Параллельность
<<  Тема «Параллельные прямые» 7 класс Условие параллельности прямой и плоскости  >>
Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей
Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей
Аксиоматика Колмогорова
Аксиоматика Колмогорова
S - алгебра событий
S - алгебра событий
Первая группа аксиом Колмогорова
Первая группа аксиом Колмогорова
Пример
Пример
Вторая группа аксиом Колмогорова
Вторая группа аксиом Колмогорова
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Основные формулы теории вероятностей
Пример
Пример
Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Теорема сложения вероятностей
Условная вероятность и теорема умножения
Условная вероятность и теорема умножения
Пример
Пример
Независимые события и теорема умножения
Независимые события и теорема умножения
Пример С.Н. Бернштейна
Пример С.Н. Бернштейна
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности
Формула полной вероятности
Пример
Пример
Апостериорная вероятность
Апостериорная вероятность
Пример
Пример

Презентация на тему: «Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей». Автор: Valery. Файл: «Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей.pps». Размер zip-архива: 3022 КБ.

Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

содержание презентации «Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей.pps»
СлайдТекст
1 Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей

{ ?-алгебра - поле случайных событий - первая группа аксиом Колмогорова - вторая группа аксиом Колмогорова - основные формулы теории вероятностей - теорема сложения вероятностей - условная вероятность и теорема умножения – примеры – независимые события – формула полной вероятности – формула Байеса }

2 Аксиоматика Колмогорова

Аксиоматика Колмогорова

Пусть ? — пространство элементарных исходов некоторого случайного эксперимента. Набор подмножеств ? будет называться событиями. Задается вероятность - как функция, определенная только на множестве событий.

Событиями будем называть не любые подмножества ?, а лишь подмножества из некоторого «множества подмножеств» ? .

Множество ? подмножеств ? должно быть замкнуто относительно операций над событиями, то есть чтобы объединение, пересечение, дополнение событий (элементов ? ) снова давало событие (элемент ? ).

Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.

Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987)

3 S - алгебра событий

S - алгебра событий

Множество ?, состоящее из подмножеств множества ?, называется ? - алгеброй событий, если выполнены следующие условия :

Первая группа аксиом Колмогорова

Аксиома 1

? ? ? (? -алгебра событий содержит достоверное событие)

Аксиома 2

Аксиома 3

4 Первая группа аксиом Колмогорова

Первая группа аксиом Колмогорова

Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества ? относительно других операций над событиями.

Свойство 1

? ? ? (? -алгебра событий содержит невозможное событие)

Доказательство

A1:

В силу A2

Свойство 2

Свойство 3

Если А, В ? ? , то А\ В ? ?

5 Пример

Пример

@

Пусть ? = {1, 2, 3, 4, 5, 6} - пространство элементарных исходов (например, число выпавших очков при бросании игрального кубика) .

Доказать, что следующие наборы подмножеств ? являются ? -алгебрами :

6 Вторая группа аксиом Колмогорова

Вторая группа аксиом Колмогорова

Пусть ? - пространство элементарных исходов и ? - ? -алгебра его подмножеств (событий). Вероятностью P или вероятностной мерой ? на (?, ?) , называется функция P : ? ? R, удовлетворяющая аксиомам:

Аксиома 1

Для любого события А ? ? его вероятностная мера неотрицательна: P(А) ? 0

Аксиома 2 (аксиома сложения вероятностей)

Для любого счетного набора попарно непересекающихся событий А1, А2… ? ? вероятностная мера их объединения равна сумме их мер:

Аксиома 3

Вероятностная мера ?: ? ? R называется нормированной, если ?(?) = 1. Вероятность достоверного события P(?) = 1 .

7 Основные формулы теории вероятностей

Основные формулы теории вероятностей

Тройка (?, ?,Р) , в которой ? - пространство элементарных исходов, ? - ? -алгебра его подмножеств и P - вероятностная мера на ? , называется вероятностным пространством .

Свойства и основные соотношения для вероятности:

Доказательство

По аксиоме 2 второй группы

Используя аксиому 3 второй группы

c

8 Основные формулы теории вероятностей

Основные формулы теории вероятностей

Доказательство

По аксиомам 2,3 второй группы

c

Доказательство

По аксиоме 1 второй группы

c

9 Основные формулы теории вероятностей

Основные формулы теории вероятностей

A

B

А ? В - на языке теории множеств это означает, что любой элементарный исход, входящий в А , является частью множества В .

Доказательство

То по аксиоме 2 второй группы

Так как

c

10 Основные формулы теории вероятностей

Основные формулы теории вероятностей

Доказательство

c

11 Пример

Пример

@

Из колоды (52 карты) вынули 10 карт. Найти вероятность того, что выбран хотя бы один туз.

Решение

Событие A : тузов в выборке нет

Событие B : есть хотя бы один туз

12 Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

AB

A

B

A + B

Вероятность суммы событий A и B , находится по формуле:

Доказательство

c

13 Теорема сложения вероятностей

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы событий A1 , A2 , …., An , находится по формуле:

14 Условная вероятность и теорема умножения

Условная вероятность и теорема умножения

Условной вероятностью события А, при условии, что произошло событие В , называется число

Теорема умножения

P ( A ?B ) = P(B) P(A|B) = P(A) P(B |A) , если соответствующие условные вероятности определены (то есть если P(В) > 0 , P(A) > 0 ).

P (A1 ? A2 ?…? an ) = P(A1) P(A2|A1) P(A3|A1 ?A2)… p(an|a1 ?…?an-1 ) если соответствующие условные вероятности определены.

События A и B называются независимыми, если P (A ?B) = P(A) P(B) .

15 Пример

Пример

@

Кубик подбрасывается один раз. Известно, что выпало более трех очков. Какова при этом вероятность того, что выпало четное число очков?

Решение

Пространство элементарных исходов : “выпало более трех очков”

B = { 4, 5, 6 }

A |B = { 4, 6 }

Событие : “выпало четное число очков”

? = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }

B = { 4, 5, 6 }

A |B = { 4, 6 }

16 Независимые события и теорема умножения

Независимые события и теорема умножения

События A и B называются независимыми, если P (A ? B) = P(A) P(B) .

Если события A и B несовместны, то они независимы, если и только если P(A) = 0 или P(B) = 0 .

Если P (B) > 0 , то события А и В независимы P (А |В) = Р (А) .

Если P (А) > 0 , то события А и В независимы P (В |А) = Р (В) .

События A1,A2, …, An называются независимыми в совокупности, если для любого набора 1 ? i1 ,i2…ik ? n

Если события А1, А2 … Аn независимы в совокупности, то они попарно независимы, то есть любые два события Аi , Аj независимы..

Обратное неверно.

17 Пример С.Н. Бернштейна

Пример С.Н. Бернштейна

@

Решение

Вероятность каждого из этих событий P(A) = P(B) = P(C) = 1/2 , так как каждый цвет есть на двух гранях из четырех.

Вероятность пересечения любых двух из них равна 1/4, так как только одна грань содержит два цвета.

Но вероятность пересечения всех трех тоже равна 1/4, а не 1/8, то есть события не являются независимыми в совокупности..

Рассмотрим правильный тетраэдр, 3 грани которого окрашены, соответственно, в красный, синий, зеленый цвета, а четвертая грань содержит все три цвета. Событие A, (B, C) означает, что выпала грань, содержащая красный (синий, зеленый) цвета. Являются ли эти события независимыми в совокупности ?

18 Формула полной вероятности

Формула полной вероятности

События Н1, Н2 …, образующие полную группу событий, часто называют гипотезами. При подходящем выборе гипотез для произвольного события А могут быть сравнительно просто вычислены P ( А | Нi ) (вероятность событию А произойти при выполнении «гипотезы» Нi ) и собственно P ( Нi ) (вероятность выполнения «гипотезы» Нi ).

19 Формула полной вероятности

Формула полной вероятности

Пусть Н1, Н2 , … - полная группа событий. Тогда вероятность любого события A может быть вычислена по формуле:

Доказательство

По условию:

По аксиоме сложения :

По теореме умножения:

Тогда

c

20 Пример

Пример

@

Решение

H1, H2, H3 - события, заключающиеся в том, что деталь относится к первой, второй или третьей партии.

H1 + H2 + H3 = ?

P (H1 ) + P (H2 ) + P (H3 ) = P(?) = 1

Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3 .

Следовательно:

Условные вероятности:

Имеется три партии деталей. Процент годных составляет соответственно 89 %, 92% и 97% . Общее количество деталей в партиях относится как 1:2:3. Определить вероятность случайного выбора непригодной детали из всех трех партий .

21 Апостериорная вероятность

Апостериорная вероятность

Формула Байеса.

Важное значение в теории вероятностей имеет формула Байеса.

Формула Байеса

Это соотношение справедливо, если H есть также некоторое событие Hk из полной группы событий H1 , H2 , … .

c

22 Пример

Пример

@

Решение

A – событие “поражение мишени”.

H1 - выбор первого стрелка

H2 - выбор второго стрелка

Условные вероятности:

Апостериорная вероятность - a’posteriori - «после опыта»

Два стрелка выстрелили по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первым стрелком – 1.0 , вторым – 0.004. После выстрела в мишени обнаружена пробоина. Какова вероятность, что мишень поражена первым стрелком (вторым стрелком) ?

«Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/aksiomy-teoremy-i-formuly-teorii-verojatnostej-170342.html
cсылка на страницу

Параллельность

17 презентаций о параллельности
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Параллельность > Аксиомы, теоремы и формулы теории вероятностей