Мышление
<<  Развитие креативного мышления на уроках информатики Верны ли суждения  >>
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
Цели и задачи проекта:
Цели и задачи проекта:
Уравнения вида f(x, y, …) = 0, переменные в котором считаются
Уравнения вида f(x, y, …) = 0, переменные в котором считаются
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды
Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды
Решение:
Решение:
Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c
Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c
3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем
3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем
Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений
Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений
1. Метод разложения на множители
1. Метод разложения на множители
2. Метод испытания остатков
2. Метод испытания остатков
Другие методы решения уравнений
Другие методы решения уравнений
Решить в целых числах уравнение
Решить в целых числах уравнение
Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена
Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена
Второе решение
Второе решение
Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz
Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz
Выводы:
Выводы:
Список используемой литературы:
Список используемой литературы:

Презентация: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления». Автор: . Файл: «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.ppt». Размер zip-архива: 2708 КБ.

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления

содержание презентации «В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления.ppt»
СлайдТекст
1 В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
2 В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления

В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления

В.П.Ермаков

3 Цели и задачи проекта:

Цели и задачи проекта:

изучить различные способы решения уравнений в целых числах. научиться решать диофантовы уравнения, используя имеющиеся алгоритмы. выполнить сопоставительно – аналитическую работу с контрольно – измерительными материалами ЕГЭ и заданий олимпиад разных лет.

4 Уравнения вида f(x, y, …) = 0, переменные в котором считаются

Уравнения вида f(x, y, …) = 0, переменные в котором считаются

целочисленными, называются уравнениями в целых числах или диофантовыми уравнениями. Под одним решением неопределенного уравнения понимается совокупность значений неизвестных, которая обращает данное уравнение в верное равенство.

5 В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления
6 Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды

Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды

У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?

7 Решение:

Решение:

Пусть х - количество морских звёзд, у – количество осьминогов. Тогда у всех осьминогов по 8у ног, а у всех звёзд 5х ног. Составим уравнение: 5х + 8у = 39. Заметим, что количество животных не может выражаться нецелым или отрицательным числами. Следовательно, если х – целое неотрицательное число, то и у=(39 – 5х)/8 должно быть целым и неотрицательным, а, значит, нужно, чтобы выражение 39 – 5х без остатка делилось на 8. Простой перебор вариантов показывает, что это возможно только при х = 3, тогда у = 3.

8 Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c

Алгоритм решения в целых числах уравнения вида ax + by = c

• если НОД(a, b) = d>1 и c:d, то

2. Разделить почленно уравнение ax + by = c на d, получив при этом уравнение a1x + b1y= c1, в котором НОД(a1, b1) = 1.

1. Найти наибольший общий делитель чисел a и b:

• если НОД(a, b) = d>1, и c не делится на d, то уравнение целых решений не имеет.

9 3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем

3. Найти целое решение (x0, y0) уравнения a1x + b1y= c1 путем

представления 1 как линейной комбинации чисел a и b.

4. Составить общую формулу целых решений данного уравнения: x = x0c + bt y = y0c - at

10 Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений

Методы решения некоторых нелинейных неопределенных уравнений

Метод разложения на множители

Метод испытания остатков

Другие методы решения

11 1. Метод разложения на множители

1. Метод разложения на множители

Задание: Решить уравнение в целых числах y3 - x3 = 91. Решение: 1) Используя формулы сокращенного умножения, разложим правую часть уравнения на множители: (y - x)(y2 + xy + x2) = 91 (1) 2) Выпишем все делители числа 91: ± 1; ± 7; ± 13; ± 91 3) Проводим исследование. Заметим, что для любых целых x и y число y2 + yx + x2 ? y2 - 2|y||x| + x2 = (|y| - |x|)2 ? 0, следовательно, оба сомножителя в левой части уравнения должны быть положительными. Тогда уравнение (1) равносильно совокупности систем уравнений: 4) Решив системы, получим: первая система имеет решения (5; 6), (-6; -5); третья (-3; 4),(-4;3); вторая и четвертая решений в целых числах не имеют. Ответ: Уравнение (1) имеет четыре решения (5; 6); (-6; -5); (-3; 4); (-4;3).

12 2. Метод испытания остатков

2. Метод испытания остатков

Пример. Решить в целых числах x? - 3y? - 9z? = 0 Решение. 1) Очевидно, что решением уравнения будет тройка чисел (0; 0; 0). 2)Выясним, имеет ли уравнение другие решения. Для этого преобразуем уравнение к виду: x? = 3y? + 9z? Так как правая часть полученного уравнения делится на 3, то и левая обязана делится на три, следовательно, так как 3 - число простое, х делится на 3, т.е. х = 3k, подставим это выражение в уравнение (3): 27k3 = 3y? + 9z?, откуда: 9k3 = y? + 3z? следовательно, y? делится на 3 и y = 3m. Подставим полученное выражение в уравнение (4): 9k3 = 27m? + 3z?, откуда 3k3 = 9m? + z? В свою очередь, из этого уравнения следует, что z3 делится на 3, и z = 3n. Подставив это выражение в (5), получим, что k3 должно делиться на 3. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие первоначальному уравнению, кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, опять должны получаться числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0; 0) является единственным.

13 Другие методы решения уравнений

Другие методы решения уравнений

При решении следующего уравнения применяется неравенство Коши, справедливое для любых положительных чисел:

14 Решить в целых числах уравнение

Решить в целых числах уравнение

Решение: 1) Заметим, что слагаемые в левой части уравнения имеют одинаковый знак, а поскольку их сумма положительна, то каждое слагаемое также положительно. Поэтому к сумме, стоящей слева, применим неравенство Коши, получим: = Откуда, xyz = 1. 2) Исследуем возможные наборы трех целых чисел, которые в произведении дают 1. Это могут быть тройки (1,1,1), (1,-1,-1), (-1,-1,1), (-1,1,-1). Непосредственной проверкой убеждаемся, что каждая из них является решением исходного уравнения. Ответ: (1,1,1); (1,-1,-1); (-1,-1,1); (-1,1,-1).

15 Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена

Решение уравнений в целых числах из Единого Государственного Экзамена

(задания С6).

Решение: Первое решение. Разложим 10/7 в цепную дробь =1+ Из уравнения х + = получим х + = 1 + и из единственности разложения рационального числа в цепную дробь следует х=1, у=2, z=3.

Пример 1. Решить в натуральных числах уравнение х+ =

16 Второе решение

Второе решение

Преобразуем уравнение х + = 1 + Тогда х - целая, - дробная часть, поэтому Из второго уравнения следует или у + = 2 + откуда x=1, у = 2, z = 3. Ответ: х = 1, у = 2, z = 3.

17 Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz

Пример 2. Решить в натуральных числах уравнение х + y + z = xyz

Решение: Пусть х =< y =< z, тогда х + у + z =< 3z, а так как x + y + z = xyz, то xyz =< 3z или ху =< 3. Если бы х = у = z, то z3= 3z или z2= 3, что невозможно при целом z. Значит, хотя бы два из чисел х, у, z неравные, поэтому ху < 3, т.е. ху = 2, либо ху = 1. Если ху = 2, то х = 1, у = 2, и из исходного уравнения найдем z =3. Если бы ху = 1, то х = у = 1, и из исходного уравнения получим 2 + z = z, что невозможно. Из найденного уравнения х = 1, у = 2,z = 3 найдем остальные перестановками. Ответ: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3),(2; 3; 1), (3; 1; 2), (3; 2; 1).

18 Выводы:

Выводы:

при решении неопределенных уравнений в целых числах применяются свойства, оценка выражений, входящих в уравнение; выражение одной переменной через другую и выделение целой части дроби; метод разложения многочлена на множители, метод полного перебора всех возможных значений переменных, входящих в уравнение; для линейных уравнений с двумя переменными, т.е. уравнения вида ax+by=c, существует алгоритм решения; диофантовы уравнения встречаются в олимпиадных заданиях, заданиях Единого государственного экзамена развивая логическое мышление, повышая уровень математической культуры, прививая навыки самостоятельной исследовательской работы в математике.

19 Список используемой литературы:

Список используемой литературы:

Башмакова, И.Г. Диофант и диофантовы уравнения. – М.: Наука, 1972 Васильев, Н.Б. Задачи Всесоюзных математических олимпиад. – М., 1998. Материалы для подготовки к ЕГЭ Ресурсы Интернет

«В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления»
http://900igr.net/prezentacija/filosofija/v-matematike-sleduet-pomnit-ne-formuly-a-protsessy-myshlenija-243409.html
cсылка на страницу
Урок

Философия

20 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по философии > Мышление > В математике следует помнить не формулы, а процессы мышления