Без темы
<<  Задание на дом: §35 Задачи, приводящие к теории графов  >>
Задачи на теорию чисел
Задачи на теорию чисел
Демо-2015
Демо-2015
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
1 балл
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Необходимая теория
Метод «Оценка плюс пример»
Метод «Оценка плюс пример»
Метод «Оценка плюс пример»
Метод «Оценка плюс пример»
Задача №1
Задача №1
Задача №2
Задача №2
Ответ: нет; нет; да
Ответ: нет; нет; да
Ответ: а = 2, b = 5
Ответ: а = 2, b = 5
Ответ: нет; да; 6
Ответ: нет; да; 6
Ответ: нет; да; 110
Ответ: нет; да; 110
Использованные материалы:
Использованные материалы:

Презентация на тему: «Задачи на теорию чисел». Автор: Инна. Файл: «Задачи на теорию чисел.pptx». Размер zip-архива: 660 КБ.

Задачи на теорию чисел

содержание презентации «Задачи на теорию чисел.pptx»
СлайдТекст
1 Задачи на теорию чисел

Задачи на теорию чисел

ЕГЭ задача №21 (С-6).

Иванова Инна Владимировна Сунтар МБОУ «СПТЛ-и»

2 Демо-2015

Демо-2015

Задание №21.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно - 3 , среднее арифметическое всех положительных из них равно 4, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно - 8 . а) Сколько чисел написано на доске? б) Каких чисел написано больше: положительных или отрицательных? в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

3 1 балл

1 балл

Демо-2015. Задание №21. Решение а).

Вывод: этих чисел может быть только 44.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m.

Сумма набора чисел равна количеству чисел в этом наборе, умноженному на его среднее арифметическое, поэтому: Сумма всех написанных чисел равна - 3(k + l + m) Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т.

Тогда получаем, что 4k – 8m + 0l = - 3(k + l + m), то есть 4(k – 2m) = -3(k + l + m) , а это значит, что количество всех чисел кратно 4.

На доске написано более 40, но менее 48 целых чисел, но при этом их число кратно 4. 41 42 43 44 45 46 47

4 1 балл

1 балл

Демо-2015. Задание №21. Решение б).

Вывод: отрицательных чисел больше.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m.

Сумма всех написанных чисел равна - 3 ? (k + l + m ) . Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т.

Нужно сравнить k и m . Для этого составим равенство 4k – 8m = - 3?(k + l + m ) , то есть 7k + 3l = 5m, из этого следует 7k ? 5m. Отсюда очевидно: k ? m.

5 1 балл

1 балл

Демо-2015. Задание №21. Решение в).

Вывод: положительных чисел может быть не более 17.

Пусть среди написанных чисел k положительных, l нулей и m отрицательных. Тогда количество всех написанных чисел равно k + l + m = 44.

Сумма всех написанных чисел равна - 3 ? 44 = - 132 Сумма всех положительных чисел равна 4k. Сумма всех отрицательных чисел равна - 8т.

Тогда получаем, что 4k – 8m = - 132, то есть k = 2m - 33, но при этом k + m ? 44. Отсюда получим: 3m ? 77. Значит, m ? 25. Но нас интересуют положительные числа, тогда снова используем равенство k = 2m - 33 ? 25?2 – 33=17

6 1 балл

1 балл

Демо-2015. Задание №21. Решение в).

Ответ: а) 44; б) отрицательных; в) 17.

Мы ещё не ответили на вопрос задачи В), так как вывод: положительных чисел может быть не более 17, - это только оценка границ числа k .

Необходимо подобрать соответствующий пример, в котором будет именно 17 положительных чисел, причём способ подбора этого примера не нужно записывать. Здесь нужен только подходящий ответ.

Например, можно дать такой пример: На доске 17 раз записана четвёрка, 25 раз записано число - 8 и 2 раза записан нуль. Этот набор вполне соответствует условиям , но можно подобрать и какой-нибудь другой пример.

7 Необходимая теория

Необходимая теория

Числовые множества Делимость Чётность Деление с остатком Каноническое разложение Взаимно простые числа Последовательности: арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия Метод «Оценка плюс пример»

8 Необходимая теория

Необходимая теория

9 Необходимая теория

Необходимая теория

Делимость Понятие делимости относится к целым числам. Определение: Число а делится на число в ? 0, если найдётся такое число с, что а = вс. Наболее важные признаки делимости: На 2 На 5 На 10 На 3 На 9.

Последняя цифра есть 0, 2, 4, 6 или 8

Последняя цифра есть 0 или 5

Последняя цифра есть 0

Сумма цифр делится на 3

Сумма цифр делится на 9

10 Необходимая теория

Необходимая теория

Чётность Наиболее важные свойства: Сумма любого числа чётных слагаемых чётна. Сумма чётного числа нечётных слагаемых чётна. Сумма нечётного числа нечётных слагаемых нечётна. Пусть имеется произведение нескольких множителей. Если все множители нечётны, то произведение нечётно. Если хотя бы один из множителей чётный, то произведение чётно.

11 Необходимая теория

Необходимая теория

Деление с остатком Любое число а можно разделить с остатком на любое число b ? 0. То есть найдутся такие числа q и r (q – частное, r – остаток), такие, что a = bq + r, и при этом будет выполнено неравенство 0 ? r ? b.

Упражнение 1: Найдите частное и остаток от деления 7 на 2 15 на 4 2014 на 5 2015 на 13 9 на 8 8 на 9

Упражнение 3: Докажите, что число 1000…..0004 (между 1 и 4 стоит любое число нулей) не является квадратом целого числа.

12 Необходимая теория

Необходимая теория

Каноническое разложение Всякое число делится на 1 и на само себя. Если число p не равно 1 и не имеет других натуральных делителей кроме 1 и p, то такое число p называется простым. Число, не равное 1 и не простое, называется составным

13 Необходимая теория

Необходимая теория

Каноническое разложение Всякое число делится на 1 и на само себя. Если число p не равно 1 и не имеет других натуральных делителей кроме 1 и p, то такое число p называется простым. Число, не равное 1 и не простое, называется составным. Разложение на простые множители с точностью до порядка множителей является единственным (Основная теорема арифметики) и называется каноническим.

14 Необходимая теория

Необходимая теория

Взаимно простые числа Определение: Числа называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей кроме 1 Свойства взаимно простых чисел. Пусть а и в взаимно простые числа. Тогда: Если некоторое число делится на а и в , то оно делится и на их произведение ав . Если ап делится на в , то п делится на в .

Упражнение: Какие цифры можно вставить вместо звёздочек в записи 35*4*, чтобы полученное число делилось на 45?

15 Необходимая теория

Необходимая теория

Упражнение: Между числами 27 и 64 вставьте два числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

16 Необходимая теория

Необходимая теория

Метод «Оценка плюс пример» «Оценка + пример» – это специальное математическое рассуждение, которое применяется в некоторых задачах при нахождении наибольших или наименьших значений. Суть метода: Нужно найти наименьшее значение некоторой величины А. Действуем в два этапа: 1) Оценка. Показываем, что выполнено неравенство А??. 2) Пример. Предъявляем пример, когда достигается равенство А = ?.

17 Метод «Оценка плюс пример»

Метод «Оценка плюс пример»

Пример 2 (средний): Натуральные числа от 1 до 10 разбили на 2 группы так, что произведение чисел в первой группе делится на произведение чисел во второй группе. Какое наименьшее значение может принимать частное от деления первого произведения на второе?

18 Метод «Оценка плюс пример»

Метод «Оценка плюс пример»

19 Задача №1

Задача №1

(ЕГЭ-2013 досрочный)

Даны п различных натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию, п ? 3. а) Может ли сумма всех данных чисел быть равной 18? б) Каково наибольшее значение п, если сумма всех данных чисел меньше 800? в) Найти все возможные п, если сумма значений всех данных чисел равна 111.

20 Задача №2

Задача №2

(ЕГЭ-2013)

Задумано несколько целых чисел. Набор этих чисел и их все возможные суммы (по 2, по 3 и т.д.) выписываются на доску в порядке неубывания. Например, если задуманы числа 2; 3 и 5, то на доске будет набор 2; 3; 5; 5; 7; 8; 10. а) На доске выписан набор : -11; -7; -5; -4; -1; 2; 6. Какие числа были задуманы? б) Для некоторых задуманных различных чисел в наборе, выписанном на доске, число 0 встречается ровно 4 раза. Какое наименьшее количество чисел было задумано? в) Для некоторых задуманных чисел на доске выписан набор. Всегда ли можно по этому набору однозначно определить задуманные числа?

21 Ответ: нет; нет; да

Ответ: нет; нет; да

Задача №3. (ЕГЭ-2014 диагностический вариант)

Можно ли привести пример пяти различных натуральных чисел, произведение которых равно 720 и а) 5 б) 4 в) 3 из них образуют геометрическую прогрессию?

22 Ответ: а = 2, b = 5

Ответ: а = 2, b = 5

Решите в натуральных числах уравнение а! + 5а +13 = b2.

Подсказка: Последняя цифра и квадрат

Подсказка: Перебор вариантов

Подсказка: Рассмотрите выражение а! + 5а при а ? 5

Задача №4. (ЕГЭ-2014 диагностический вариант. Республиканская олимпиада 1989 года )

23 Ответ: нет; да; 6

Ответ: нет; да; 6

Задача №5. (ЕГЭ-2014 досрочный вариант. 28 апреля)

На окружности некоторым образом расставили натуральные числа от 1 до 21 (каждое число поставлено по одному разу). Затем для каждой пары соседних чисел нашли разность большего и меньшего. а) Могли ли все полученные разности быть не меньше 11? б) Могли ли все полученные разности быть не меньше 10? в) Помимо полученных разностей, для каждой пары чисел, стоящих через одно, нашли разность большего и меньшего. Для какого наибольшего целого числа k можно так расставить числа, чтобы все разности были не меньше k ?

24 Ответ: нет; да; 110

Ответ: нет; да; 110

Задача №6. (ЕГЭ-2014 5 июня)

На сайте проводится опрос, кого из футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста ? доля голосов, отданных за него, в процентах, округленная до целого числа. Например, числа 9,3, 10,5 и 12,7 округляются до 9, 11 и 13 соответственно. а) Всего проголосовало 11 посетителей сайта. Мог ли рейтинг некоторого футболиста быть равным 38? б) Пусть посетители сайта отдавали голоса за одного из трех футболистов. Могло ли быть так, что все три футболиста получили разное число голосов, но их рейтинги одинаковы? в) На сайте отображалось, что рейтинг некоторого футболиста равен 5. Это число не изменилось и после того, как Вася отдал свой голос за этого футболиста. При каком наименьшем числе отданных за всех футболистов голосов, включая Васин голос, такое возможно?

25 Использованные материалы:

Использованные материалы:

Демонстрационный вариант ЕГЭ 2015 года Яковлев И.В. «Материалы по математике. MathUs.ru Материалы единого государственного экзамена за 2010 – 2014 годы. Шевкин А.В., Пукас Ю.О. «ЕГЭ. Задание С6 с решениями и ответами» Издательство «Экзамен» Москва 2011. Материалы республиканских олимпиад по математике за 1971 – 2014 годы. (из личного архива)

«Задачи на теорию чисел»
http://900igr.net/prezentacija/ekonomika/zadachi-na-teoriju-chisel-103708.html
cсылка на страницу

Без темы

757 презентаций
Урок

Экономика

125 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по экономике > Без темы > Задачи на теорию чисел