Олимпийские игры 2014
<<  Олимпиаде Сочи-2014  >>
Олимпиада
Олимпиада
1. Натуральные числа
1. Натуральные числа
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Четность, нечетность
Соберите букеты
Соберите букеты
Решение задач
Решение задач
2. Сумма трех чисел – нечетное число
2. Сумма трех чисел – нечетное число
4. Шестеренки расставлены по кругу
4. Шестеренки расставлены по кругу
4. Шестеренки расставлены по кругу
4. Шестеренки расставлены по кругу
Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно
Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута
6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута
6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в
6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в
Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т
Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т
7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40
7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой
8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой
Решаем самостоятельно
Решаем самостоятельно
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один
Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один
Букеты из четных и нечетных цветов
Букеты из четных и нечетных цветов
Действительные числа
Действительные числа
Делимость
Делимость
Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п
Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п
Простые и составные числа
Простые и составные числа
Простые и составные числа
Простые и составные числа
Разложение числа на простые множители
Разложение числа на простые множители
Наибольший общий делитель
Наибольший общий делитель
Наименьшее общее кратное
Наименьшее общее кратное
В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5
В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5
Взаимно простые числа
Взаимно простые числа
Периодичность последней цифры при возведении в степень
Периодичность последней цифры при возведении в степень
Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014
Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014
Деление с остатком
Деление с остатком
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Периодичность остатков при делении на натуральное число
Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1
Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1
Рациональные числа
Рациональные числа
Обыкновенная дробь
Обыкновенная дробь
Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п
Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п
Десятичная запись числа
Десятичная запись числа
Делится на 9
Делится на 9
Abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+
Abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+
Метод математической индукции
Метод математической индукции
{
{
{
{
{
{
Задача 13
Задача 13
Задача 14
Задача 14
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
Задача 15
Задача 15
Решение уравнений в целых числах
Решение уравнений в целых числах
Формулы решения уравнения ax + bx = c
Формулы решения уравнения ax + bx = c
Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах
Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах
Решение нелинейных уравнений
Решение нелинейных уравнений
Метод решения уравнения относительно одной из переменных
Метод решения уравнения относительно одной из переменных
Задача 19
Задача 19
Задача 20
Задача 20
Метод последних цифр при возведении в степень
Метод последних цифр при возведении в степень
Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4
Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4
Метод оценок
Метод оценок
Метод оценок
Метод оценок
Метод приведения к сумме положительных чисел
Метод приведения к сумме положительных чисел
Решение логических задач
Решение логических задач
Решение логических задач
Решение логических задач
Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10
Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10
Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда,
Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда,
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:
Э
Э
Олимпиада
Олимпиада
Олимпиада
Олимпиада

Презентация: «Олимпиада». Автор: MSP. Файл: «Олимпиада.ppt». Размер zip-архива: 3567 КБ.

Олимпиада

содержание презентации «Олимпиада.ppt»
СлайдТекст
1 Олимпиада

Олимпиада

2 1. Натуральные числа

1. Натуральные числа

Обозначение:

N

Множество положительных целых чисел называется натуральными числами

2

67

1

5

18

234

При работе с натуральными числами используются прописные латинские буквы: n, m, k, l и т.д.

3 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Сумма двух четных чисел -

Четное число

Нечетное число

4 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Сумма двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Сумма двух нечетных чисел -

Нечетное число

5 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Сумма двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Сумма двух нечетных чисел -

Четное число

Нечетное число

3. Сумма четного и нечетного чисел -

6 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Сумма двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Сумма двух нечетных чисел -

Четное число

Нечетное число

3. Сумма четного и нечетного чисел -

Нечетное число

7 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Произведение двух четных чисел -

Четное число

Нечетное число

8 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Произведение двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Произведение двух нечетных чисел -

Нечетное число

9 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Произведение двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Произведение двух нечетных чисел -

Нечетное число

Нечетное число

3. Произведение четного и нечетного чисел -

10 Четность, нечетность

Четность, нечетность

N = 2k, где k принадлежит N -

Четное число

N = 2k +1, где k принадлежит N -

Нечетное число

Свойства четности, нечетность

Число, делящееся нацело на два, называется четным, остальные – нечетными.

1. Произведение двух четных чисел -

Четное число

Четное число

2. Произведение двух нечетных чисел -

Четное число

Нечетное число

3. Произведение четного и нечетного чисел -

Четное число

11 Соберите букеты

Соберите букеты

4

2

3

5

6

7

8

1

15

14

11

13

9

12

10

18

16

17

12 Решение задач

Решение задач

1. Лягушка прыгала по прямой и вернулась обратно. Длина прыжка одинаковая. Могла ли лягушка сделать 17 прыжков?

Решение. Нет.

Чтобы вернуться назад, лягушка должна сделать столько же прыжков, сколько их сделала вперед.

Пусть лягушка сделала n прыжков. Тогда обратно должна сделать тоже n прыжков, т.е. 2n прыжка. Это четное число.

13 2. Сумма трех чисел – нечетное число

2. Сумма трех чисел – нечетное число

Сколько слагаемых нечетно?

Решение

Пусть числа а = 2n, b = 2n + 1

Тогда возможно:

А + а + а

= 6n

А + а + b

= 4n + 1

Нечетно

А + b + b

= 4n + 2

Ответ: 1, 3

b + b + b

= 6n + 3

Нечетно

3. Определите четность суммы: 1 + 2 + 3 +…+ 1999

Для решения используем более короткий ряд: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 +6 + 7 + 8 + 9

В ряду 4 пары – нечетное, четное. Их сумма – число четное (нечетное умножить на четное равно четному числу).

Плюс нечетное число. Сумма будет нечетна.

В ряду 1 + 2 + 3 +…+ 1999 999 пар (1998 : 2) – нечетно. Сумма – нечетна (нечетное умножить на нечетное равно нечетному числу).

Последнее число нечетно, следовательно сумма будет четна

14 4. Шестеренки расставлены по кругу

4. Шестеренки расставлены по кругу

Какое из колес будет крутиться?

1

2

2

1

15 4. Шестеренки расставлены по кругу

4. Шестеренки расставлены по кругу

Какое из колес будет крутиться?

1

2

16 Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно

Если какие-то объекты можно разбить на пары, то их количество четно

Пары: чет - нечет

5. Лягушка прыгает по прямой. За один раз она прыгает на 15 или 17 см вправо или влево. Может ли она за 20 прыжков оказаться на 101 см от исходного положения?

Нет не может. Координата при каждом прыжке меняется. Но за 20 прыжков Координата будет четной.

15 · 20 = 300; 17 · 20 = 340; (15 + 17)·20 – четное; (15 - 17)·20 – четное

Выводы

17 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута

симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали?

Раскрасим симметрично относительно диагонали клетки. Будем брать по паре одного цвета.

18 6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута

6. Квадрат 9 Х 9 раскрашивают в 9 цветов так, чтобы была достигнута

симметрия относительно одной из диагоналей. Как будут раскрашены клетки по этой диагонали?

Осталось по одному цвету, которые надо расставить так, чтобы не нарушать симметрию.

Клеток по диагонали - 9

Клеток в столбцах и строках без них 8.

Для симметрии разобьем цвета по парам. Останется по одному цвету 9 раскрасок.

Ответ: Все клетки раскрашены в разные цвета.

19 6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в

6. Квадрат 100 Х 100 разбит на клетки 1 Х 1. Клетки раскрашены в

шахматном порядке. Левый нижний край – в черный цвет. Можно ли расставить 5001 шашку черного цвета на черных клетках?

Рассмотрим шахматную доску 8Х8

Пара черное – белое повторяется в строке 4 раза (четное число раз). В квадрате 100Х100 - 50

Четное число

Ответ: нельзя.

20 Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т

Вывод! Чтобы зажглись все лампочки нужно нажать один раз на каждую, т

е. 8 раз.

Нажмите на лампочки первого ряда.

Нажмите на лампочки второго ряда.

Горит – не горит это пара. Всего лампочек 2Х4 = 8.

7. 8 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 2Х4. При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели. Сначала лампочки не горят.

21 7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40

7. 200 лампочек с кнопками включения расположены в виде таблицы 50Х40

При нажатии на кнопку меняется состояние (горит – не горит) в этом столбце и в этой строке. Определите а) наименьшее число нажатий кнопок необходимое для того, чтобы все лампочки горели, б) количество изменений состояний одной лампочки. Сначала лампочки не горят.

а) Всего 50Х40 =2000

б) Всего 89

40 + 50 = 90, 90 – 1 = 89

22 8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой

стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике.

Анализ.

Произведение равно 1 или – 1

1

- 1

-1

Сумма равна 0, если количество плюсов равно количеству минусов.

-1

1

- 1

1

Следовательно, количество произведений 1 равно количеству - 1

1

1

Пусть количество 1 = n

Пусть количество -1 = m

n = m

Пусть n = m - нечетно

Количество звеньев - четно

В этом случае при любой расстановке получится сторона , имеющая одинаковый знак с соседними.

- 1

1

1

- 1

1

-1

1

1

1

1

23 8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой

8. В каждой вершине n – угольника поставлена 1 или – 1. На каждой

стороне записано произведение чисел в ее концах. Сумма всех этих произведений равна 0. Сколько может быть сторон в многоугольнике.

Пусть n = m - четно

Количество звеньев - четно

Пусть n = m = 2k

Всего вершин n + m = 2k + 2k = 4k

Следовательно, количество сторон кратно 4.

Для решения нужно добавить еще два звена

Ответ: Количество сторон кратно 4.

-1

-1

1

-1

-1

-1

-1

1

-1

24 Решаем самостоятельно

Решаем самостоятельно

Задача 1. На листе бумаги написано число 11. Шестнадцать учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу – как хочет. Может ли в результате получиться число 0? Задача 2. На вешалке висят 20 платков. 17 девочек по очереди подходят к вешалке и либо снимают, либо вешают платок. Может ли после ухода девочек остаться ровно 10 платков? Задача 3. В таблице, где имеются 15 отрицательных чисел , можно производить следующую операцию: одновременно изменить знак двух (не более, не меньше) чисел в таблице. Можно ли, применяя эту операцию конечное число раз, получить таблицу, состоящую из всех положительных чисел? Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно?

25 Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один

Задача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один

адача 5. На столе 6 стаканов, Из них 5 стоят правильно, а один перевернут вверх дном. Разрешается переворачивать одновременно 4 любых стакана. Можно ли все стаканы поставить правильно? Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то дописать к оставшимся числам нуль, а если разные, то единицу. Какое число останется на доске? Задача 7. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки «+» и «—» так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю? 8. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка – одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей пять. А сколько девочек?

26 Букеты из четных и нечетных цветов

Букеты из четных и нечетных цветов

Любое число, делящееся на два, можно назвать четным.

4

2

3

5

6

7

8

1

15

14

11

13

9

12

10

18

16

17

27 Действительные числа

Действительные числа

Действительные числа

Натуральные числа

Целые числа

Рациональные числа

Иррациональные числа

Множество действительных чисел - R

Множество натуральных чисел - N

Множество целых чисел - Z

Целые положительные числа

Целые положительные, отрицательные и нуль

Целые и дробные числа* и нуль

Бесконечная непериодическая десятичная дробь

* Обыкновенные, конечные десятич. И периодические дроби

28 Делимость

Делимость

Признаки делимости

a : b = q

a = b q

a : b

Делимость натуральных чисел. Свойства

29 Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п

Задача 1. Найдите делители от 2 до 10 числа п5 – 5п3 + 4п

Чтобы найти делители, надо число разложить на множители

П5 – 5п3 + 4п = п(п4–5п2+4) = п(п4 –п2–4п2+4)=п((п–1)(п+1)(n -2)(n + 2)

Расположим множители в порядке возрастания

( П – 2)(п – 1)п(п + 1)(п + 2) – 5 последовательных натуральных чисел

Среди любых 5 – ти последовательных чисел найдутся числа, делящиеся

На 2k, 3m, 4l, 5 p

Делителями от 2 до 10 являются 2, 3, 4, 5

30 Простые и составные числа

Простые и составные числа

Составные

Простые

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми.

Остальные числа называются составными.

31 Простые и составные числа

Простые и составные числа

Составные

Простые

Натуральные числа, имеющие делители 1 и само число называются простыми.

Остальные числа называются составными.

4

2

3

5

6

7

8

1

23

14

11

13

19

12

10

18

16

17

32 Разложение числа на простые множители

Разложение числа на простые множители

1) 12 = _________

22·3

2) 24 = _________

23·3

3) 75 = __________

52·3

4) 48 = ______

24·3

5) 72 = _________

23·32

6) 250 = _________

53·2

7) 54 = __________

33·2

8) 80 = _______

24·5

Разложение числа на простые множители:

864

2

432

2

216

2

108

2

54

2

27

33

33 Наибольший общий делитель

Наибольший общий делитель

Число, на которое делится каждое число ряда чисел, называется наибольшим общим делителем. НОД

НОД равен произведению общих множителей каждого числа ряда

3 и 5

Пример: Найдите НОД для чисел 45, 75, 120.

45 = 3·3· 5

75 = 3· 5·5

120 = 23 3· 5

Общие множители:

Берутся общие в меньшей степени

Нод(45,75,120) = 15

Все числа делятся на 15

34 Наименьшее общее кратное

Наименьшее общее кратное

Число, которое делится на каждое число ряда чисел, называется наименьшим общим кратным. НОК

НОК равен произведению общих множителей каждого числа ряда

Пример: Найдите НОК для чисел 45, 75.

45 = 3·3· 5

75 = 3· 5·5

Из 45 не хватает множителя 3

Из 75 не хватает множителя 5

Нок(45,75) = 3·5·3·5 = 225

225 делится на 45 и 75

Берутся все множители в большей степени.

Для устного нахождения НОК можно взять наибольшее число и умножать его последовательно на 2, 3, 4 и т.д., до тех пор пока не получится число, которое делится на каждое.

Нок(30, 12)

= 60

30·2 = 60, 60 : 12 = 5 - делится

35 В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5

В задаче 1. найдены простые множители 2, 3, 4, 5

120 = 2 · 3 · 4 · 5

36 Взаимно простые числа

Взаимно простые числа

Числа а и b называются взаимно простыми, если имеют делители 1 и само число.

Пример: 35 и 12; 46 и 27; 3 и 5

Если а и b взаимно простые, то НОД(а, b) = ab

37 Периодичность последней цифры при возведении в степень

Периодичность последней цифры при возведении в степень

21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256

31 = 3 35 = 243 32 = 9 36 = 729 33 =27 37 = 2187 34 = 81 38 = 37·3

Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующей ряду окончаний при последовательном возведении в степень.

Выводы

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014

Известно, что окончаний при возведении 2n – 4( 2, 4, 8, 6)

Все окончания будут повторяться через 4. Период равен 4

Разделим 2014 на 4:

2014 : 4 = 503 и 2 в остатке

2, 4, 8, 6

Ответ: 4

38 Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014

Задача 3. Определите на какую цифру оканчивается число 22014

21 = 2 25 = 32 22 = 4 26 = 64 23 = 8 27 = 128 24 =1 6 28 = 256

Известно:

Окончаний 4: 2, 4, 8, 6

Выводы

Последняя цифра при возведении в степень натурального числа повторяется с периодичностью соответствующему ряду окончаний при последовательном возведении в степень

39 Деление с остатком

Деление с остатком

a = bq + r

Если а делится на b с остатком, то

Q – целая часть деления

R – остаток деления

137

4

12

3

4

Целая часть

17

137 = 4 · 34 + 1

16

1

Остаток

Например, п = 3k + 2 означает, что число делится на 3 и в остатке 2.

Задача 4. Запишите число, делящееся на 3 и с остатком 2

Таких чисел множество: n = 3k + 2

40 Периодичность остатков при делении на натуральное число

Периодичность остатков при делении на натуральное число

Если число делится на 2 с остатком, то этот остаток равен 1

Если число делится на 3 с остатком, то эти остатки могут быть 1 и 2

Определим остатки при делении числа п на 2.

Выводы

Определим остатки при делении числа п на 3.

Выводы

Число

Остаток

Число

Остаток

2

0

3

1

4

0

5

1

6

0

7

1

3

0

4

1

5

2

6

0

7

Повтор

41 Периодичность остатков при делении на натуральное число

Периодичность остатков при делении на натуральное число

Если число делится на 4 с остатком, то эти остатки 1, 2, 3

Если число делится на 5 с остатком, то эти остатки могут быть 1, 2, 3, 4

Определим остатки при делении числа п на 4.

Выводы

Определим остатки при делении числа п на 5.

Выводы

Число

Остаток

Число

Остаток

4

0

5

1

6

2

7

3

8

Повтор

5

0

6

1

7

2

8

3

9

4

10

Повтор

42 Периодичность остатков при делении на натуральное число

Периодичность остатков при делении на натуральное число

Если число п делится на т с остатком, то эти остатки 1, 2, 3…т - 1

Вывод

Задача 5. Докажите, что квадраты натуральных чисел при делении на 3, не дают остаток 2

Остаток при делении п2 на 3 может быть только 1.

* Отметим. Одной таблиц не достаточно для решения. Нужно доказательство.

Так как остатки при делении на 1 или 2, то п = 3k + 1 или п = 3k + 2

П = 3k + 1. N2 = 9k2 + 6k + 1 = 3(3k2 + 2k) + 1 = 3m + 1

п = 3k + 2. n2 = 9k2 + 12k + 4 = 3(3k2 + 4k) + 4 = 3l + 4, но 4 делится на 3 с остатком 1. Следовательно, остаток может быть только 1.

Число п2

Остаток

4

1

9

0

16

1

25

1

36

Повтор

43 Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1

Задача 6. Существует ли такое натуральное число п, что п2 + п + 1

делится на 2015?

2015 делится на 5.

Рассмотрим деление с остатком числа п на 5.

Остатки: 1, 2, 3, 4

П = 5k + 1, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 15k + 3 = 5l + 3 Остаток 3

П = 5k + 2, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 25k + 7 = 5l + 7 Остаток 2

П = 5k + 3, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 35k + 13 = 5l + 13 Остаток 3

П = 5k + 4, тогда

п2 + п + 1 = 25k2 + 45k + 21 = 5l + 17 Остаток 2

Число п не делится на 2015.

44 Рациональные числа

Рациональные числа

Т – целое число; п – натуральное число

Множество рациональных чисел - Q

45 Обыкновенная дробь

Обыкновенная дробь

Основное свойство дроби

Сокращение дробей

Значение дроби не изменится, если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и тоже чсло, неравное нулю.

Сократить дробь – значит разделить числитель и знаменетель на общие множители.

Чтобы сократить дробь, надо разложить числитель и знаменатель на простые множители.

Несократимая дробь – дробь, не имеющая общих множителей.

46 Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п

Задача 5. Докажите, что дробь несократима при натуральных п

Приведем числитель и знаменатель к виду так, чтобы часть kn была бы одинаковой.

В числителе число n делится на 6 и в остатке 3

В знаменателе число п делится на 6 и в остатке 4

Пусть числитель и знаменатель делится q, q > 1, натуральное число.

Заметим, что если два числа делятся на q, то их сумма или разность тоже делится на q

k =

Делится на q, если q = 1. Противоречие. q > 1.

47 Десятичная запись числа

Десятичная запись числа

П = а1 + а2 · 10 + а3 · 102 …+ аn – 1 · 10n – 1 + an · 10n

Всякое натуральное число может быть представлено в виде:

П показывает разряд

Например, 123 = 3 + 2 · 10 + 1· 102 = 3 + 20 + 100

Требование десятичной записи обозначается чертой над числом. 123

Трехзначное число xyz представить в виде десятичной записи:

48 Делится на 9

Делится на 9

Заметим, что цифры в десятичной записи могут быть от 0 до 9

2010 = 2 · 3 · 5 · 67

67 > 9. Не может.

2010

2

1005

3

335

5

67

49 Abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+

Abcd + abc + ab + а = 1000a+100b+10c+d+100a+10b+c+10a+b+a = 1111a+

111b+11c+d

1111a+ 111b+11c+d = 2011

А может быть равно только 1 (1111) a = 1

С может изменяться от 0 до 9. 11с изменяется от 0 до 99

B может изменяться от 0 до 9. 111b изменяется от 0 до 999

Пусть b = 9, тогда 111b = 999. 1111 + 999 = 2110 > 2011

Пусть b = 8, тогда 111b = 888. 1111 + 888 = 1999 < 2011

11c + d = 2011 – 1999 = 12, следовательно, с = 1, d = 1

50 Метод математической индукции

Метод математической индукции

Алгоритм

Индукция – это переход от частного к общему.

Метод используется для доказательств тех или иных утверждений с натуральными числами.

1. Доказательство, что утверждение верно для п = 1

2. Принятие за достоверное, что утверждение верно для n = k

3. Доказательство, что утверждение верно для п = k + 1

51 {

{

{

1 + 3 + 5 … + (2п - 1) = п2

Шаг 1.

П = 1

1 = 12 - верно

Шаг 2. предположение

П = k

1 + 3 + 5 … + (2k - 1) = k2 - верно

Шаг 3. индуктивный переход.

П = k + 1

1 + 3 + 5 … + (2k + 1) = (k + 1)2

Выделим в выражении левой части выражение для n=k

1 + 3 + 5 …+ (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2

K2 + 2k + 1 = (k + 1)2 – верно

k2

Доказано.

52 {

{

П = 1

- Верно

- Верно

П = k

П = k + 1

Выделим в выражении левой части выражение для n=k

Доказано.

2k2 + 7k + 6 = 2(k + 2)(k + 3/2) = (k + 2)(2k + 3)

53 {

{

{

-

Задача 12. Докажите, что 1 +23 + 33 +…+ п3 = (1+2+3+…+n)2

П = 1

13 = 12

- Верно

П = k

13 +23 +33+…+k3 = (1+2+3+…+k)2

- Верно

П = k + 1

13 +23 +33+…+k3 +(k+1)3 = (1+2+3+…+k +(k+1))2

Вычтем из выражения для п = k + 1 выражение для п = k, получим (k + 1)3

(1+2+3+…+k +(k+1))2 - (1+2+3+…+k)2 = (k+1)(2(1+2+3+…+k) +(k+1))

b2

a2

(k + 1)3

Доказано.

54 Задача 13

Задача 13

Найдите сумму

Сначала необходимо выявить закономерность и создать формулу суммы. Потом доказать ее.

Докажем, что это так:

N = 1 S1 = ? - верно

Доказано

55 Задача 14

Задача 14

Докажите, что для любого натурального п 5п + 3 делится на 4

П = k + 1 5k + 1 + 3

Докажем, что выражение делится на 4

5k + 1 + 3 = 5 · 5k + 3 = 5 · 5k + 15 – 15 + 3 = 5(5k + 3) - 12

5k + 3 делится на 4

12 делится на 4

Следовательно, все число делится на 4

56 Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах

Уравнение вида ах + bx = c

1. Метод перебора

Уравнение, содержащее несколько переменных и решаемое в целых числах называется диофантовым

Решите в натуральных числах уравнение 2х + 5у = 12

1) х =1

2· 1 + 5у = 12; у = 2

(1;2)

2) х =2

2· 2 + 5у = 12; у - дробное

3) х =3

2· 3 + 5у = 12; у - дробное

4) х =4

2· 4 + 5у = 12; у - дробное

5) х =5

2· 5 + 5у = 12; у - дробное

6) х =6

2· 6 + 5у = 12; у = 0

(6;0)

7) х > 6

2· 7 + 5у = 12; у < 0

Ответ: (1;2), (6;0)

57 Задача 15

Задача 15

В клетке находятся кролики и фазаны. Всего у них 18 ног. Сколько в клетке и тех и других?

Пусть кроликов х, у них 4 ноги.

Пусть фазанов у, у них 2 ноги.

4х + 2у = 18, 2х + у = 9; у = 9 – 2х

Перебор:

1) х = 1; у = 7

2) х = 2; у = 5

3) х = 3; у = 3

Ответ: (1;7), (2;5), (3;3), (4;1)

4) х = 4; у = 1

5) х = 5; у = -1 < 0

6) х > 5; у < 0

58 Решение уравнений в целых числах

Решение уравнений в целых числах

Уравнение ах + bу = с имеет целые решения, если свободный член делится на НОД(a,b)

Решите уравнение 3х – 4у = 1 в целых числах.

Для целых решений левая часть должна делится на 3, следовательно, и правая часть делится на 3

3х = 4у + 1

Пусть у = 3р

Тогда 12р + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 1

Тогда 12р + 4 + 1 – не делится 3

Пусть у = 3р + 2

Тогда 12р + 8 + 1 – делится 3

3х = 12р + 9

Х = 4р + 3

12р + 9 – 4у – 1 = 1

12р + 9 – 4у = 1, 4у = 12р + 8

У = 3р + 2

Уравнение имеет бесконечное множество решений

59 Формулы решения уравнения ax + bx = c

Формулы решения уравнения ax + bx = c

Заметим, что а и b взаимно просты.

Решите уравнение 5х + 8у = 39 в целых числах.

1. Найдем подбором одно из решений

х = 1, 2 Нет целых решений.

Х 0= 3 у0 = 3

5х + 8у = 39

2. Запишем по формулам решения:

Х 0= 3

У0 = 3

y =

Х =

3

+ 5

p

3

- 8

p

60 Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах

Решите уравнение -23х + 79у = 1 в целых числах

Перебор для нахождения х0 и у0 сложный.

Применим метод понижения коэффициентов.

Представим 79у как сумму чисел, одно из которых кратно 23

23х - 79у = -1

23х - 69у – 10у = -1

23х - 69у = 10у -1

Левая часть делится на 23, следовательно, правая тоже.

Подберем у так, чтобы 10у – 1 делилось бы на 23.

Очевидно, что у0 = 7

Х0 = 24

Х = 24 + 79р; у = 7 + 23р

61 Решение нелинейных уравнений

Решение нелинейных уравнений

Метод разложения на множители

Состоит из разложения на множители выражения, равного свободному члену и подбору целых решений.

Задача 16. Решите уравнение ху + 2х + 3у =7 в целых числах.

Разложим левую часть:

Ху + 2х + 3у + 6 – 6 = х(у + 2) + 3(у +2) – 6 = (у +2)(х +3) – 6

(У +2)(х +3) – 6 = 7, (у +2)(х +3) – 6 = 7

(У +2)(х +3) = 13

13 имеет множители ±1, ±13. При этом 13>0

Поэтому для решения в целых числах получим системы:

62 Метод решения уравнения относительно одной из переменных

Метод решения уравнения относительно одной из переменных

Задача 17. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 0 в целых числах.

Чтобы разложить на множители левую часть решим уравнение относительно х, считая у параметром.

Х2 - 3ху + 2 у2 = 0

D = 9y2 – 8y2 = y2

(x – y)(x – 2y) = 0

Задача 18. Решите уравнение х2 - 3ху + 2 у2 = 11 в целых числах.

Далее см. задачу 16.

(x – y)(x – 2y) = 11

63 Задача 19

Задача 19

Решите уравнение 3(х2 + ху + у2) = х + 8у в целых числах.

Представим уравнение относительно одной из переменных либо х, либо у.

3х2 + (3у – 1)х + 3у2 – 8у = 0

Уравнение имеет решения, если D ? 0

D = (3y – 1)2 – 12(3y2 – 8y) = - 27y2 + 90y + 1

Решим: - 27y2 + 90y + 1 ? 0

27y2 - 90y – 1 = 0

У1 ? - 1, … у2 ? 2, …

-1 ? y ? 2

y = -1, 0, 1, 2

y = - 1

3х2 - 4х + 11 = 0 нет целых корней

y = 0

3х2 - х = 0 целое х = 0

y = 1

3х2 + 2х – 5 = 0 х = 1, х = 5/3

y = 2

3х2 + 5х – 4 = 0 нет целых корней

Ответ: (0;0), (1;1)

64 Задача 20

Задача 20

Решите уравнение x2 – xy + y2 = x + y в целых числах.

Будем решать относительно х: х2 – (1 + у)х + у2 – у = 0.

Чтобы корни были бы целыми, дискриминант должен быть полным квадратом.

D = - 3y2 + 6y + 1

Пусть – 3у2 + 6y + 1 = t2

Оценим t, выделив полный квадрат.

- 3((у2 – 2у + 1 – 1) +1 = - 3 (у – 1)2 + 4

- 3(у – 1)2 + 4 = t2

t2 ? 4, | t | ? 2, -2 ? t ? 2

t = - 2, - 1, 0, 1, 2

t = - 2

- 3(у – 1)2 + 4 = 4, y = 1

x2 – 2x = 0, x = 0, x = 2

t = - 1

- 3(у – 1)2 + 4 = 1, y = 2,

x2 – 3x + 2 = 0, x = 1, x = 2

У =0

x2 – x = 0, x = 0, x = 1

t = 0

- 3(у – 1)2 + 4 = 0, нет целых решений

t = 1

См. t = - 1

Ответ: (0;1), (2;1), (1;2), (2;2), (0;0), (1;0)

t = 2

См. t = - 2

65 Метод последних цифр при возведении в степень

Метод последних цифр при возведении в степень

Задача 21. Решите уравнение 3n + 7 = 2m в натуральных числах.

Определим последние цифры при последовательном возведении в степень:

n

3n

Цифра

+ 7

n

2n

Цифра

1

3

3

10

1

2

2

n = 2, m = 4

2

9

9

16

2

4

4

3

27

7

14

3

8

8

4

81

1

8

4

16

6

Однако для полного ответа необходимо доказать, что это решение единственное. Без этого решение считается неполным.

66 Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4

Заметим, что периодичность последних цифр у 3п и 2т равна 4

Рассмотрим совпадение последних цифр при п = 2 + 4k и при т = 4 + 4l

32 + 4k = 9 · 34k

24 + 4l = 16 · 24l

k

3 2 + 4k

Цифра

+ 7

l

24 + 4l

Цифра

k=1, l=3

36 + 7 ? 216

1

36

29

36

1

28

256

k=2, l=1

2

310

49

56

2

212

96

310 + 7 ? 28

3

314

69

76

3

216

36

k=3, l=4

4

318

89

96

4

220

76

314 + 7 ? 220

5

322

09

16

5

224

16

k=4, l=2

k=5, l=5

318 + 7 ? 212

322 + 7 ? 224

Ни при каких k и l нельзя добиться равенства.

Ответ: п=2, т=4

67 Метод оценок

Метод оценок

Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах.

Способ 1.

Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)

Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.

Х = 2, у = 1

Больше решений нет: 2х2 > 5y2

242 – 245 = - 3

Ответ: x = 2, y = 1

Х

2х2

У

5у2

1

2

1

5

2

8

3

45

x =11

242

y = 7

245

3

18

5

125

4

32

7

245

5

50

9

405

6

72

7

98

8

128

9

162

68 Метод оценок

Метод оценок

Задача 22. Решите уравнение 2х2 – 5у2 = 3 в натуральных числах.

Способ 2.

Заметим, что 2х2 – четное число (х – любое)

Так как 3 – нечетно, то 5у2 – нечетно, у – нечетно.

2x2 – 5(2n + 1)2 = 3

2x2 – 20n2 - 20n - 5 = 3

2x2 = 20n2 + 20n + 8

x2 = 10n2 + 10n + 4

Так как х – натуральное, то 10n2 + 10n + 4 будет полным квадратом только если п = 0, то есть х2 = 4

Х = 2

2· 4 – 5у2 = 3, у = 1

Ответ: x = 2, y = 1

69 Метод приведения к сумме положительных чисел

Метод приведения к сумме положительных чисел

a2 + b2 > 0. Сумма положительных чисел – положительна.

Задача 23. Решите уравнение х2 + 4ху + 13у2 = 58 в целых числах.

Выделим полный квадрат относительно х:

Х2 + 4ху + 4у2 – 4у2 + 13у2 = 58

Так как сумма равна 58, то 9у2 < 58

(Х + 2у)2 + 9у2 = 58

Знак равно можно опустить, т.к. у будет нецелым числом

У2 < 58/9

В целых числах | у | < 2

, y = ± 1, y = 0

При у = 0 целых х нет.

У = 1, х2 + 4х + 13 = 58, х2 + 4х – 45 = 0, х = - 9, х = 5

У = - 1, х2 - 4х + 13 = 58, х2 - 4х – 45 = 0, х = 9, х = - 5

Ответ: (5;1), (-5;-1), (9;-1), (-9;1)

70 Решение логических задач

Решение логических задач

71 Решение логических задач

Решение логических задач

Пример 1. В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе. Известно, что:

Смит самый высокий; играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте; играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу; когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их; Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

На каких инструментах играет каждый из музыкантов, если каждый владеет двумя инструментами?

Скрипка

Флейта

Альт

Кларнет

Гобой

Труба

Браун

0

0

1

1

0

0

Смит

0

1

0

0

1

0

Вессон

1

0

0

0

0

1

72 Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10

Пример 2. Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10

лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Юра

Влад

Физик

Бег

Юрист

Регби

Врач

Не врач

Не туризм

Туризм

Имя

Юра

Тимур

Влад

Профессия

Увлечения

73 Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда,

Пример 5. Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда,

тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что: Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме; парижанка не снимается в кино; та, кто живет в Риме, певица; Линда равнодушна к балету.

Это допущение

Где живет Айрис, и какова ее профессия?

Париж

Рим

Чикаго

Пение

Балет

Кино

0

1

0

Джуди

1

0

0

0

Айрис

0

1

0

1

0

Линда

0

0

1

0

0

1

74 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

Пусть 1 утверждение верно, тогда 2 и 3 не верны

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Китайский

Японский

Арабский

Вадим

1

Сергей

0

1

0

1

Михаил

Получили противоречие.

75 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

Пусть 2 утверждение верно, тогда 1 и 3 не верны

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Китайский

Японский

Арабский

Вадим

0

1

Сергей

0

1

1

Михаил

Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

76 Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

Пример 3. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки:

китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

И так, имеем три утверждения. Правдиво только одно.

1. Вадим изучает китайский;

Пусть 3 утверждение верно, тогда 1 и 2 не верны

2. Сергей не изучает китайский;

3. Михаил не изучает арабский;

Китайский

Японский

Арабский

Вадим

0

1

Сергей

1

1

Михаил

Вадим – японский, Сергей – китайский, Михаил - арабский

77 Э

Э

78 Олимпиада
79 Олимпиада
«Олимпиада»
http://900igr.net/prezentacija/fizkultura/olimpiada-259574.html
cсылка на страницу

Олимпийские игры 2014

13 презентаций об Олимпийских играх 2014
Урок

Физкультура

35 тем
Слайды