Презентация на тему «Волны»

Лекция № 13 Волны

17/05/2014

Алексей Викторович Гуденко

План лекции

Волновое уравнение Упругие волны. Колебания струны. Скорость распространения волн. Энергия волны. Звук. Скорость звука в газах. Эффект Доплера

Демонстрации

Продольные и поперечные волны

Волны

Основные определения.

Волна – это возмущение, распространяющееся в среде (или в вакууме), несущие энергию. Перенос энергии происходит без переноса вещества. Основные виды волн: упругие, поверхностные, электромагнитные. Импульс – одиночная волна Цуг волн – ряд повторяющихся возмущений Гармоническая волна – синусоидальная волна. Продольные волны – частицы среды колеблются вдоль направления распространения Поперечные волны – частицы среды колеблются поперёк направлению распространения

Волны

Основные определения.

Фронт волны (волновой фронт) – геометрическое место точек, до которых возмущение доходит к моменту времени t. Волновая поверхность - геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе. Длина волны – расстояние, на которое распространяется волна за время одного периода колебаний: ? = vT

Уравнение плоской гармонической волны

X(z,t) = acos(?(t – z/v)) = acos(?t – kz) – уравнение гармонической волны, распространяющейся в положительном направлении z ? = 2?/T – циклическая частота k = 2?/? – волновое число v = ?/k – фазовая скорость x(z,t) = ae-?zcos(?t – kz) ? – коэффициент затухания (1/м) x(r,t) = (A/r)cos(?t – kr) – сферическая волна

Волновое уравнение

Скорость упругих волн в тонком стержне

?2x/?t2 = v2 ?2x/?z2 общее решение волнового уравнения: x = x(t – z/v) + x(t + z/v) Относительная деформация ? = ?x/?z Закон Гука ? = E? ? Закон Ньютона для участка стержня ?z: ?m?2x/?t2 = F ? ?S?z ?2x/?t2 = (?(z + ?z) - ?(z))S = ES??/?z ?z ? ?2x/?t2 = (E/?) ?2x/?z2 ? v = (E/?)1/2

Численные примеры (сталь)

Модуль Юнга: E0 = 2 1011 Н/м2 = 2 Мбар; коэффициент Пуассона ? = 0,3; плотность ? = 7,8 г/см3 ? v = (E0/?)1/2 = 5064 м/с (табл. v = 5150 м/с) В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E0(1 – ?)/(1 + ?)(1 - 2?) = 1,35E0 ? vII = (E/?)1/2 = (1,35)1/2v = 5884 м/с (табл. v = 5900 м/с) Поперечный звук: v? = (G/?)1/2, G = E0/2(1 + ?) = E0/2,6 – модуль сдвига ? v? = v/(2,6)1/2 = 3140 м/с (табл. v? = 3100 м/с)

Численные примеры (алюминий)

Модуль Юнга: E0 = 0,705 1011 Н/м2 = 0,705 Мбар; коэффициент Пуассона ? = 0,345; плотность ? = 2,7 г/см3 скорость звука в тонком стержне v = (E0/?)1/2 = 5110 м/с (табл. v = 5240 м/с (2,5%)) В толстом стержне: Модуль одностороннего сжатия E = E0(1 – ?)/(1 + ?)(1 - 2?) = 1,57E0 ? vII = (E/?)1/2 = (1,57)1/2v = 6403 м/с (табл. v = 6400 м/с) Поперечный звук: v? = (G/?)1/2, G = E0/2(1 + ?) = E0/2,69 – модуль сдвига ? v? = v/(2,69)1/2 = 3115 м/с (табл. v? = 3100 м/с)

Скорость звука в жидкостях и газах

В газе ?z/z = ?V/V = ?p/Е ? модуль упругости в жидкости E = dp/(dV/V) = dp/(d?/?) коэффициент всестороннего сжатия. Скорость звука в жидкости v = (dp/d?)1/2 Избыточное давление ?p = E? = E??/? = ?uv

Численные примеры (вода, воздух)

v = (dp/d?)1/2 Вода: v = (K/?)1/2 K = Vdp/dV - модуль всестороннего сжатия воды: К = dp/(dV/V) = 2,14 104 атм = 2,14 109 Па v = (K/?)1/2 = 1463 м/с (табл. v = 1484 м/с (1,3%)) Воздух: изотермический звук: vT = (dp/d?)T1/2 = (p/?)1/2 = 280 м/с Адиабатический звук: v = (?p/?)ад1/2 = (1,4)1/2 vT = 330 м/с

Скорость волны в гибком шнуре

Струна

v = (T/?l)1/2 – скорость распространения упругих волн небольшой амплитуды в натянутой струне; T – натяжение струны ?l – погонная плотность Вывод: ?l ?z ?2x/?t2 = T(sin?(z+?z) - (sin?(z)) ? ?2x/?t2 = (T/?l)?2x/?z2

Энергия упругой волны

Амплитуда давления в звуковой волне.

Плотность кинетическая энергии: wk = ?u2/2 = ?x’2/2 = ? ?A2?2sin2(?t – kz) Плотность упругой энергии: wП = E?2/2 = ? ?A2?2sin2(?t – kz) Полная энергия w = wk + wП = ?x’2/2 + E?2/2 = ?A2?2sin2(?t – kz) Для гармонической волны:<w> = ? ?A2?2 = Поток энергии, или интенсивность: I = ? ?A2?2v I = 2<wП>v = (E?m2/2) v = (?p)2/2v? ? ?p = (2I?v)1/2

Порог слышимости

Болевой порог. Кавитация.

Порог слышимости: I0 = 10-12 Вт/м2 ?p = (2I0?v)1/2 = 3 10-5 Па – избыточное давление на пороге слышимости Болевой порог: I = 1012I0 (120 децибелл) ?p = (2I?v)1/2 = 30 Па = 0,3 г/см2 Кавитация: ультразвук f = 5 Мгц I = 10 Вт/см2 ?p = (2I?v)1/2 = (2 105 103 1,5 103)1/2 = 6 атм. Градиенты давления: ?p/(??) = 400 атм/см (? = 0,3 мм)