Треугольник
<<  Биссектриса угла Биссектриса и высота треугольника  >>
Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы параллелограмма
Биссектрисы параллелограмма
Цель работы:
Цель работы:
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма
Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым
Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым
Дано: АВСD – параллелограмм АО и DО – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС
Дано: АВСD – параллелограмм АО и DО – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:
a>b/2, a<b
a>b/2, a<b
Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира
Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира
Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны
Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны
Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник
Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник
Задача № 2
Задача № 2
Задача № 3
Задача № 3
Решение: MNPQ – параллелограмм, поскольку биссектрисы противоположных
Решение: MNPQ – параллелограмм, поскольку биссектрисы противоположных

Презентация на тему: «Биссектрисы параллелограмма». Автор: пользователь. Файл: «Биссектрисы параллелограмма.ppt». Размер zip-архива: 1424 КБ.

Биссектрисы параллелограмма

содержание презентации «Биссектрисы параллелограмма.ppt»
СлайдТекст
1 Биссектрисы параллелограмма
2 Биссектрисы параллелограмма

Биссектрисы параллелограмма

Автор Колобова Надежда ученица 8 класса Чернцкой МСОШ Руководитель Никитина Г. И. учитель математики

3 Цель работы:

Цель работы:

Рассмотрение свойств биссектрис параллелограмма Задачи: Сформулировать и доказать свойства биссектрис углов параллелограмма Составить задачи на применение свойств биссектрис параллелограмма Решение задач по данной теме на экзамене по геометрии в 9 классе и ЕГЭ Составление тестовой работы по теме

4 Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма

равнобедренный треугольник

Дано: АВСD - параллелограмм АМ – биссектриса <А Доказать: ? АВМ – равнобедренный.

Доказательство: Т.к. АМ – биссектриса угла А, то <1 = < 2. Т.к. АВСD – параллелограмм, то АД? //? ??ВС , значит <2 = <3 как внутренние накрест лежащие углы для секущей АМ. Значит, < 1 = < 3, тогда ? АВМ – Равнобедренный.

М

В

С

3

1

2

А

D

5 Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым

Биссектрисы смежных углов параллелограмма пересекаются под прямым

углом

Дано: АВСD – параллелограмм АК и DЕ – биссектрисы Доказать: <АОD - прямой

Доказательство: Рассмотрим ? АОD: < 1 = < 2 = ? < А, < 3 = < 4 = ? < D (по свойству биссектрис) < А + < D = 180? (сумма соседних углов). < 2 + < 3 = ? < А + ? < D = ? (< А + < D) = ? * 180? = 90? Значит, <АОD - прямой .

Е

К

В

С

О

4

1

2

3

А

D

6 Дано: АВСD – параллелограмм АО и DО – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС

Дано: АВСD – параллелограмм АО и DО – биссектрисы О є ВС Доказать: ВС

в 2 раза больше АВ.

Биссектрисы соседних углов пересекаются на большей стороне параллелограмма, если она в 2 раза больше смежной стороны

Доказательство: Рассмотрим ?АВО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): АВ = ВО. Рассмотрим ?СDО. Он равнобедренный (по свойству биссектрисы параллелограмма): CD = CO. Т.к. СD = АВ (противоположные стороны параллелограмма), то ВО = СО. Т.к. АВ = ВО, а ВО = СО, значит АВ = ? ВС, т.е. ВС в 2 раза больше АВ.

О

С

В

А

D

7 Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:

Из предыдущего доказательства можно сделать ещё два вывода:

Биссектрисы соседних углов в параллелограмме пересекутся вне параллелограмма, если меньшая сторона меньше половины соседней стороны (рис. 2)

Биссектрисы параллелограмма пересекутся внутри параллелограмма, если меньшая сторона больше половины соседней стороны (рис. 1)

О

В

С

В

С

О

D

А

D

А

Рис. 2

Рис. 1

8 a>b/2, a<b

a>b/2, a<b

a>b

Биссектрисы соседних углов параллелограмма могут пересекать противоположную сторону или её продолжение

M

K

M

K

a

a

b

b

9 Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира

Способ построения биссектрисы параллелограмма без транспортира

Мы узнали, что биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. Циркулем измеряем сторону АВ и откладываем это расстояние из точки В на прямой ВС, делаем засечку, обозначаем точку буквой К. Таким образом АВ = ВК. Проводим биссектрису <А – АК.

С

К

В

А

D

10 Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны

Биссектрисы противоположных углов равны и параллельны

Дано: АВСD – параллелограмм АК и СМ – биссектрисы АВ = ВК = СD = DМ Доказать: АК = СМ; АК // СМ

Доказательство: Рассмотрим прямые АК и СМ: < 2 = < 6 (соответственные)? АК // СМ Так как АМ // КС (по свойству противоположных сторон параллелограмма), а АК // СМ, то АКСМ – параллелограмм. Из этого следует, что АК = СМ (по свойству противоположных сторон параллелограмма).

К

В

С

3

4

5

1

2

6

D

А

М

11 Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник

Все биссектрисы, пересекаясь, образуют прямоугольник

Дано: АВСD – параллелограмм АК, ВF, CE, DО – биссектрисы Доказать: Образовался прямоугольник

По теореме «биссектрисы соседних углов параллелограмма пересекаются под прямым углом» АК и DО, пересекаясь, образуют прямой угол; АК и ВF, пересекаясь, образуют прямой угол; ВF и CF, пересекаясь, образуют прямой угол; ОD и СЕ, пересекаясь, образуют прямой угол. Значит, образовался четырёхугольник, у которого, все углы прямые. Значит, это прямоугольник.

О

К

С

В

А

E

F

D

12 Задача № 2

Задача № 2

Задача № 1

Теперь я предлагаю решить несколько мною составленных задач на основе этих свойств

Дано: АВСD – параллелограмм АК – биссектриса АВ = 5 см. Найти: ВК =?

Дано: АВСD – параллелограмм АК и DЕ – биссектрисы АD = 8 см, ОD = 4 см. Найти: <АОD и < ОDА.

Е

К

В

С

К

О

В

С

А

D

D

А

13 Задача № 3

Задача № 3

Задача № 4

В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 5 см, ВС = 10 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 16 см, ВС = 30 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN? В параллелограмме АВСD провели биссектрисы АМ и DN. АВ = 8 см, ВС = 18 см. Где пересекутся биссектрисы АМ и DN?

АВСD – параллелограмм. АК и СМ – биссектрисы. Найди и точно дай названия ещё трём фигурам на рисунке (используйте 6 свойство биссектрис параллелограмма).

К

С

В

D

А

М

14 Решение: MNPQ – параллелограмм, поскольку биссектрисы противоположных

Решение: MNPQ – параллелограмм, поскольку биссектрисы противоположных

углов параллелограмма параллельны. Найдём стороны MN и MQ и угол QMN.

В параллелограмме со сторонами a и b и углом ? проведены биссектрисы углов. Найдите площадь четырёхугольника, ограниченного биссектрисами.

В

С

N

M

P

Q

А

D

Для определения сторон MN и MQ находим последовательно BQ (из ? BCQ по теореме синусов), BM и AM (из ? BMA), AN (из ? NAD), и, наконец, MN = |AN – AM|, MQ = |BQ – BM| Итак <BAM = ?/2, <ABM = ? <ABC = ?(180? - ?), <QMN = <AMB = 180? - <BAM - <ABM = 180? - ?/2 – ?(180? - ?) = 90?, т.е. MNPQ – прямоугольник. Далее (BC = a, AB = b) BQ = a sin ?/2, BM = b sin ?/2, MQ = |BQ – BM| = |a – b| sin ?/2 и т.д. Ответ получается следующий: S = ?(a - b)? sin ?

«Биссектрисы параллелограмма»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/bissektrisy-parallelogramma-77636.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Треугольник > Биссектрисы параллелограмма