которой - взаимно просты. К решению этих задач Дирихле применил аналитические функции, названные функциями (рядами) Дирихле. |
6 |
 |
Дирихле создал общую теорию алгебраических единиц в алгебраическомчисловом поле. В области математического анализа Дирихле впервые точно сформулировал и исследовал понятие условной сходимости ряда, дал строгое доказательство возможности разложения в ряд Фурье кусочно-непрерывной и монотонной функции, что послужило обоснованием для многих дальнейших исследований. Значительны труды Дирихле в механике и математической физике, в частности в теории потенциала. |
7 |
 |
Формулировка принципа Дирихле(самая популярная) «Если в n клетках сидит n+1 или больше зайцев, то найдется клетка, в которой сидят, по крайней мере два зайца.» |
8 |
 |
В роли зайцев могут выступать различные предметы и математическиеобъекты - числа, отрезки и т. д. |
9 |
 |
1)Предположим, некоторое число кроликов рассажены в клеткахЕсли число кроликов больше, чем число клеток, то хотя бы в одной из клеток будет больше одного кролика. А четвертому деваться некуда… Пойдет к другу! |
10 |
 |
2)Предположим, m кроликов рассажены в n клеткахТогда если m > n, то хотя бы в одной клетке содержится не менее m:n кроликов, а также хотя бы в одной другой клетке содержится не более m:n кроликов. Рассмотрим для конкретных чисел. Пусть m=12, n=5, т.е. 12 кроликов рассаживаем в 5 клеток. Тогда хотя бы в одной клетке будет не менее 12:5 кроликов, и хотя бы в одной не более 12:5 кроликов. 12:5=2,4. Кролики, понятно, дробными не бывают. Значит, хотя бы в одной клетке не менее 3 (3 или больше) кроликов, и хотя бы в одной – не более 2 (2 или меньше). |
11 |
 |
Действительно так…Хотя возможны варианты… |
12 |
 |
3)Если число клеток больше, чем число кроликов, то как минимум однаклетка пуста. |
13 |
 |
У меня всё получилось!! Надо решить ещё пару примеров. Ну кто придумал эту математику ! |
14 |
 |
Задача №1В классе 35 учеников. Можно ли утверждать, что среди них найдутся хотя бы 2 ученика, фамилии которых начинаются с одной буквы? |
15 |
 |
Решение:Обозначим 35 учеников за зайцев, а буквы за клетки. В русском алфавите 33 буквы. Фамилии не могут начинаться на твердый и мягкий знак. Так как 35>31, то по принципу Дирихле найдется 2 ученика, у которых фамилия начинается с одной буквы. |
16 |
 |
Задача №2В школе 735 учащихся. Можно ли утверждать, что по крайней мере 3 ученика должны отмечать день своего рождения в один день? |
17 |
 |
Решение:Да, даже с учетом високосного года. 735=366*2+3 |
18 |
 |
Задача № 3Верно ли, что из 6-ти любых целых чисел, найдутся два числа, разность которых делится на 5. |
19 |
 |
Решение:зайцами будут любые 6 чисел. Остатки от деления на 5: 0, 1, 2, 3, 4 – 5 клеток, в каждую из которых будем сажать числа, дающие одинаковый остаток при делении на 5. Имеем 6 зайцев в 5-ти клетках. Значит обязательно найдется 2 числа, дающих одинаковые остатки при делении на 5. Значит их разность делится на 5. Ответ: Да. |
20 |
 |
Задача № 415 девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие – то 2 из них собрали одинаковое число орехов. |
21 |
 |
Решение:Пусть все девочки собрали разное число орехов. Т.к. сумма числа орехов, собранных девочками, (1 + 15) : 2 * 15 = 120 (зайцы) больше 100 (клетки). То какие-то две девочки собрали одинаковое число орехов. |
22 |
 |
Задача № 5Петя хочет написать на доске 55 различных двузначных чисел так, чтобы среди них не было 2- х , чисел, дающих в сумме 100. Сможет ли он это сделать? |
23 |
 |
Решение:Двузначных чисел всего 90. Нет среди них пары (в смысле получения 100 в сумме ) у чисел 50,91,92,…,99. т.е. десяти чисел. Оставшиеся 80 чисел образуют 40 «пар» . Эти 40 «пар» и 10 чисел без «пары» можно обозначить за клетки. Тогда зайцами будут 55 чисел. Т.к. 55 >50, то найдется 2 числа, которые или совпадают, или в сумме дают 100. Значит Петя не может осуществить свой план. |
24 |
 |
Задача № 6Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Докажите, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0,5 см. |
25 |
 |
Решение :Пусть 5 точек – «зайцы». Так как «клеток» должно быть меньше, то пусть их будет 4. Чтобы получить 4 «клетки», разобьем равносторонний треугольник с помощью средних линий на 4 равных треугольника – «клетки». Так как «зайцев» - 5, «клеток» - 4 и 5>4, то по принципу Дирихле найдется клетка – равносторонний треугольник со стороной 0,5см, в который попадут не менее 2 зайцев – точек. А так как все 4 треугольника равны и расстояние между точками в любом треугольнике будет меньше, чем 0,5см, то мы доказали, что между некоторыми 2 точками из 5 расстояние будет меньше, чем 0,5см |
26 |
 |
Физминутка |
27 |
 |
Зарядка для глаз |
28 |
 |
Кто умеет спать стоя |
29 |
 |
|
30 |
 |
Попробуй еще один раз |
31 |
 |
Стоя спать умеет слонОн слонихе шлет поклон. |
32 |
 |
Помни о том, что надо ежедневно делать гимнастику для глаз от 5 до 10минут |
33 |
 |
Задача № 7В лесу растет миллион елок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что в лесу найдутся две елки с одинаковым числом иголок. |
34 |
 |
Док-во :Перед нами миллион «кроликов» - елок и всего лишь 600001 клетка с номерами от 0 до 600000. Каждый «кролик» - елка сажается нами в клетку с номером, равным количеству иголок на этой елке. Так как «кроликов» гораздо больше, чем клеток, то в каждой клетке сидит по крайней мере два кролика – если бы в каждой сидело не более одного, то всего кроликов – елок было бы не более 600001 штук. Но ведь если два «кролика» - елки сидят в одной клетке, то количество иголок у них одинаково. |
35 |
 |
Задача № 8Внутри правильного шестиугольника со стороной 1см расположено 7 точек. Докажите, что расстояние между двумя точками меньше, чем 1см. |
36 |
 |
Док-во :Примем 7 точек за зайцев. Построим 6 клеток. Для этого разобьем правильный шестиугольник на 6 правильных треугольников, как на рисунке. Так как 7>6, то по принципу Дирихле хотя бы в один треугольник попадут не менее 2 точек. А расстояние между любыми 2 точками в правильном треугольнике со стороной 1см меньше 1см |
37 |
 |
Задача № 9В классе 37 учеников. Докажите, что среди них найдутся 4 ученика, отмечающие день рождения в одном месяце. |
38 |
 |
Док-во:1 способ: Пусть 37 учеников – «зайцы», а 12 месяцев – «клетки». Так как 37 12*3+1, то, применяя обобщенный принцип Дирихле, мы получаем, что найдется 4 ученика, родившиеся в один месяц 2 способ: Если в каждый месяц родилось не более 3 учеников, то всего учеников будет 36. А по условию задачи их 37, значит, такого быть не может. Поэтому найдется 4 ученика, отмечающие день рождения в один месяц. |
39 |
 |
Задача № 10Дано 12 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 11. |
40 |
 |
Решение:Применим числа за «зайцев». Так как их 12, то «клеток»должно быть меньше. Пусть «клетки» - это остатки от деления целого числа на 11. Всего клеток будет 11: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Тогда по принципу Дирихле найдется клетка, в которой будут сидеть не менее чем 2 зайца, то есть найдутся 2 целых числа с одним остатком. А разность 2 чисел с одинаковым остатком от деления на 11 будет делиться на 11 ( |
41 |
 |
Задача № 11В ковре размером 4х4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из него можно вырезать коврик размером 1х1 метр, не содержащий внутри себя дырок. (дырки считать точечными) |
42 |
 |
Док-во :Ковер 4х4 метра можно разрезать на 16 ковриков размером 1х1 метр. А так как дырок 15, то хотя бы один из них окажется без дырки. |
43 |
 |
Задача № 12В мешке лежат 100 белых и 100 черных шариков. Они тщательно перемешаны и неразличимы на ощупь. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, что бы среди них заведомо оказались два шара 1) одного цвета, 2) разного цвета, 3) белого цвета. |
44 |
 |
Решение:1) достанем из мешка 3 шара. Если бы среди этих шаров было не более одного шара каждого из двух цветов, то всего было бы не более двух шаров, что противоречит тому, что мы достали три шара. С другой стороны, двух шаров может и не хватить. «Кроликами» здесь являются шары, а «клетками» - цвета: черный и белый. Итак, наименьшее число шаров, чтобы заведомо были два шара одинакового цвета – три. 2) наименьшее число шаров – 101 3) наименьшее число шаров – 102 |
45 |
 |
Задача №13На дискотеку в студенческое общежитие, в котором 42 комнаты, пришли 36 гостей. Докажите, что найдется комната, в которую не пришел ни один гость |
46 |
 |
Док-во :Обозначив комнаты – «клетками», а гостей – «зайцами», имеем: 36<42. Тогда по принципу Дирихле найдется как минимум одна пустая «клетка», т.е. в какую-то комнату не придет не одного гостя. |
47 |
 |
Задача№14В школе 33 класса, 1150 учеников. Найдется ли класс, в котором меньше 35 учеников? |
48 |
 |
Решение:Допустим, что во всех классах не менее 35 учеников, тогда по всей школе будет не менее чем 35*33=1155 (учеников), что противоречит условию задачи. Значит в школе найдется класс в котором меньше, чем 35 учеников . |
49 |
 |
Задача №15Дано 9 целых чисел. Докажите, что из них можно выбрать 2, разность которых делится на 8. |
50 |
 |
Док-во:Обозначим за «клетки» остатки от деления на 8: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. «Клеток» будет 8. За «зайцев» обозначим 9 целых чисел. Так 9>8, то 2 целых числа будут иметь одинаковый остаток при делении на 8, а поэтому их разность будет делиться на 8. |
51 |
 |
Задача № 16В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат 10 коричневых и 10 красных носков одного качества и размера. Сколько носков нужно взять из ящика комода, не глядя, что бы среди них обязательно оказалась пара носков одного цвета? |
52 |
 |
Решение:Хорошо, что на левую и правую ногу носки одинаковые, поэтому достаточно побеспокоится только о цвете. |
53 |
 |
Спасибо за работу |
«1 кл математика меньше на некоторое число» |
http://900igr.net/prezentacija/bez_uroka/1-kl-matematika-menshe-na-nekotoroe-chislo-202657.html