Решение простейших тригонометрических уравнений

Решение простейших тригонометрических уравнений

Алгебра и начала анализа, 10 класс.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

,Где x – выражение с переменной, a

?.

Под простейшими тригонометрическими уравнениями понимают уравнения вида:

Рассмотрим решение уравнения sinx=a с помощью графического способа

решения. Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения синусоиды y=sinx и прямой y=a. Сразу же изобразим синусоиду.

Масштаб ?:3

y=a, a>1

a

a

y=a, a<–1

I случай: a?[–1;1]

y

1

x

0

?1

Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней не имеет!

Масштаб

:3

II случай: a?[–1;1]

2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), синус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arcsina.

a

3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–?; ?], равна (?–arcsina). Для объяснения этого достаточно вспомнить, что sinx=sin(?–x).

4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2?n, где n?? (ведь мы помним свойство периодичности функции y=sinx). Задание: назовите, какие абсциссы «улетевших» за край чертежа двух точек?

Ответ: (arcsina+2?) и (3? – arcsina).

Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их абсциссы определяются следующим образом:

1) Рассмотрим точку, абсцисса которой попадает на отрезок .

y

1

x

0

?1

Масштаб

:3

a

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:

y

1

x

0

?1

Или, принято эти две записи объединять в одну (подумайте, как это обосновать):

Масштаб

:3

III случай: a= –1; 0 или 1.

y=1

y=0

y=–1

Запомните эти три особых случая!

Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в каждом отдельном случае.

y

1

x

0

?1

Решение уравнения cosx=a рассмотрим тем же графическим способом

Для этого нам надо найти абсциссы точек пересечения косинусоиды y=cosx и прямой y=a. Сразу же изобразим косинусоиду.

Масштаб ?:3

y=a, a>1

a

a

y=a, a<–1

I случай: a?[–1;1]

y

1

x

0

?1

Очевидно, что в этом случае точек пересечения нет и поэтому уравнение корней не имеет!

Масштаб

:3

II случай: a?[–1;1]

2) Абсцисса этой точки – есть число(угол в радианной мере), косинус которого равен a, т.е. значение этого числа равно arccosa.

3) Абсцисса второй точки, попадающей на отрезок [–?; 0], равна –arccosa. Для объяснения этого достаточно вспомнить, что cosx=cos(–x).

4) Все остальные абсциссы точек пересечения получаются из этих двух добавлением к ним чисел вида 2?n, где n?? .

Очевидно, что в этом случае точек пересечения бесконечно много, причем их абсциссы определяются следующим образом:

y

1

x

0

?1

Масштаб

:3

Таким образом, все корни в этом случае можно записать в виде совокупности:

y

1

x

0

?1

Или, принято эти две записи объединять в одну:

Масштаб

:3

III случай: a= –1; 0 или 1.

y=1

y=0

y=–1

Запомните эти три особых случая!

Эти три значения – особые! Для них общая формула корней, выведенная нами в предыдущем случае не годится. Проследите самостоятельно за выводом в каждом отдельном случае.

y

1

x

0

?1

Решение уравнения tgx=a исследуйте самостоятельно:

a

y

1

x

0

?1

Решение уравнения сtgx=a исследуйте самостоятельно:

Масштаб ?:3

a

y

1

x

0

?1

Решение любых тригонометрических уравнений сводится к решению

рассмотренных выше простейших тригонометрических уравнений. Для этого применяются тождественные преобразования, изученные Вами ранее: различные тригонометрические формулы, различные способы решения алгебраических уравнений, формулы сокращенного умножения и т.д.. Итак, запомним: