Ортогональное проектирование

Ортогональное проектирование

Пусть дана плоскость ? и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости ?. Точку пересечения прямой a с плоскостью ? обозначим A’. Она называется ортогональной проекцией точки A на плоскость ?.

Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их ортогональные проекции A’, называется ортогональным проектированием на плоскость ?.

Свойства

Поскольку ортогональное проектирование является частным случаем параллельного проектирования, для него справедливы все рассмотренные выше свойства параллельного проектирования.

Свойство 1. Если прямая перпендикулярна плоскости проектирования, то ее ортогональной проекцией является точка. Если прямая не перпендикулярна плоскости проектирования, то ее ортогональной проекцией является прямая.

Свойство 2. Ортогональное проектирование сохраняет отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой. В частности, при ортогональном проектировании середина отрезка переходит в середину соответствующего отрезка.

Свойство 3. Если две параллельные прямые не перпендикулярны плоскости проектирования, то их ортогональными проекциями являются две параллельные прямые или одна прямая.

Заметим, что ортогональное проектирование, также как и параллельное проектирование, не сохраняет длины отрезков и величины углов.

Куб

На рисунке показано ортогональная проекция куба.

Фигура

Упражнение 1

Какая фигура является ортогональной проекцией куба на плоскость, параллельную плоскости его грани?

Ответ. Квадрат.

Изобразите ортогональную проекцию куба

Упражнение 2

Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную диагонали его грани.

Единичный куб

Упражнение 3

Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную диагонали его грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба.

Плоскость

Упражнение 4

Изобразите ортогональную проекцию куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали.

Центр куба

Упражнение 5

Единичный куб ортогонально проектируется на плоскость, проходящую через центр куба и перпендикулярную его диагонали. Найдите сторону правильного шестиугольника, являющегося ортогональной проекцией этого куба.

Параллельная проекция куба

Упражнение 6

На рисунке изображена параллельная проекция куба. Является ли она ортогональной проекцией куба?

Ответ. Нет. Из того, что ортогональной проекцией грани куба является квадрат следует, что плоскость проектирования параллельна плоскости этой грани. В этом случае ортогональной проекцией куба должен быть квадрат.

Ортогональная проекция правильной четырехугольной пирамиды

Пирамида

На рисунке показано ортогональная проекция правильной четырехугольной пирамиды.

Изобразите ортогональную проекцию

Упражнение 7

Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды на плоскость, параллельную плоскости ее основания.

Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды

Упражнение 8

Изобразите ортогональную проекцию правильной четырехугольной пирамиды, все ребра которой равны 1, на плоскость, перпендикулярную ее боковому ребру.

Правильная четырехугольная пирамида

Упражнение 9

Правильная четырехугольная пирамида, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, перпендикулярную боковому ребру. Найдите стороны и диагонали ромба, являющегося ортогональной проекцией этой пирамиды.

Параллельная проекция

Упражнение 10

На рисунке изображена параллельная проекция правильной четырехугольной пирамиды. Является ли она ортогональной проекцией?

Ответ. Нет.

Призма

На рисунке показано ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы.

Проекция правильной шестиугольной призмы

Упражнение 11

Какой фигурой является ортогональная проекция правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее основания?

Ответ. Правильный шестиугольник.

Изобразите ортогональную проекцию правильной шестиугольной призмы

Упражнение 12

Изобразите ортогональную проекцию правильной шестиугольной призмы на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани.

Шестиугольная призма

Упражнение 13

Правильная шестиугольная призма, все ребра которой равны 1, ортогонально проектируется на плоскость, параллельную плоскости ее боковой грани. Найдите стороны прямоугольника, являющегося ортогональной проекцией этой призмы.

Ответ. 1 и 2.

Параллельная проекция правильной шестиугольной призмы

Упражнение 14

На рисунке изображена параллельная проекция правильной шестиугольной призмы. Является ли она ортогональной проекцией?

Ответ. Нет.

Площадь

Теорема. Площадь S’ ортогональной проекции плоской фигуры равна площади S этой фигуры, умноженной на косинус угла ? между плоскостью фигуры Ф и плоскостью проектирования, т.е. имеет место формула

Доказательство

Доказательство разбивается на несколько случаев.

Если Ф – прямоугольник со сторонами a, b, сторона a которого параллельна плоскости проектирования, то проекцией является прямоугольник со сторонами a и bcos?.

Если Ф – прямоугольный треугольник с катетами a, b, катет a которого параллелен плоскости проектирования, то проекцией является прямоугольный треугольник с катетами a и bcos?.

Если Ф –треугольник, одна сторона которого параллельна плоскости проектирования, то его можно разбить или дополнить до двух прямоугольных треугольников.

Произвольный треугольник

Доказательство

Если Ф –произвольный треугольник, то его можно разбить на треугольники, у которых одна сторона параллельна плоскости проектирования.

Если Ф – многоугольник, то его можно разбить на треугольники.

Если Ф – произвольная фигура, то ее можно приблизить многоугольниками.

Площадь сечения

Упражнение 15

Найдите площадь сечения единичного куба A…D1, проходящее через вершину D1 и середины ребер AB, BC.

Найдите площадь сечения

Упражнение 16

Найдите площадь сечения единичного куба A…D1, проходящее через середины ребер AB, BC, DD1.