Презентация на тему «Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей»

Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

{ ?-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность и теорема умножения – примеры – независимые события – формула полной вероятности – формула Байеса }

Аксиоматика Колмогорова

Пусть ? — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента. Набор подмножеств ? будет называться событиями. Задается вероятность - как функция, определенная только на множестве событий.

Событиями будем называть не любые подмножества ?, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» ? .

Множество ? подмножеств ? должно быть замкнуто относительно операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (элементов ? ) снова давало событие (элемент ? ).

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.

Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987)

S - алгебра событий

Множество ?, состоящее из подмножеств множества ?, называется ? - алгеброй событий, если выполнены следующие условия :

Первая группа аксиом Колмогорова

Аксиома 1

? ? ? (? -алгебра событий содержит достоверное событие)

Аксиома 2

Аксиома 3

Первая группа аксиом Колмогорова

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества ? относительно других операций над событиями.

Свойство 1

? ? ? (? -алгебра событий содержит невозможное событие)

Доказательство

A1:

В силу A2

Свойство 2

Свойство 3

Если А, В ? ? , то А\ В ? ?

Пример

@

Пусть ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - пространство элементарных исходов (например, число выпавших очков при бросании игрального кубика) .

Доказать, что следующие наборы подмножеств ? являются ? -алгебрами :

Вторая группа аксиом Колмогорова

Пусть ? - пространство элементарных исходов и ? - ? -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью P или вероятностной мерой ? на (?, ?) , называется функция P : ? ? R, удовлетворяющая аксиомам:

Аксиома 1

Для любого события А ? ? его вероятностная мера неотрицательна: P(А) ? 0

Аксиома 2 (аксиома сложения вероятностей)

Для любого счетного набора попарно непересекающихся событий А1, А2… ? ? вероятностная мера их объединения равна сумме их мер:

Аксиома 3

Вероятностная мера ?: ? ? R называется нормированной, если ?(?) = 1. Вероятность достоверного события P(?) = 1 .

Основные формулы теории вероятностей

Тройка (?, ?,Р) , в которой ? - пространство элементарных исходов, ? - ? -алгебра его подмножеств и P - вероятностная мера на ? , называется вероятностным пространством .

Свойства и основные соотношения для вероятности:

Доказательство

По аксиоме 2 второй группы

Используя аксиому 3 второй группы

c

Основные формулы теории вероятностей

Доказательство

По аксиомам 2,3 второй группы

c

Доказательство

По аксиоме 1 второй группы

c

Основные формулы теории вероятностей

A

B

А ? В - на языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в А , является частью множества В .

Доказательство

То по аксиоме 2 второй группы

Так как

c

Основные формулы теории вероятностей

Доказательство

c

Пример

@

Из колоды (52 карты) вынули 10 карт. Найти вероятность того, что выбран хотя бы один туз.

Решение

Событие A : тузов в выборке нет

Событие B : есть хотя бы один туз

Теорема сложения вероятностей

AB

A

B

A + B

Вероятность суммы событий A и B , находится по формуле:

Доказательство

c

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы событий A1 , A2 , …., An , находится по формуле:

Условная вероятность и теорема умножения

Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В , называется число

Теорема умножения

P ( A ?B ) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B |A) , если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0 , P(A) > 0 ).

P (A1 ? A2 ?…? an ) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ?A2)… p(an|a1 ?…?an-1 ) если соответствующие условные вероятности определены.

События A и B называются независимыми, если P (A ?B) = P(A) P(B) .

Пример

@

Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

Решение

Пространство элементарных исходов : “выпало более трех очков”

B = { 4, 5, 6 }

A |B = { 4, 6 }

Событие : “выпало четное число очков”

? = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

B = { 4, 5, 6 }

A |B = { 4, 6 }

Независимые события и теорема умножения

События A и B называются независимыми, если P (A ? B) = P(A) P(B) .

Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0 .

Если P (B) > 0 , то события А и В независимы P (А |В) = Р (А) .

Если P (А) > 0 , то события А и В независимы P (В |А) = Р (В) .

События A1,A2, …, An называются независимыми в совокупности, если для любого набора 1 ? i1 ,i2…ik ? n

Если события А1, А2 … Аn независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события Аi , Аj независимы..

Обратное неверно.

Пример С.Н. Бернштейна

@

Решение

Вероятность каждого из этих событий P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 , так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех.

Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности..

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A, (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета. Являются ли эти события независимыми в совокупности ?

Формула полной вероятности

События Н1, Н2 …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P ( А | Нi ) (вероятность событию А произойти при выполнении «гипотезы» Нi ) и собственно P ( Нi ) (вероятность выполнения «гипотезы» Нi ).

Формула полной вероятности

Пусть Н1, Н2 , … - полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

Доказательство

По условию:

По аксиоме сложения :

По теореме умножения:

Тогда

c

Пример

@

Решение

H1, H2, H3 - события, заключающиеся в том, что деталь относится к первой, второй или третьей партии.

H1 + H2 + H3 = ?

P (H1 ) + P (H2 ) + P (H3 ) = P(?) = 1

Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3 .

Следовательно:

Условные вероятности:

Имеется три партии деталей. Процент годных составляет соответственно 89 %, 92% и 97% . Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3. Определить вероятность случайного выбора непригодной детали из всех трех партий .

Апостериорная вероятность

Формула Байеса.

Важное значение в теории вероятностей имеет формула Байеса.

Формула Байеса

Это соотношение справедливо, если H есть также некоторое событие Hk из полной группы событий H1 , H2 , … .

c

Пример

@

Решение

A – событие “поражение мишени”.

H1 - выбор первого стрелка

H2 - выбор второго стрелка

Условные вероятности:

Апостериорная вероятность - a’posteriori - «после опыта»

Два стрелка выстрелили по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 1.0 , вторым – 0.004. После выстрела в мишени обнаружена пробоина. Какова вероятность, что мишень поражена первым стрелком (вторым стрелком) ?