Движения

Движения

quot;"

Центральная , осевая , зеркальная симметрии. Параллельный перенос.

Выполнила Попова Е.А.

Что такое симметрия

Какие точки называются симметричными?

Симметрия – это соразмерность, одинаковость в расположении частей чего-нибудь по противоположным сторонам от точки, прямой или плоскости. Две точки называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА и перпендикулярна к нему. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе.

Центральная симметрия – отображение пространства на себя, при котором

любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно данного центра О.

Докажем, что центральная симметрия является движением.

Обозначим точку О – центр симметрии и введем прямоугольную систему координат Оxyz с началом в точке О. Установим связь между координатами двух точек:

M(x; y; z) и m1(x1; y1; z1)

Z0 (m) = m1.

0 , то О – середина ММ1. Тогда (x+x1)/2=0; (y+y1)/2=0; (z+z1)/2=0. Значит, x=-x1; y=-y1; z=-z1. Если М=0, то х = х1 = у = у1 = z = z1 = 0, т. е. формулы верны. Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А —> А1, В —> В1, тогда А1(-x1; -y1; -z1), В1(-x2; -y2;- z2)

Если M

Тогда,

т. е. АВ=А1В1. Тогда Zо - движение.

Осевой симметрией с осью а называется такое отображение пространства

на себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно оси а. Докажем, что осевая симметрия есть движение.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим ось Оz с осью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), если Soz (М) = М1.

Если М

Оz , то Оz

ММ1 и проходит через середину.

Т. к. Оz

ММ1, то z = z1. Т. к. Оz проходит через середину ММ1 , то х = -х1, у = -у1. Если точка М лежит на оси Оz, то х1 = х = 0, у1 = у = 0, z1 = z = 0. Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1, тогда А1(-x1; -y1; z1), В1(-x2; -y2; z2)

тогда АВ=А1В1, т.е. Sоz - движение.

Зеркальной симметрией называется такое отображение пространства на

себя, при котором любая точка М переходит в симметричную ей точку М1 относительно плоскости a. Докажем, что зеркальная симметрия есть движение.

Введем прямоугольную систему координат Оxyz, совместим плоскость Оxy с плоскостью симметрии и установим связь между координатами точек M(x; y; z) и M1(x1; y1; z1), где Sa (М) = М1.

Если М не лежит в плоскости Оху, то х =х1, у =у1, z = -z1

Если М Оху , то

. Рассмотрим А(x1; y1; z1), В(x2; y2; z2), А—> А1, В—> В1 , тогда А1(x1; y1; -z1), В1(x2; y2; -z2), тогда

тогда, АВ=А1В1, т.е. SОху – движение.

Параллельный перенос на вектор р - это такое отображение пространства

на себя, при котором любая точка М переходит в такую точку М1, что вектор ММ1 равен вектору р. Докажем, что параллельный перенос есть движение. Пусть параллельный перенос переводит: А—> А1, В—> В1, тогда

По правилу треугольника

, Тогда

Тогда

Это значит, что АВ = А1В1.

№ 480

Докажем, что при центральной симметрии: а) плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость; б) плоскость, проходящая через центр симметрии, отображается на себя. Дано: Zо (a) = a1 Доказать: a || a1

А

a, точки А, В, С не лежат на одной прямой, А—> А1, В—> В1 , С—> С1, А1, В1, С1, не лежат на одной прямой, тогда (А1, В1, С1) = a1.

A, В

A, С

№ 478

А(0;1;2) —> а1(0;-1;-2), в(3;-1;4) —> в1(-3;1;-4), с(1;0;-2) —> с1(-1;0;2)

а) При центральной симметрии относительно точки О (0;0;0) х2 = -х1; у2 = -у1; z2 = -z1.

б) При осевой симметрии относительно оси Ох х2 = х1; у2 = -у1; z2 = -z1.

А(0;1;2) —> а1(0;-1;-2), в(3;-1;4) —> в1(3;1;-4), с(1;0;-2) —> с1(1;0;2)

в) При зеркальной симметрии относительно Ozy х2 = -х1; у2 = у1; z2 = z1.

А(0;1;2) —> а1(0;1;2), в(3;-1;4) —> в1(-3;-1;4), с(1;0;-2) —> с1(-1;0;-2)

Дано: Sa (а) = а 1 Доказать:

Решение:

№ 482

№ 484

Дано:

Доказать: а) а || a1, если а не параллельна вектору р б) а || a1, если а параллельна вектору р Решение:

б) Если а параллельна вектору р, то А, В, А1,В1 лежат на одной прямой, значит, а = а1.