Объём
<<  Тест на определение объема оперативной памяти Дети Сценарий нового салона красоты  >>
Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем
Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем
Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в
Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в
Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого
Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого
Пусть исходный тетраэдр – единичный
Пусть исходный тетраэдр – единичный
Пусть O – центр основания пирамиды
Пусть O – центр основания пирамиды
Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре
Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре
Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился
Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился
При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый
При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый
Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре
Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре
С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой
С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой
Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра,
Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра,
Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для
Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для

Презентация: «Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем». Автор: *. Файл: «Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем.ppt». Размер zip-архива: 202 КБ.

Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

содержание презентации «Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем.ppt»
СлайдТекст
1 Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем

На сайте www.etudes.ru представлен математический этюд «Увеличение объема выпуклых многогранников», в котором рассматривается вопрос: «Можно ли деформировать правильный тетраэдр так, чтобы его объем увеличился?».

Оказывается можно. Здесь мы дополним его соответствующими вычислениями и покажем, что можно еще чуть-чуть увеличить объем тетраэдра по сравнению с тем, что предлагается в этюде.

2 Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в

Сначала рассмотрим способ деформации тетраэдра, о котором рассказано в

этюде, предложенный Д. Бликером (David D. Bleecker. Volume increasing isometric deformations of convex polyhedra // Journal Differential Geometry. - 1996. - V. 43. - P. 505-526. ). Для этого на гранях тетраэдра нарисуем дополнительные линии, как показано на рисунке.

Здесь A’, B’, C’ – середины соответствующих сторон грани ABD тетраэдра ABCD, A1A’, B1B’, C1C’ равные перпендикуляры к этим сторонам, A1B1C1 – правильный треугольник, стороны которого равны удвоенным перпендикулярам.

3 Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого

Наша задача состоит в том, чтобы найти объем этого невыпуклого

многогранника.

Аналогичные линии проведем на остальных гранях тетраэдра. На рисунке изображены такие линии на двух соседних гранях ABD и BCD тетраэдра.

Продавим середины ребер тетраэдра внутрь так, чтобы нарисованные линии стали ребрами нового многогранника, а половины ребер тетраэдра лежали на его гранях. Получим невыпуклый многогранник, составленный из четырех правильных шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре правильных шестиугольника – основания этих пирамид и четыре правильных треугольника, лежащие на гранях исходного тетраэдра.

4 Пусть исходный тетраэдр – единичный

Пусть исходный тетраэдр – единичный

Напомним, что объем единичного тетраэдра равен

Обозначим x длину отрезка A’A1 . Тогда длина отрезка A1B1 равна 2x. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен , а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна . Таким образом, имеем уравнение , решая которое, находим . Следовательно, сторона a основания правильной шестиугольной пирамиды равна .

5 Пусть O – центр основания пирамиды

Пусть O – центр основания пирамиды

Отрезок OA’ является радиусом окружности, вписанной в основание пирамиды, его длина равна

По теореме Пифагора находим DO – высоту h правильной шестиугольной пирамиды,

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ является высотой грани пирамиды и его длина равна 0,5.

Напомним, что объем правильной шестиугольной пирамиды со стороной основания a и высотой h вычисляется по формуле Подставляя в эту формулу значения a и h, получим значение V1 объема правильной шестиугольной пирамиды .

6 Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром 3a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром a. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Таким образом, имеем

Подставляя в формулу объема значения a и h, получим

Для приближенного вычисления этого объема воспользуемся компьютерной программой “Maple”. Получим V = 0,162298…. Его отношение к объему единичного тетраэдра приближенно равно 1,377142… . Именно во столько раз увеличился объем тетраэдра при его деформации.

7 Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился

Выясним, можно ли деформировать тетраэдр так, чтобы получился

многогранник с еще большим объемом. Для этого, как и раньше, обозначим x длину отрезка A’A1, но не будем предполагать, что длина отрезка A1B1 равна 2x, а проведем вычисления его длины в общем случае.

А именно, обозначим b длину отрезка A1B1. Заметим, что радиус окружности, описанной около треугольника A1B1C1, равен , а его сумма с отрезком A’A1 равна радиусу окружности, вписанной в треугольник ABC, т.е. равна . Таким образом, имеем равенство , выражая из которого b, получим .

8 При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый

При соответствующей деформации тетраэдра получается невыпуклый

многогранник, состоящий из шестиугольных пирамид и многогранника, гранями которого являются четыре основания этих пирамид и четыре правильных треугольника. Однако основания шестиугольных пирамид в общем случае не являются правильными шестиугольниками. Это будут шестиугольники, у которых три стороны равны b, три стороны равны a=2x и углы равны 120о.

Площадь S такого шестиугольника выражается формулой

Для нахождения объема этой пирамиды заметим, что отрезок DA’ равен 0,5 и является высотой ее грани.

Длина отрезка OA’ выражается формулой

Высота h пирамиды выражается формулой

Объем V1 выражается формулой

9 Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

Осталось найти объем многогранника, гранями которого являются четыре

правильных шестиугольника и четыре правильных треугольника. Он получается из правильного тетраэдра с ребром b+2a отсечением от вершин правильных тетраэдров с ребром b. Следовательно, его объем V2 выражается формулой

Объем V невыпуклого многогранника равен 4V1 + V2. Подставляя вместо b, S и h их выражения через a, получим, что объем V искомого многогранника является функцией от a, где a изменяется от нуля до .

10 С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой

С помощью компьютерной программы “Maple” можно построить график этой

функции и найти ее наибольшее значение. Оно приближенно равно 0,1623025232 и принимается при a = 0,2708396361.

Отношение этого объема к объему исходного тетраэдра приближенно равно 1,377182577. Это немного больше, чем в случае, рассмотренном в математическом этюде об увеличении объема выпуклых многогранников.

11 Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра,

Попробуйте самостоятельно выяснить, увеличивается ли объем тетраэдра,

если продавить только одно его ребро.

12 Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для

Попробуйте самостоятельно провести деформации и вычисления объема для

единичного куба.

«Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/deformatsii-tetraedra-uvelichivajuschie-ego-obem-226254.html
cсылка на страницу

Объём

35 презентаций об объёме
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Объём > Деформации тетраэдра, увеличивающие его объем