Размножение
<<  Размножение и развитие яйцекладущих, сумчатых, плацентарных По биологии 10 класс индивидуальное развитие организмов  >>
Кривые размножения и жизненные таблицы (life tables)
Кривые размножения и жизненные таблицы (life tables)
Формирование когорты новорожденных особей
Формирование когорты новорожденных особей
B(x) – удельная скорость размножения в когорте, рассчитывается обычно
B(x) – удельная скорость размножения в когорте, рассчитывается обычно
Кривые размножения: примеры (1)
Кривые размножения: примеры (1)
Кривые размножения: примеры (2)
Кривые размножения: примеры (2)
Кривые размножения: примеры (3)
Кривые размножения: примеры (3)
Две стратегии размножения
Две стратегии размножения
x
x
R0 – это общее количество потомков, произведенных самкой за время
R0 – это общее количество потомков, произведенных самкой за время
(1)
(1)
Что означает среднее время генерации G
Что означает среднее время генерации G
Понятно ли, что среднее (оно же «средневзвешенное», хотя это слово
Понятно ли, что среднее (оно же «средневзвешенное», хотя это слово
Механическая модель для определения длительности поколения* (1) В 1920
Механическая модель для определения длительности поколения* (1) В 1920
Механическая модель для определения длительности поколения (2)
Механическая модель для определения длительности поколения (2)
Приближённый способ расчета удельной скорости роста численности r
Приближённый способ расчета удельной скорости роста численности r
R0 - безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз
R0 - безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз
Кому давать орден «Мать-героиня»
Кому давать орден «Мать-героиня»
Популяция, где по пять детей у молодых матерей (в год по ребенку с 18
Популяция, где по пять детей у молодых матерей (в год по ребенку с 18
R1 = (ln 2.5) / 20 = 0.916 / 20 = 0.0458 год-1 r2 = (ln 5) / 35
R1 = (ln 2.5) / 20 = 0.916 / 20 = 0.0458 год-1 r2 = (ln 5) / 35
x
x
Параметры, которые вводятся на следующих слайдах
Параметры, которые вводятся на следующих слайдах
0.8
0.8
0.5
0.5
?
?
Теорема Лотки
Теорема Лотки
Из лекций А.М. Гилярова
Из лекций А.М. Гилярова
Матрица Лесли L
Матрица Лесли L
Связь между матрицей Лесли, уравнением Эйлера-Лотки и коэффициентом
Связь между матрицей Лесли, уравнением Эйлера-Лотки и коэффициентом
Значение теоремы Лотки
Значение теоремы Лотки
Фундаментальное значение роста в геометрической прогрессии
Фундаментальное значение роста в геометрической прогрессии
Согласно Дарвину, слониха за время жизни производит 6 слонят, из
Согласно Дарвину, слониха за время жизни производит 6 слонят, из
Уравнение Эйлера-Лотки (внизу в красной рамке его непрерывный аналог)
Уравнение Эйлера-Лотки (внизу в красной рамке его непрерывный аналог)
x
x
Как найти r из уравнения Эйлера-Лотки
Как найти r из уравнения Эйлера-Лотки
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (1)
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (1)
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (2)
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (2)
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (3)
Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (3)
Пример расчета r по формуле Эйлера-Лотки, или находится ли пятнистая
Пример расчета r по формуле Эйлера-Лотки, или находится ли пятнистая
Природоохранный статус пятнистой неясыти согласно IUCN Red List
Природоохранный статус пятнистой неясыти согласно IUCN Red List
(1)
(1)
Преобразование уравнения Эйлера-Лотки (продолжение)
Преобразование уравнения Эйлера-Лотки (продолжение)
Самки первый раз размножаются в возрасте a = 3 года Самки приносят 0
Самки первый раз размножаются в возрасте a = 3 года Самки приносят 0
Расчет коэффициента роста численности
Расчет коэффициента роста численности
Расчет коэффициента роста численности
Расчет коэффициента роста численности
Расчет коэффициента роста численности
Расчет коэффициента роста численности
Заключение При указанных значениях демографических параметров
Заключение При указанных значениях демографических параметров
Возрастной состав
Возрастной состав
Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика; б – США; в
Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика; б – США; в
Разгадка: Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика;
Разгадка: Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика;
Возрастное распределение народонаселения Франции на 1 января 1967 г
Возрастное распределение народонаселения Франции на 1 января 1967 г
Возрастное распределение народонаселения России на 1 января 1997 г
Возрастное распределение народонаселения России на 1 января 1997 г
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным
Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

Презентация: «Отношение самцов самок во время размножения». Автор: Leonard. Файл: «Отношение самцов самок во время размножения.ppt». Размер zip-архива: 5449 КБ.

Отношение самцов самок во время размножения

содержание презентации «Отношение самцов самок во время размножения.ppt»
СлайдТекст
1 Кривые размножения и жизненные таблицы (life tables)

Кривые размножения и жизненные таблицы (life tables)

2 Формирование когорты новорожденных особей

Формирование когорты новорожденных особей

X – возраст, t – время n(x,t) – численность когорты возраста x в момент t n(x,t+1) – численность когорты возраста x в момент t+1

Мы вновь возвращаемся к формированию возрастной структуры популяции с помощью когорт (этот рисунок уже был в одной из предыдущих лекций), но теперь нас интересует, как формируется когорта новорожденных особей («нулевая когорта», на графике – белый столбец в момент времени t+1)

Синие пунктирные стрелки показывают формирование когорты новорожденных особей за счет размноже-ния в возрастных классах 1+, 2+ и 3+. Очевидно, половозрелость наступает в возрасте 1+. Черные точечные линии – фрагменты кривых выживания.

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

3 B(x) – удельная скорость размножения в когорте, рассчитывается обычно

B(x) – удельная скорость размножения в когорте, рассчитывается обычно

в числе дочерей в расчете на одну самку

Кривая размножения – удельная скорость размножения (или удельная повозрастная рождаемость) в когорте в зависимости от возраста Удельная скорость размножения рассчитывается на одну особь

А – однократное размножение на протяжении жизни Б и В – многократное размножение на протяжении жизни (x?, x?) – репродуктивный период на кривой Б (x?, xmax) – репродуктивный период на кривой В (0, x?) – пререпродуктивный период (x?, xmax) – пострепродуктивный период (на кривой Б)

x?

x?

Возраст x

А

Б

В

0

xmax

4 Кривые размножения: примеры (1)

Кривые размножения: примеры (1)

Мятлик однолетний Poa annua

Фото: http://ru.wikipedia.org/wiki/

График: Begon M., Mortimer M., Thompson D.J. Population Ecology. 1996, p. 16, Fig. 1.13

5 Кривые размножения: примеры (2)

Кривые размножения: примеры (2)

Вошь Pediculus humanus

Кривая размножения

Фото: http://ru.wikipedia.org/wiki/

График: Пианка Э. Эволюционная экология. 1981, с. 119, рис. 5.4

Головная вошь Pediculus humanus capitis

6 Кривые размножения: примеры (3)

Кривые размножения: примеры (3)

Среднее число яиц в кладке и возраст больших синиц в лесном массиве Wytham Wood близ Оксфорда (по Perrins C.M.1965. Population fluctuations and clutch size in the great tit, Parus major L. J. Anim. Ecol. 34: 601-647 из М. Бигон, Дж. Харпер, К. Таунсенд. Экология: Особи, популяции и сообщества. 1989, том 1, с. 214, табл. 4.5)

1961

1961

1962

1962

1963

1963

Число птиц

Число птиц

Число птиц

Фото: http://www.digitaljournal.com/

1+

128

7.7

54

8.5

54

9.4

2+

18

8.5

43

9.0

33

10.0

3+

14

8.3

12

8.8

29

9.7

4+

5

8.2

9

9.7

5+

1

8.0

2

9.5

6+

1

9.0

Фото: http://ru.wikipedia.org/wiki/Большая_синица

Возраст

Возраст

Сред. число яиц в кладке

Сред. число яиц в кладке

Сред. число яиц в кладке

Обратите внимание, что в этом примере у годовиков (1+) размер кладки всегда меньше, чем у особей в возрасте 2+

7 Две стратегии размножения

Две стратегии размножения

(1) Однократное размножение на протяжении жизни (semelparity, big-bang reproduction). Типичные r-стратеги Примеры: однолетние растения (напр. горох), некоторые насекомые (напр. поденки), дальневосточные лососи

(2) Многократное размножение на протяжении жизни (iteroparity). Относительно организмов с однократным размножением такие организмы являются K-стратегами. Наблюдается у большинства организмов. (Однако вспомните пример с дафниями в 4-й лекции, когда при недостатке пищи они вели себя как K-стратеги (вкладывали ресурсы в основном в соматическую массу, т.е. в поддержание жизнедеятельности), а при избытке пищи – как r-стратеги (вкладывали ресурсы в размножение.))

Горох

Поденка Caenis horaria (Ephemeroptera)

Чавыча (king salmon) Oncorhynchus tschawytscha

Фото: http://en.wikipedia.org

8 x

x

n(x)

b(x)

l(x)= n(x)/n(0) Функция выживания

p(x)= l(x+1)/l(x) Вероятность дожития

Жизненная таблица и связанные с ней понятия и вычисления

l(x) b(x)

l(x) b(x) x

e-rx l(x) b(x) Первое приближ.

e-rx l(x) b(x) Точная величина

R ? 0.718 год-1

R = 0.776 год-1

0

500

0

1.0

0.80

0.0

0.0

0.000

0.000

1

400

2

0.8

0.50

1.6

1.6

0.780

0.736

2

200

3

0.4

0.25

1.2

2.4

0.285

0.254

3

50

1

0.1

0

0.1

0.3

0.012

0.010

4

0

0

0

0.0

0.0

0.000

0.000

? = 2.9 (R0)

? = 4.3

? = 1.077

? = 1.000

R0 = 2.9 потомков

R0 - чистая скорость воспроизводства (net reproductive rate)

G = 1.483 года

G - среднее время генерации (mean generation time)

9 R0 – это общее количество потомков, произведенных самкой за время

R0 – это общее количество потомков, произведенных самкой за время

жизни, с учетом смертности материнских особей. Почему сразу ясно, что в величине R0 учитывается смертность материнских особей? Потому что R0 представляет не сумму величин b(x) (эта сумма – общее количество потомков без учета смертности), а сумму произведений l(x)?b(x), где l(x) отвечает за смерт-ность. Однако смысл R0 можно сделать еще более прозрачным (см. следующий слайд).

Какой смысл имеет чистая скорость воспроизводства R0? (1)

Для выяснения смысла какого-то выражения, чтобы выяснить его основное содержание, бывает полезно его несколько «огрубить» или упростить

10 (1)

(1)

(2)

(3)

Упростим выражение для R0 следующим образом:

Какой смысл имеет чистая скорость воспроизводства R0? (2)

Примем, что b(x) = b – это средняя удельная рождаемость по всем возрастам (тогда ее можно вынести за знак суммы в формуле (1)) a – возраст достижения половой зрелости (на нижнем пределе суммы и в индексах), la – доля особей, доживших до возраста a ?l(x) в формуле (2) – это площадь под кривой выживания, а эта площадь, как мы знаем из лекции 8, делённая на la, равна средней продолжитель-ности жизни после достижения возраста a, Ta. Поэтому ?l(x) в (2) равна Ta ?la в (3).

Уравнение (3) показывает, что R0 – это то количество потомков, которые произведены самкой за время ее жизни (b?Ta) и дожили до следующего периода размножения (b?Ta?la)

11 Что означает среднее время генерации G

Что означает среднее время генерации G

Доля особей, родившихся в возрасте x, от общего числа особей R0, произведен-ных за время жизни

Среднее время генерации G – это средний возраст размножения, т.е. средний возраст, в котором материнская особь производит потомков

Это видно из формулы для G:

Таким образом, сумма

То есть G представляет собой средневзвешенный возраст размножения, где «вес» возраста определяется долей произведенных в этом возрасте потомков

12 Понятно ли, что среднее (оно же «средневзвешенное», хотя это слово

Понятно ли, что среднее (оно же «средневзвешенное», хотя это слово

является излишним) значение всегда определяется как сумма отдельных значений, которые принимает интересующая нас величина, умноженных на частоту (или «вес») этих значений?

Формула для среднего значения

Среднее значение

Отдельные значения случайной величины

Частоты (или «веса») этих отдельных значений; сумма «весов» равна 1

Если непонятно, решите следующую школьную задачку: Найти среднее значение скорости пешехода, если ? времени он шел со скоростью 10 км/час (видимо, бежал, торопился на лекцию ?), ? времени со скоростью 4 км/час и ? времени со скоростью 8 км/час (опять бежал). Пояснение: ?, ? и еще раз ? - это и есть «веса», сумма которых равна 1 Ответ: средняя скорость Vср= 8 км/час. Почему Vср= 8 км/час (если забыть про формулу для среднего значения)? Рассмотрите произвольное время t. Какой путь прошел пешеход за время t? А теперь поделите путь на t – это и будет средняя скорость

13 Механическая модель для определения длительности поколения* (1) В 1920

Механическая модель для определения длительности поколения* (1) В 1920

г. в США на 100 000 матерей приходилось 116760 дочерей. Каков был средний возраст матери? 28.5 лет

Высота каждого из столбцов гистограммы соот-ветствует произведению l(x)?b(x), а ?l(x)?b(x), то есть площадь гистограммы, равна R0 = 116760

28.5 лет

116760

* Предложена Альфредом Лоткой

Из лекций А.М. Гилярова (с дополнениями)

14 Механическая модель для определения длительности поколения (2)

Механическая модель для определения длительности поколения (2)

Механическая аналогия (см. предыдущий слайд) состоит в том, что справа от оси балансира висит распределенный по возрастам груз общей «массой» 116760, а слева точечный груз (приходящийся на один возраст) с той же самой массой 116760. Спрашивается, на каком расстоянии от оси балансира нужно подвесить точечный груз, чтобы балансир находился в равновесии?

Тот факт, что балансир находится в равновесии, следует из формулы для G

Или

И из основных законов механики (о равенстве суммы моментов сил как усло-вии равновесия балансира)

15 Приближённый способ расчета удельной скорости роста численности r

Приближённый способ расчета удельной скорости роста численности r

Почему за среднее время генерации G численность популяции возрастает примерно в R0 раз? Потому что R0, как мы только что показали, – это количество потомков, которые произведены самкой за время ее жизни, дожили до следующего периода размножения и, таким образом, составили следующее поколе-ние. То есть R0 – это отношение численностей последовательных поколений, R0 = N(t)/N0

Экспоненциальный рост численности. Почему? Объяснение на следую-щих слайдах

Почему равенство для r является приближённым? Потому что в ходе нашего вывода формулы для r непрерывный процесс размножения заменяется дискретным (поколения дискретны!). Но непрерывное равно дискретному только приблизительно!

16 R0 - безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз

R0 - безразмерная величина, которая показывает, во сколько раз

возросла численность популяции за одно поколение Если R0 = 1, популяция сохраняет неизменную численность

Из лекций А.М. Гилярова

17 Кому давать орден «Мать-героиня»

Кому давать орден «Мать-героиня»

Из лекций А.М. Гилярова

18 Популяция, где по пять детей у молодых матерей (в год по ребенку с 18

Популяция, где по пять детей у молодых матерей (в год по ребенку с 18

до 22 лет): R0 = 2.5 G = 20 лет Популяция, где по десять детей у более взрослых матерей (в год по ребенку с 31 до 40 лет): R0 = 5 G = 35.5 лет

Кому давать орден «Мать-героиня»?

Из лекций А.М. Гилярова

19 R1 = (ln 2.5) / 20 = 0.916 / 20 = 0.0458 год-1 r2 = (ln 5) / 35

R1 = (ln 2.5) / 20 = 0.916 / 20 = 0.0458 год-1 r2 = (ln 5) / 35

5 = 1.609 / 35.5 = 0.0453 год-1

Кому давать орден «Мать-героиня»?

Замечание 1. А почему все-таки правы те, кто присуждали орден за 10 детей? Потому что r1 может быть реализована только в чреде поколений, то есть если дочери этих матерей будут заводить столько же детей в столь же раннем возрасте (что, конечно, совсем необязательно) Замечание 2. И величина r1, и величина r2, конечно, завышены, поскольку не учитывают, что la < 1. (Напомним, что R0 = b?Ta?la.) Замечание 3 (точнее, вопрос). Почему r1 > r2 несмотря на то, что R0 у молодых матерей в 2 раза меньше? Ответ «потому что время генерации у них меньше» не годится, потому что время генерации у них меньше только в 1.5 раза.

Из лекций А.М. Гилярова

20 x

x

n(x)

b(x)

l(x)= n(x)/n(0) Функция выживания

p(x)= l(x+1)/l(x) Вероятность дожития

Мы вновь возвращаемся к жизненной таблице. Теперь нам понадобится величина p(x) – вероятность дожития от возраста x к возрасту x+1, а также уже знакомая нам величина b(x) – удельная повозрастная рождаемость

l(x) b(x)

l(x) b(x) x

e-rx l(x) b(x) Первое приближ.

e-rx l(x) b(x) Точная величина

R ? 0.718 год-1

R = 0.776 год-1

0

500

0

1.0

0.80

0.0

0.0

0.000

0.000

1

400

2

0.8

0.50

1.6

1.6

0.780

0.736

2

200

3

0.4

0.25

1.2

2.4

0.285

0.254

3

50

1

0.1

0

0.1

0.3

0.012

0.010

4

0

0

0

0.0

0.0

0.000

0.000

? = 2.9 (R0)

? = 4.3

? = 1.077

? = 1.000

R0 = 2.9 потомков

G = 1.483 года

Приближённый способ расчета r

Точный способ расчета r (уравнение Эйлера-Лотки)

21 Параметры, которые вводятся на следующих слайдах

Параметры, которые вводятся на следующих слайдах

n0(t), n1(t), n2(t), n3(t) – численность особей возраста 0, 1, 2, 3 соответственно N(t) – общая численность популяции, N(t) = ?ni(t), где i = 0, 1, 2, 3 ? = N(t)/N(t-1) – коэффициент роста численности N. Обратите внимание, что при экспоненциальном росте численности ? есть знаменатель геометрической прогрессии. r – удельная скорость роста численности. Так как N(t) = N(t-1)?er, то ? = er и r = ln ? c0(t), c1(t), c2(t), c3(t) – доля особей возраста 0, 1, 2, 3 соответственно от общей численности популяции в момент времени t, то есть c0(t) = n0(t) / N(t), c1(t) = n1(t) / N(t) и т.д.

22 0.8

0.8

?2

0.5

0.8

?3

?2

0.5

0.25

0.8

?2

?3

?1

Как формируется численность популяции и отдельных возрастных классов в последовательные моменты времени

N0(t) –числ. Возр. 0

N1(t) –числ. Возр. 1

N2(t) –числ. Возр. 2

N(t) – общая числ.

r = ln ?

c0(t)= n0(t) / N(t)

c1(t) = n1(t) / N(t)

0

100

0

0

0

100

1.00

0

1

160

80

0

0

240

2.4

0.875

0.667

0.333

2

376

128

40

0

544

2.267

0.818

0.691

0.235

3

803.6

300.8

64

10

1178.4

2.166

0.773

0.682

0.255

N3(t)–числ. Возр. 3

Время t

?=n(t) /n(t-1) коэф. Роста N

23 0.5

0.5

0.25

0.8

?3

?1

?2

0.5

0.8

0.25

?3

?1

?2

0.5

0.25

0.8

?2

?3

?1

Как формируется численность популяции и отдельных возрастных классов в последовательные моменты времени (продолжение)

N0(t) –числ. Возр. 0

N1(t) –числ. Возр. 1

N2(t) –числ. Возр. 2

N(t) – общая числ.

r = ln ?

c0(t)= n0(t) / N(t)

c1(t) = n1(t) / N(t)

3

803.6

300.8

64

10

1178.4

2.166

0.773

0.682

0.255

4

1753.0

642.9

150.4

16

2562.3

2.174

0.777

0.684

0.251

5

3806.7

1402.4

321.4

37.6

5568.1

2.173

0.776

0.684

0.252

6

8274.6

3045.3

701.2

80.4

12101.5

2.173

0.776

0.684

0.252

N3(t)–числ. Возр. 3

Время t

?=n(t) /n(t-1) коэф. Роста N

24 ?

?

r

Экспоненциальный рост общей численности популяции (см. ? и r) Устойчивая возрастная структура (не зависит от времени) 1)+2) => Экспоненциальный рост численности каждого возрастного класса

Как формируется численность популяции и отдельных возрастных классов в последовательные моменты времени (итоговая таблица)

N0(t) –числ. Возр. 0

N1(t) –числ. Возр. 1

N2(t) –числ. Возр. 2

N(t) – общая числ.

r = ln ?

c0(t)= n0(t) / N(t)

c1(t) = n1(t) / N(t)

0

100

0

0

0

100

1.00

0

1

160

80

0

0

240

2.4

0.875

0.667

0.333

2

376

128

40

0

544

2.267

0.818

0.691

0.235

3

803.6

300.8

64

10

1178.4

2.166

0.773

0.682

0.255

4

1753.0

642.9

150.4

16

2562.3

2.174

0.777

0.684

0.251

5

3806.7

1402.4

321.4

37.6

5568.1

2.173

0.776

0.684

0.252

6

8274.6

3045.3

701.2

80.4

12101.5

2.173

0.776

0.684

0.252

Выводы:

Со скоростью ? растет как общая численность, так и численность каждого класса

N3(t)–числ. Возр. 3

Время t

?=n(t) /n(t-1) коэф. Роста N

25 Теорема Лотки

Теорема Лотки

Если l(x) и b(x) кривые всех последовательно нарождающихся в популяции когорт в течение достаточно длительного времени одинаковы, то независимо от начальной возрастной структуры в популяции с течением времени установится устойчивая, неизменная во времени возрастная структура, и численность такой популяции будет расти в геометри-ческой прогрессии.

Alfred James Lotka (1880-1949)

Lotka, A.J. (1907). Relation between birth rates and death rates. Science, 26: 121–130. Sharpe, F.R. & Lotka, A.J. (1911). A problem in age distribution. Philosophical Magazine, 21: 435–438.

Фото: http://www.eoearth.org

26 Из лекций А.М. Гилярова

Из лекций А.М. Гилярова

27 Матрица Лесли L

Матрица Лесли L

Матрицы Лесли (Paul H. Leslie, британский эколог): самое общее, приблизительное представление о них

Матрица Лесли – это один из (немногих!) универсальных инст-рументов экологии, о которых шла речь в первой лекции

Вектор возрастного состава в момент t

Вектор возрастного состава в момент t+1

Численность особей разных возрастных классов в последовательные моменты времени (т.е. то, чем мы только что занимались), на самом деле рассчитывают не с помощью жизненной таблицы, а с помощью матриц Лесли. То, что мы только что делали с помощью стрелок и цифр в кружочках, делают путем умножения матрицы Лесли на вектор возрастного состава по правилам умножения матриц. Записывается это так:

Матрица Лесли позволяет перейти от возрастного состава популяции в момент времени t к возрастному составу в момент времени t+1. Поэтому ее называют прогностической матрицей (population projection matrix). Лесли догадался, как нужно записать переходную матрицу L, чтобы переход от возрастного состава в момент t к возрастному составу в момент t+1 можно было осуществить, опираясь на обычные правила матричного умножения. Матрица Лесли основана на величинах b(x) и p(x) из жизненной таблицы. К сожалению, «устройство» матриц Лесли, как и правила умножения матриц (если Вы их не знаете), находятся за пределами нашего курса ? ?

28 Связь между матрицей Лесли, уравнением Эйлера-Лотки и коэффициентом

Связь между матрицей Лесли, уравнением Эйлера-Лотки и коэффициентом

роста численности ?

(1) Коэффициент роста численности ?

(2) Уравнение Эйлера-Лотки

(3) ? – это наибольшее собственное число матрицы Лесли

(4) Вектор устойчивого возрастного состава – это правый собственный вектор матрицы Лесли

(5) Уравнение Эйлера-Лотки – это характеристический многочлен матрицы Лесли

Для тех, кто знаком с основными понятиями линейной алгебры, на этом слайде представлена дополнительная информация (только на уровне «называния»!), относящаяся к матрице Лесли, уравнению Эйлера-Лотки и коэффициенту роста численности ?

29 Значение теоремы Лотки

Значение теоремы Лотки

Иногда полагают, что в геометрической прогрессии растут только «простые», делящиеся пополам организмы вроде бактерий или простейших. Эколог мог бы сказать, что это организмы без возрастной структуры. Если же имеются в виду организмы с возрастной структурой, то они «в первом приближении» рассматриваются как организмы с неперекрывающимися поколениями (это организмы, которые размножаются один раз в жизни – примеры смотрите на слайде про две стратегии размножения), то есть опять же без учета их возрастной структуры. Например, если вначале (в нулевом поколении) численность равна n, то в первом поколении она будет равна ?n, во втором поколении – ?2n и т.д. в геометрической прогрессии. (Кстати, чему равна ? в популяции одноклеточных?) Лотка, однако, показал, что рост в геометрической прогрессии происходит не только в таких «элементарных» популяциях (бактерий, одноклеточных или организмов с неперекрываю-щимися поколениями), а в реальных популяциях с возрастной структурой, с любой, сколь угодно сложной зависимостью рождаемости и смертности от возраста. При единственном условии: повозрастные рождаемость и смертность, то есть b(x) и l(x) кривые, не должны зависеть от времени. Хотя понятно, что это условие выполняется далеко не всегда, в некоторых случаях теорему Лотки – точнее, следствие из нее – уравнение Эйлера-Лотки для расчета r (см. один из следующих слайдов) – можно применить к реальным популяциям.

30 Фундаментальное значение роста в геометрической прогрессии

Фундаментальное значение роста в геометрической прогрессии

Charles Darwin (1809-1882)

Задача: Проверьте Дарвина! ? У меня получилось 878 лет!

Фото: http://en.wikipedia.org/wiki/Charles_Darwin

“Geometrical ratio of increase A struggle for existence inevitably follows from the high rate at which all organic beings tend to increase … There is no exception to the rule that every organic being naturally increases at so high a rate, that, if not destroyed the earth would soon be covered by the progeny of a single pair. Even slow-breeding man has doubled in twenty-five years, and at this rate, in less than a thousand years, there would literally not be standing room for his progeny. Linnaeus has calculated that if an annual plant produced only two seeds – and there is no plant so unproductive as this – an there seedlings next year produced two, and so on, then in twenty years there should be a million plants. (В самом деле 220 = 1048576 – ЛП ?) The elephant is reckoned the slowest of all known animals, and I have taken some pains to estimate its probable minimum rate of natural increase; it will be safest to assume that it begins breeding when thirty years old, and goes on breeding till ninety years old, bringing forth six young in the interval, and surviving till one hundred years old if this be so, after a period of from 740 to 750 years there would be nearly nineteen million elephants alive, descended from the first pair.” (Charles Darwin. The Origin of Species.)

31 Согласно Дарвину, слониха за время жизни производит 6 слонят, из

Согласно Дарвину, слониха за время жизни производит 6 слонят, из

которых, очевидно, три слоненка – самки (R0 = 3). Опять же согласно Дарвину, слониха начинает приносить потомство в возрасте 30 лет и размножается до 90 лет (обе этих цифры на самом деле завышены), так что среднее время генерации G = 60 лет. Тогда r = (ln 3)/60 = 0.0183 год-1. Через сколько лет численность популяции слонов составит 19,000,000 если вначале была одна пара? Поскольку все рассчитываем на самок, от одной самки должно образоваться 19,000,000 / 2 = 9,500,000 самок. Имеем уравнение: e0.0183 x = 9500000, откуда 0.0183 x = ln(9500000) = 16.067. x = 878 лет А за 750 лет, о которых говорит Дарвин, численность слоних составит только e0.0183?750 = 913,465 особей, или 1,826,929 самцов и самок, что в 10 раз меньше того, что получилось у Дарвина!

Вслед за Дарвином считаем слонов … ?

Фото: http://en.wikipedia.org/wiki/File:African_Bush_Elephants.jpg

32 Уравнение Эйлера-Лотки (внизу в красной рамке его непрерывный аналог)

Уравнение Эйлера-Лотки (внизу в красной рамке его непрерывный аналог)

Основные демографические понятия и соотношения: уравнение для r

0

t

t-x

– Количество родившихся в момент времени t

– Количество родившихся в момент времени t

Факт экспоненциального роста общей численности, который используется в ходе этого доказательства, не доказан! Он следует из теоремы Лотки

33 x

x

n(x)

b(x)

l(x)= n(x)/n(0) Функция выживания

p(x)= l(x+1)/l(x) Вероятность дожития

l(x) b(x)

l(x) b(x) x

e-rx l(x) b(x) Первое приближ.

e-rx l(x) b(x) Точная величина

R ? 0.718 год-1

R = 0.776 год-1

Расчет удельной скорости роста численности r по уравнению Эйлера-Лотки и сравнение точного и приближенного способов расчета r (продолжение примера)

0

500

0

1.0

0.80

0.0

0.0

0.000

0.000

1

400

2

0.8

0.50

1.6

1.6

0.780

0.736

2

200

3

0.4

0.25

1.2

2.4

0.285

0.254

3

50

1

0.1

0

0.1

0.3

0.012

0.010

4

0

0

0

0.0

0.0

0.000

0.000

? = 2.9 (R0)

? = 4.3

? = 1.077

? = 1.000

R0 = 2.9 потомков

G = 1.483 года

Точная величина r по формуле Эйлера-Лотки

Приближённая оценка r

34 Как найти r из уравнения Эйлера-Лотки

Как найти r из уравнения Эйлера-Лотки

В Excel решение уравнений осуществляет надстройка (Add-in), которая называется «Поиск решения» ([Equation] Solver). Для численного решения уравнения нужно задать начальное значение r, которое находят по приближенной формуле r = (lnR0)/G. Решение уравнения Эйлера-Лотки в условиях наше-го численного примера дано на следующих слайдах.

Выразить r из уравнения Эйлера-Лотки (так, чтобы r оказалась в левой части уравнения, а все остальные члены в правой) – нельзя, поэтому величину r находят численными методами (итерациями, или последовательными приближениями). Современные средства анализа данных, например, Excel или R (очень популярный в настоящее время статистический пакет, который, наряду со статистическим функциями, содержит массу полезных математических функций и вдобавок совершенно бесплатен!) позволяют численно решить уравнение Эйлера-Лотки и тем самым найти удельную скорость роста численности r.

В пакете R решение уравнений осуществляется, например, с помощью функции uniroot

35 Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (1)

Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (1)

Команда с ячейке F3: =СУММ(EXP(-D3*A3)*B3*C3; EXP(-D3*A4)*B4*C4; EXP(-D3*A5)*B5*C5; EXP(-D3*A6)*B6*C6)

Значение суммы в левой части уравнения Эйлера-Лотки при указанном начальном значении r

Начальное значение r = (lnR0)/G

Исходные данные из жизненной таблицы

36 Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (2)

Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (2)

Вызов команды «Поиск решения» и задание в ней адресов ячеек

37 Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (3)

Решение уравнения Эйлера-Лотки в пакете Excel (3)

Сумма в левой части уравнения Эйлера-Лотки приняла значение 1

Решение найдено! Теперь в этой ячейке стоит не r0, а r

38 Пример расчета r по формуле Эйлера-Лотки, или находится ли пятнистая

Пример расчета r по формуле Эйлера-Лотки, или находится ли пятнистая

неясыть (Strix occidentalis) под угрозой вымирания

Пятнистая неясыть распространена на западе Северной Америки

Strix occidentalis

«Этот вид птиц был причиной значительных разногласий в конце 1980-х и начале 1990-х годов, так как в результате присвоения статуса «находящийся под угрозой вид» деревообрабатывающая промышленность не могла начать разработку млн. га старых лесов в штатах Вашингтон, Орегон и Калифорния.» (Википедия) «The controversy pitted individual loggers and small sawmill owners against environmen-talists. Bumper stickers reading Kill a Spotted Owl—Save a Logger and I Like Spotted Owls—Fried appeared to support the loggers.» (Wikipedia)

Карта: The IUCN Red List of Threatened Species http://www.iucnredlist.org/apps/redlist/details/143247/0

Фото:http://en.wikipedia.org/wiki/Strix_occidentalis

39 Природоохранный статус пятнистой неясыти согласно IUCN Red List

Природоохранный статус пятнистой неясыти согласно IUCN Red List

Природоохранный статус – NT (near threatened), то есть вид находится в состоянии близком к угрожаемому

IUCN Red List - Международная Красная книга

Замечание: В Wikipedia статус пятнистой неясыти указан как VU (vulnerable, уязвимый), а статус северного подвида этого вида – как CR («критический», или «на грани вымирания»).

40 (1)

(1)

Расчет r (точнее, ?) по Russel Lande (Oecologia 1988 75: 601-607)

Пусть a – возраст наступления половой зрелости, тогда в сумму (1) войдут только члены, начиная с возраста a, поскольку для более молодых возрастов b(x) = 0 Примем, что b(x) = b – это средняя удельная рождаемость по всем возрастам (тогда ее можно вынести за знак суммы в уравнении (1)) При x = a l(x) = la, где la – доля особей, доживших до половой зрелости (то есть до возраста a) Примем, что вероятность дожития p(x) = l(x+1)/l(x) после достижения возраста a (то есть у взрослых особей) не зависит от возраста; p(x) = p При x > a выразим l(x) через p: l(a+1) = la?p, l(a+2) = la? p2, l(a+3) = la?p3 и т.д. В общем виде

Начинаем с уравнения Эйлера-Лотки в самом общем виде

Преобразуем и упростим ту его форму, которая записана справа

41 Преобразование уравнения Эйлера-Лотки (продолжение)

Преобразование уравнения Эйлера-Лотки (продолжение)

Из этого уравнения можно найти ?!

Мы провели замену переменной (x-a = z) и воспользовались формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии S = b1/(1-q), где q = p/? и первый член прогрессии b1 = 1

42 Самки первый раз размножаются в возрасте a = 3 года Самки приносят 0

Самки первый раз размножаются в возрасте a = 3 года Самки приносят 0

48 потомков обоего пола в год (с учетом того, что самки не каждый год размножаются), то есть 2? b = 0.48 и b = 0.24 самок в год (принимая, что соотношение полов в помете составляет 1:1) Доля особей, доживающих до половой зрелости (то есть до a = 3 года) равна la = 0.0722 Вероятность дожития у взрослых особей за год составляет p = 0.942

Демографические характеристики пятнистой неясыти (по Lande 1988)

Подставляем эти величины в уравнение для ?

43 Расчет коэффициента роста численности

Расчет коэффициента роста численности

для пятнистой неясыти в пакете Excel (1)

Команда в ячейке C4: =0.01733*B4^(-3)/(1-0.942*B4^(-1))

Левая часть уравнения для ? при ?0 = 1

Команда в ячейке С9: =A9*B9^(-3)/(A10-A11*B9^(-1))

Начальное значение ?

44 Расчет коэффициента роста численности

Расчет коэффициента роста численности

для пятнистой неясыти в пакете Excel (2)

Вызов команды «Поиск решения» и задание в ней адресов ячеек (по первому способу)

45 Расчет коэффициента роста численности

Расчет коэффициента роста численности

для пятнистой неясыти в пакете Excel (3)

Решение найдено! Теперь в этой ячейке стоит не ?0, а ?

Сумма в левой части уравнения для ? приняла значение 1

Решение найдено! Теперь в этой ячейке стоит не ?0, а ?

46 Заключение При указанных значениях демографических параметров

Заключение При указанных значениях демографических параметров

пятнистая неясыть находится в стабильном состоянии (? = 0.961 ? 1). Поэтому понятно, почему в Международной Красной книге статус этого вида NT («состояние близкое к угрожаемому»), т.е. он не отнесен к числу находящихся под угрозой. Это не исключает того, что отдельные подвиды этого вида (пятнистая неясыть насчитывает три подвида – северная, калифорнийская и мексиканская пятнистая неясыть) могут находиться под угрозой. В частности, в наиболее угрожаемом состоянии находится северный подвид пятнистой неясыти.

47 Возрастной состав

Возрастной состав

Согласно теореме Лотки (см. также рассмотренный выше пример формирования возрастных классов в популяции на базе жизненной таблицы), в экспоненциально растущей популяции устанавливается устойчивая возрастная структура. В реальности, поскольку условия [а значит и l(x) и b(x) кривые] меняются с течением времени, возрастная структура не остается постоянной. Тем не менее если условия меняются не очень быстро, возрастная структура успевает приобрести совершенно характерный вид.

48 Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика; б – США; в

Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика; б – США; в

- Швеция

Загадка: Здесь показаны возрастные распределения населения трех стран – Швеции, Мексики и США. Какой стране принадлежит каждое из этих распределений?

Возраст, годы

Рисунок из лекций А.М. Гилярова

49 Разгадка: Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика;

Разгадка: Возрастное распределение Homo sapiens, 1970 г. а – Мексика;

б – США; в - Швеция

Из лекций А.М. Гилярова

50 Возрастное распределение народонаселения Франции на 1 января 1967 г

Возрастное распределение народонаселения Франции на 1 января 1967 г

Из лекций А.М. Гилярова

В данном случае условия в некоторые периоды менялись быстро, и это тоже оставило следы на кривой возрастного распределения. О каких событиях свидетельствуют характерные особенности кривой (выделены кружками)?

51 Возрастное распределение народонаселения России на 1 января 1997 г

Возрастное распределение народонаселения России на 1 января 1997 г

Бэби-бум 1987 г.?

Из лекций А.М. Гилярова (с изменениями)

52 Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

переписей (1897 и 1929 гг.)

Из лекций А.М. Гилярова

53 Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

переписей (1939 и 1946 гг.)

Из лекций А.М. Гилярова

54 Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

переписей (1959 и 1979 гг.)

Из лекций А.М. Гилярова

55 Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

Возрастное распределение населения России в ХХ веке по данным

переписей (1989 и 1999 гг.)

Из лекций А.М. Гилярова

«Отношение самцов самок во время размножения»
http://900igr.net/prezentacija/biologija/otnoshenie-samtsov-samok-vo-vremja-razmnozhenija-256833.html
cсылка на страницу
Урок

Биология

136 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по биологии > Размножение > Отношение самцов самок во время размножения