Без темы
<<  Детская организация «ЛУЧ» Дисциплина «Информатика» изучается 2 семестра 1-ый семестр(осенний) - форма контроля: зачет; 2-ой семестр(весенний) – форма контроля: экзамен (в форме тестирования)  >>
Дисциплина ЛААГ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)
Дисциплина ЛААГ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве
Плоскость и прямая в пространстве
Плоскость и прямая в пространстве
ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка
ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка
Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от
Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от
Алгоритм решения задачи 1
Алгоритм решения задачи 1
7
7
б) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на
б) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на
9
9
10
10
в) Направляющий вектор прямой можно взять в качестве нормального к
в) Направляющий вектор прямой можно взять в качестве нормального к
г) Подставив в уравнение плоскости в отрезках вместо х, у, z
г) Подставив в уравнение плоскости в отрезках вместо х, у, z
Алгоритм решения задачи 2 а) составить уравнение прямой в пространстве
Алгоритм решения задачи 2 а) составить уравнение прямой в пространстве
Называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в
Называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в
Алгоритм решения задачи 2 б) Частным случаем канонических уравнений
Алгоритм решения задачи 2 б) Частным случаем канонических уравнений
в) Направляющим вектором искомой прямой можно взять единичный вектор,
в) Направляющим вектором искомой прямой можно взять единичный вектор,
г) Нормальный вектор N =(A,B,C) плоскости Ax + By + Cz + D = 0
г) Нормальный вектор N =(A,B,C) плоскости Ax + By + Cz + D = 0
Алгоритм решения задачи 3
Алгоритм решения задачи 3
Алгоритм решения задачи 3
Алгоритм решения задачи 3
Алгоритм решения задачи 4
Алгоритм решения задачи 4
21
21
Алгоритм решения задачи 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгоритм решения задачи 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Алгоритм решения задачи 5
Алгоритм решения задачи 5
ЗАДАЧА 5. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве
ЗАДАЧА 5. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве
Для построения поверхностей применяют метод параллельных сечений
Для построения поверхностей применяют метод параллельных сечений
Также можно, выделив полные квадраты переменных в уравнении, получить
Также можно, выделив полные квадраты переменных в уравнении, получить
Поверхности второго порядка (задачи 6 и 7)
Поверхности второго порядка (задачи 6 и 7)
1. Эллипсоид
1. Эллипсоид
Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида
Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида
Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой
Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой
2. Гиперболоиды
2. Гиперболоиды
Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида
Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида
Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида
3. Конус
3. Конус
Величины a, b и c называются полуосями конуса
Величины a, b и c называются полуосями конуса
4. Параболоиды
4. Параболоиды
Величины a и b называются параметрами параболоида
Величины a и b называются параметрами параболоида
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Величины a и b называются параметрами параболоида
Величины a и b называются параметрами параболоида
5. Цилиндры
5. Цилиндры
Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением,
Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением,
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание

Презентация: «Дисциплина ЛААГ». Автор: Пахомова. Файл: «Дисциплина ЛААГ.ppt». Размер zip-архива: 1485 КБ.

Дисциплина ЛААГ

содержание презентации «Дисциплина ЛААГ.ppt»
СлайдТекст
1 Дисциплина ЛААГ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)

Дисциплина ЛААГ (линейная алгебра и аналитическая геометрия)

Кафедра высшей математики ТПУ Лектор: доцент Тарбокова Татьяна Васильевна

1

2 Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве

Тема 4. Аналитическая геометрия в пространстве

Разделы 1. Плоскость 2. Прямая в пространстве 3. Поверхности второго порядка

2

3 Плоскость и прямая в пространстве

Плоскость и прямая в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0) перпендикулярно вектору .

Вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором этой плоскости.

3

4 ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка

ВЫВОДЫ: 1) Плоскость является поверхностью первого порядка

Она может быть задана общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, где A,B,C,D – числа. 2) Коэффициенты A, B, C не обращаются в ноль одновременно, так как с геометрической точки зрения это координаты вектора, перпендикулярного плоскости.

4

5 Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от

Если в уравнении Ax+By+Cz+D = 0 все коэффициенты A,B,C и D отличны от

нуля, то уравнение называют полным; если хотя бы один из коэффициентов равен нулю – неполным. 1) Пусть общее уравнение плоскости – полное. Тогда его можно записать в виде

С геометрической точки зрения a,b и c – отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях Ox, Oy и Oz соответственно. Уравнение (3) называют уравнением плоскости в отрезках.

5

6 Алгоритм решения задачи 1

Алгоритм решения задачи 1

а) Требуется записать уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно двум неколлинеарным векторам

6

7 7

7

8 б) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на

б) Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не лежащие на

одной прямой Пусть плоскость проходит через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) и M3(x3;y3;z3), не лежащие на одной прямой.

8

9 9

9

10 10

10

11 в) Направляющий вектор прямой можно взять в качестве нормального к

в) Направляющий вектор прямой можно взять в качестве нормального к

плоскости и получить искомое уравнение плоскости:

Алгоритм решения задачи 1

11

12 г) Подставив в уравнение плоскости в отрезках вместо х, у, z

г) Подставив в уравнение плоскости в отрезках вместо х, у, z

координаты данной точки, заменим знаменатели в уравнении одним числом d и найдём его из полученного уравнения. Искомое уравнение будет иметь вид:

Алгоритм решения задачи 1

12

13 Алгоритм решения задачи 2 а) составить уравнение прямой в пространстве

Алгоритм решения задачи 2 а) составить уравнение прямой в пространстве

проходящей через точку M0(x0;y0;z0) , параллельно вектору

Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

13

14 Называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в

Называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве (в

векторной и координатной форме соответственно).

14

15 Алгоритм решения задачи 2 б) Частным случаем канонических уравнений

Алгоритм решения задачи 2 б) Частным случаем канонических уравнений

являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

15

16 в) Направляющим вектором искомой прямой можно взять единичный вектор,

в) Направляющим вектором искомой прямой можно взять единичный вектор,

координатами которого являются направляющие косинусы, удовлетворяющие тождеству: Из тождества найдём неизвестный направляющий косинус со знаками плюс и минус. Искомые уравнения двух прямых:

Алгоритм решения задачи 2

16

17 г) Нормальный вектор N =(A,B,C) плоскости Ax + By + Cz + D = 0

г) Нормальный вектор N =(A,B,C) плоскости Ax + By + Cz + D = 0

является направляющим вектором искомой прямой. Поэтому канонические уравнения искомой прямой можно записать:

Алгоритм решения задачи 2

17

18 Алгоритм решения задачи 3

Алгоритм решения задачи 3

Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ? . Тогда координаты любой точки прямой ? удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

18

19 Алгоритм решения задачи 3

Алгоритм решения задачи 3

Пусть прямая ? задана общими уравнениями:

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой, необходимо найти её направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой. Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1). Направляющий вектор

19

20 Алгоритм решения задачи 4

Алгоритм решения задачи 4

20

21 21

21

22 Алгоритм решения задачи 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Алгоритм решения задачи 4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Углом между прямой ? и плоскостью ? называется угол ? между прямой ? и её проекцией на плоскость ? . Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.

22

23 Алгоритм решения задачи 5

Алгоритм решения задачи 5

ЗАДАЧА 5. Пусть плоскость ? задана общим уравнением Ax + By + Cz + D = 0 , M0(x0;y0;z0) – точка, не принадлежащая плоскости ? . Найти расстояние от точки M0 до плоскости ? .

23

24 ЗАДАЧА 5. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве

ЗАДАЧА 5. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве

24

25 Для построения поверхностей применяют метод параллельных сечений

Для построения поверхностей применяют метод параллельных сечений

Полагают одну из переменных в уравнении равной нулю или константе и выясняют, какие кривые получаются в координатных плоскостях или в плоскостях, параллельных координатным плоскостям.

Алгоритм решения задач 6 и 7

25

26 Также можно, выделив полные квадраты переменных в уравнении, получить

Также можно, выделив полные квадраты переменных в уравнении, получить

канонические уравнения поверхностей второго порядка.

Алгоритм решения задач 6 и 7

26

27 Поверхности второго порядка (задачи 6 и 7)

Поверхности второго порядка (задачи 6 и 7)

Поверхностью второго порядка называется геометрическое место точек в пространстве, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению F(x,y,z) = 0, где F(x,y,z) – многочлен степени 2. ? в общем случае уравнение поверхности 2-го порядка имеет вид: a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+2a10x+2a20y+2a30z+a00=0 . Поверхности второго порядка делятся на 1) вырожденные и 2) невырожденные Вырожденные поверхности второго порядка это плоскости и точки, которые задаются уравнением второй степени. Если уравнению второго порядка не удовлетворяет ни одна точка пространства, то тоже говорят, что уравнение определяет вырожденную поверхность (мнимую поверхность второго порядка). Невырожденными поверхности второго порядка подразделяются на пять типов.

27

28 1. Эллипсоид

1. Эллипсоид

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллипсоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой эллипсоид имеет уравнение (1) называется его канонической системой координат, а уравнение (1) – каноническим уравнением эллипсоида.

28

29 Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида

Величины a, b и c называются полуосями эллипсоида

Если все они различны, то эллипсоид называется трехостным. Если две из трех полуосей равны, эллипсоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения эллипса вокруг одной из своих осей.

29

30 Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой

Эллипсоид, у которого все три полуоси равны, называют сферой

Каноническое уравнение сферы принято записывать в виде x2 + y2 + z2 = r2, где r – величина полуосей, которая называется радиусом сферы. С геометрической точки зрения, сфера – геометрическое место точек пространства, равноудаленных (на расстояние r) от некоторой фиксированной точки (называемой центром). В канонической системе координат сферы, центр – начало координат.

30

31 2. Гиперболоиды

2. Гиперболоиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Однополостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой однополостный гиперболоид имеет уравнение (2) называется его канонической системой координат, а уравнение (2) – каноническим уравнением однополостного гиперболоида.

31

32 Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида

Величины a, b и c называются полуосями однополостного гиперболоида

Если a=b, то однополосный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

Вокруг своей мнимой оси.

Замечание. Уравнения

Тоже определяют однополостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси oy и ox соответственно.

32

33 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Двуполостным гиперболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой двуполостный гиперболоид имеет уравнение (3) называется его канонической системой координат, а уравнение (3) – каноническим уравнением двуполостного гиперболоида.

33

34 Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида

Величины a, b и c называются полуосями двуполостного гиперболоида

Если a=b, то двуполостный гиперболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения гиперболы

Вокруг своей действительной оси.

Замечание. Уравнения

Тоже определяют двуполостные гиперболоиды, но они «вытянуты» вдоль оси oy и ox соответственно.

34

35 3. Конус

3. Конус

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Конусом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b, c – положительные константы.

Система координат, в которой конус имеет уравнение (4) называется его канонической системой координат, а уравнение (4) – каноническим уравнением конуса.

35

36 Величины a, b и c называются полуосями конуса

Величины a, b и c называются полуосями конуса

Центр симметрии O называется вершиной конуса. Если a=b, то конус является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения прямой

Вокруг оси oz .

Замечание. Уравнения

Тоже определяют конусы, но они «вытянуты» вдоль оси oy и ox соответственно.

36

37 4. Параболоиды

4. Параболоиды

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Эллиптическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой эллиптический параболоид имеет уравнение (5) называется его канонической системой координат, а уравнение (5) – каноническим уравнением эллиптического параболоида.

37

38 Величины a и b называются параметрами параболоида

Величины a и b называются параметрами параболоида

Точка O называется вершиной параболоида. Если a=b, то параболоид является поверхностью вращения. Он получается в результате вращения параболы

Вокруг оси oz.

Замечания: 1) Уравнение

Тоже определяет эллиптический параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

Определяют эллиптические параболоиды, с осями симметрии oy и ox соответственно.

Эллиптический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в одну сторону).

38

39 ОПРЕДЕЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Гиперболическим параболоидом называется геометрическое место точек пространства, координаты которых в некоторой декартовой системе координат удовлетворяют уравнению

Где a, b – положительные константы.

Система координат, в которой гиперболический параболоид имеет уравнение (6) называется его канонической системой координат, а уравнение (6) – каноническим уравнением гиперболического параболоида.

39

40 Величины a и b называются параметрами параболоида

Величины a и b называются параметрами параболоида

Замечания: 1) Уравнение

Тоже определяет параболоид, но «развернутый» вниз.

2) Уравнения

Определяют параболоиды, «вытянутые» вдоль осей oz и oy соответственно.

Гиперболический параболоид это поверхность, которая получается при движении одной параболы вдоль другой (вершина параболы скользит по параболе, оси подвижной и неподвижной параболы параллельны, ветви направлены в разные стороны).

40

41 5. Цилиндры

5. Цилиндры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверхность, которую описывает прямая (называемая образующей), перемещающаяся параллельно самой себе вдоль некоторой кривой (называемой направляющей) . Цилиндры называют по виду направляющей: круговые, эллиптические, параболические, гиперболические.

41

42 Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением,

Цилиндр в некоторой декартовой системе координат задается уравнением,

в которое не входит одна из координат. Кривая, которую определяет это уравнение в соответствующей координатной плоскости, является направляющей цилиндра; а образующая – параллельна оси отсутствующей координаты.

42

43 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

43

«Дисциплина ЛААГ»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/distsiplina-laag-112608.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды