Геометрия
<<  В мире геометрической мозаики Тренажер по геометрии  >>
Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов
Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов
Геометрическое моделирование
Геометрическое моделирование
геометрические модели — графические формы и простран- ственные
геометрические модели — графические формы и простран- ственные
Геометрическое пространство и его основные элементы
Геометрическое пространство и его основные элементы
Примем следующие обозначения элементов пространства
Примем следующие обозначения элементов пространства
Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,
Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,
Проекционное отображение пространства Основными предметами изображения
Проекционное отображение пространства Основными предметами изображения
Под проецированием понимают процесс установления однозначного
Под проецированием понимают процесс установления однозначного
Центральное проецирование обладает большей нагляд- ностью, так как оно
Центральное проецирование обладает большей нагляд- ностью, так как оно
Если центр проекций S при центральном аппарате прое- цирования
Если центр проекций S при центральном аппарате прое- цирования
Пример косоугольного параллельного проецирования
Пример косоугольного параллельного проецирования
Рассмотренные методы проецирования позволяют ре- шить прямую задачу
Рассмотренные методы проецирования позволяют ре- шить прямую задачу
Моделирование трехмерного пространства Известно несколько способов,
Моделирование трехмерного пространства Известно несколько способов,
3. Перспективный чертеж
3. Перспективный чертеж
Пространственная модель координатных плоскостей проекций
Пространственная модель координатных плоскостей проекций
Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат: ОX - ось
Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат: ОX - ось
Построение комплексного чертежа Схему построения комплексного чертежа
Построение комплексного чертежа Схему построения комплексного чертежа
Полученный чертеж является трёхпроекционным ортого- нальным чертежом
Полученный чертеж является трёхпроекционным ортого- нальным чертежом
Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного
Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного
Свойства параллельного проецирования: 1. Проекцией точки является
Свойства параллельного проецирования: 1. Проекцией точки является
Взаимосвязь между проекциями оригинала на комплексном чертеже
Взаимосвязь между проекциями оригинала на комплексном чертеже
Задание и изображение точки на комплексном чертеже
Задание и изображение точки на комплексном чертеже
Точки M, N и K – точки частного положения
Точки M, N и K – точки частного положения
Задание и изображение прямой на комплексном ортогональном чертеже
Задание и изображение прямой на комплексном ортогональном чертеже
Так как две точки однозначно определяют положение пря- мой в
Так как две точки однозначно определяют положение пря- мой в
Комплексный чертеж прямой общего положения
Комплексный чертеж прямой общего положения
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется
Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется
Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется
Прямая называется проецирующей, если она перпендику- лярна одной из
Прямая называется проецирующей, если она перпендику- лярна одной из
Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная фронтальной
Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная фронтальной
Профильно проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная профильной
Профильно проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная профильной

Презентация: «Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов». Автор: Dimeron. Файл: «Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов.ppt». Размер zip-архива: 297 КБ.

Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов

содержание презентации «Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов.ppt»
СлайдТекст
1 Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов

Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов

Проекционное отображение. Комплексный чертеж точки, прямой.

Казанский государственный энергетический университет

2 Геометрическое моделирование

Геометрическое моделирование

инструмент познания действительности

Любая творческая деятельность человека связана с использо- ванием моделей. Существуют разные определения моделей. Одно из них дано Морозовым К.Е. в его работе «Математи-ческое моделирование в научном познании»: «Под моделью понимается объект любой природы, который способен замещать исследуемый объект так, что его изучение дает нам новую информацию об этом объекте». Знаковые модели окружают нас повсюду. Это рисунки, тексты, графики и схемы. Вербальные и знаковые модели, как правило, взаимосвязаны. Мысленный образ, родившийся в сознании человека, может быть облечен в знаковую форму. И наоборот, знаковая модель помогает сформировать верный мысленный образ. По форме представления можно выделить следующие модели:

3 геометрические модели — графические формы и простран- ственные

геометрические модели — графические формы и простран- ственные

конструкции; лексические модели — словесные описания; математические модели — математические формулы, ото- бражающие связь различных параметров объекта или процесса; структурные модели — схемы, графики, таблицы и т. п.; логические модели — модели, в которых представлены различные варианты выбора действий на основе умозаключений и анализа условий; компьютерные модели — модели, реализованные средст- вами программной среды. Из всего многообразия моделей с точки зрения представления реальных технических изделий (объектов) наибольший интерес представляют геометрические модели и процесс геометриче-ского моделирования. Под геометрическим моделированием понимают создание мо- делей геометрических объектов, содержащих функциональную и вспомогательную информацию о геометрии изделия.

4 Геометрическое пространство и его основные элементы

Геометрическое пространство и его основные элементы

Непрерывные совокупности тех или иных объектов, явлений, состояний могут подводиться под обобщенное понятие прост-ранства. В графике геометрическое пространство (ГП) рас-сматривается как множество однородных элементов. К основ- ным формообразующим элементам этого пространства относят- ся точки, линии, поверхности. Из точек складываются линии, из линий – поверхности, а из поверхностей – простран-ственные конструкции. Простейшей поверхностью считается плоскость. Точку принято считать нульмерным пространством, линию – одномерным, плоскость (поверхность) – двумерным, а пространственный геометрический образ – трехмерным. Размерность геометрического пространства может быть больше трех. Такое пространство называют многомерным.

5 Примем следующие обозначения элементов пространства

Примем следующие обозначения элементов пространства

Точки будем обозначать прописными буквами латинского ал- фавита: А, В, С... или цифрами 1, 2, 3...; прямые – строчными буквами латинского алфавита: а, b, с..., а плоскости – прописны- ми буквами греческого алфавита: Г, Л, П, S, Ф, ?, Q. Между элементами пространства существуют следующие от- ношения: тождественность - обозначается знаком ==, например, А== В. Это обозначает, что точка А совпадает с точкой В; инцидентность или принадлежность обозначается знаком ?. Например, А ? а обозначает, что точка А принад- лежит (инцидентна) прямой а; параллельность обозначается знаком ||. Например, K|| L обозначает, что прямая К параллельна прямой L. перпендикулярность обозначается знаком ?. Например, a ? S обозначает, что прямая а перпендикулярна плоскости S.

6 Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,

Над элементами пространства можно выполнить операцию соединение,

которую обозначают знаком ~. Например, запись А и В ~ а обозначает, что в результате соединения точек А и В получена прямая а. Операцию пересечение обозначают знаком ?. Запись m ? n = К обозначает, что в результате пересечения пря- мых m и n получена точка К.

7 Проекционное отображение пространства Основными предметами изображения

Проекционное отображение пространства Основными предметами изображения

на плоских черте- жах являются трехмерные геометрические тела, окружаю- щие нас в реальном трехмерном пространстве. Геометрические тела на чертежах получают методом ото- ображения, в соответствии с которым каждой точке трех- мерного пространства соответствует конкретная точка двух- мерного пространства на чертеже. Отображение геометри- ческих тел может быть выполнено на плоскость или какую- либо другую поверхность. Изображение геометрического тела на плоскости можно получить путем проецирования (от латинского слова ргojеcere — бросать вперед, бросаться в глаза) его точек на эту плоскость.

8 Под проецированием понимают процесс установления однозначного

Под проецированием понимают процесс установления однозначного

соответствия между точками пространства и точками на плоскости. Аппарат проецирования включает в себя изображаемые объекты – точки, проецирующие лучи, плоскость проек- ции (ее иногда называют картинная плоскость), на кото- рой получается изображение оригинала. В зависимости от положения центра проецирования и на- правления проецирующих лучей по отношению к плоскос- ти проекций проецирование может быть либо централь- ным (коническим), либо параллельным (цилиндриче - ским).

9 Центральное проецирование обладает большей нагляд- ностью, так как оно

Центральное проецирование обладает большей нагляд- ностью, так как оно

соответствует зрительному восприя- тию предметов. Параллельное проецирование Параллельное проецирование можно рассматривать как как частный случай центрального проецирования.

10 Если центр проекций S при центральном аппарате прое- цирования

Если центр проекций S при центральном аппарате прое- цирования

перенести в бесконечность, то проецирующие лучи можно считать параллельными. Таким образом ап- парат параллельного проецирования состоит из плоскос- ти проекций П и направления Р. Параллельное проецирование может быть косоугольным и прямоугольным (ортогональным). Ортогональное проецирование обеспечивает простоту геометрических построений при определении проекций точек, а так же возможность сохранять на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. Эти достоинства обеспечили ортогональному проецированию широкое применение в техническом черчении.

11 Пример косоугольного параллельного проецирования

Пример косоугольного параллельного проецирования

Пример прямоугольного параллельного проецирования

12 Рассмотренные методы проецирования позволяют ре- шить прямую задачу

Рассмотренные методы проецирования позволяют ре- шить прямую задачу

начертательной геометрии, т. е. по оригиналу построить плоский чертёж. Полученные таким образом проекции на одну плоскость дают неполное представление о предмете, его форме и положении в пространстве, т. е. такой чертеж не обладает свойством обратимости.

13 Моделирование трехмерного пространства Известно несколько способов,

Моделирование трехмерного пространства Известно несколько способов,

позволяющих получать об- ратимые чертежи. Наиболее распространенные из них ба- зируются на схеме метода двух изображений, когда одно- картинный чертеж дополняют. В зависимости от дополне- ния существуют различные виды чертежей. На практике наибольшее распространение получили: 1. Комплексный чертеж Монжа. Суть метода ортогональных (прямоугольных) проекций состоит в том, что оригинал ортогонально проецируют на 2 или 3 взаимно-ортогональные плоскости проекций, а затем совмещают их с плоскостью чертежа. 2. Аксонометрический чертеж. Суть аксонометрического чертежа в том, что сначала оригинал жестко связывают с декартовой системой коорди- нат OXYZ, ортогонально проецируют его на одну из плоскостей проекций OXY, или OXZ. Затем параллельным проецированием находят параллельную проекцию получен- ной конструкции: осей координат OX, OY, OZ, вторичной проекции и оригинала.

14 3. Перспективный чертеж

3. Перспективный чертеж

При построении перспективного чертежа сначала стро- ят одну ортогональную проекцию, а затем на картинной плоскости находят центральную проекцию построенной ранее ортогональной проекции и самого оригинала. Такое моделирование является плоским геометриче- ским моделированием или двухмерным (2D-моделирова- вание). С развитием информационных (цифровых) технологий получило развитие 3D-моделирование трехмерных объек тов.

15 Пространственная модель координатных плоскостей проекций

Пространственная модель координатных плоскостей проекций

Для того чтобы чертеж был обратим необходимо иметь проекции изображаемого тела на две или три плоскости проекций. Для определения положения геометрического тела в пространстве и выявления его формы по ортогональ- ным проекциям наиболее удобной является декартова система координат, которая состоит из трёх взаимно перпендикулярных плоскостей. Рассмотрим пространственную модель координатных плоскостей проекций.

16 Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат: ОX - ось

Линии пересечения плоскостей проекций образуют оси координат: ОX - ось

абсцисс, ОY - ось ординат, ОZ – ось аппликат, а точка пересечения координат- ных осей O принимается за начало координат.

П1– горизонтальная плос- кость проекций; П2 – фронтальная плоскость проекций; П3 - профильная плоскость проекций

17 Построение комплексного чертежа Схему построения комплексного чертежа

Построение комплексного чертежа Схему построения комплексного чертежа

развил Гас- пар Монж. Для перехода от пространственной модели плоскостей проекций к более простой плоскостной моде- ли, т. е. к плоскому чертежу, плоскости проекций П1 и П3 совмещают с плоскостью П2. Построение чертежа выполняется методом ортогональ- ного проецирования.

18 Полученный чертеж является трёхпроекционным ортого- нальным чертежом

Полученный чертеж является трёхпроекционным ортого- нальным чертежом

точки А. На чертеже линии связи А2 А1 и А2 А3 перпендикуляр- ны к соответствующим осям. По ортогональному чертежу можно судить о расстоянии от точки А до плоскостей П1, П2 и П3.

19 Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного

Основные инвариантные (независимые) свойства параллельного

проецирования При параллельном проецировании нарушаются мет- рические характеристики геометрических фигур (про- исходит искажение линейных и угловых величин), причём степень нарушения зависит как от аппарата проецирования, так и от положения проецируемой гео- метрической фигуры в пространстве по отношению к плоскости проекции. Но наряду с этим, между оригиналом и его проекци- ей существует определённая связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Эти свойства называются инвариант- ными (проективными) для данного способа проециро- вания.

20 Свойства параллельного проецирования: 1. Проекцией точки является

Свойства параллельного проецирования: 1. Проекцией точки является

точка. 2. Проекцией линии является линия. 3. Проекцией прямой в общем случае является прямая. Если прямая совпадает с проецирующим лучом, то ее проекцией является точка. 4. Если точка принадлежит линии, то проекция точки принадлежит проекции линии. 5. Если точка делит длину отрезка в отношении m:n, то проекция этой точки делит длину проекции отрезка в том же отношении. 6. Если прямая параллельна плоскости проекций, то ее проекция соответствует оригиналу. 7. Проекция прямой общего положения меньше ее истин- ной длины и зависит от величины угла наклона прямой к плоскости проекций.

21 Взаимосвязь между проекциями оригинала на комплексном чертеже

Взаимосвязь между проекциями оригинала на комплексном чертеже

заключается в следующем: Две проекции точки располагаются на одной линии связи. Линии связи между собой параллельны. Две проекции точки определяют положение её третей проекции.

22 Задание и изображение точки на комплексном чертеже

Задание и изображение точки на комплексном чертеже

По отношению к плоскостям проекций точка может за- нимать общее положение, т. е. ни принадлежать ни од- ной из плоскостей проекций, и частное положение – на- ходиться на одной из этих плоскостей, сразу на двух и одновременно на трёх плоскостях проекций.

Точка А – точка общего положе- ния. Точка А1 является горизонталь- ной проекцией точки А. Точка А2 - ее фронтальной про- екцией. Соответственно, точка А3 про- фильной проекцией.

23 Точки M, N и K – точки частного положения

Точки M, N и K – точки частного положения

Точка N принадлежит плоскости П2, точка M принадлежит плоскости П1, а точка K принадлежит оси проекций ОХ, следовательно, принадлежит сразу обеим плоскостям.

24 Задание и изображение прямой на комплексном ортогональном чертеже

Задание и изображение прямой на комплексном ортогональном чертеже

Прямая есть такое множество точек, свойства которого определяются известной аксиомой прямой линии: «через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая» и теоремой, которая следует из аксиомы прямой: «две различные прямые могут иметь не более одной общей точки». По расположению относительно плоскостей проекций прямые могут быть общего и частного положений. Прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни од- ной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

25 Так как две точки однозначно определяют положение пря- мой в

Так как две точки однозначно определяют положение пря- мой в

пространстве, то достаточно задать на комплексном чертеже проекции двух точек, принадлежащих прямой и попарно соединить их первые, вторые и третьи проекции.

26 Комплексный чертеж прямой общего положения

Комплексный чертеж прямой общего положения

27 Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций, называется

фронталью - f. На фронтальную плоскость про- екций фронталь проецируется в натуральную величину. Графический признак фронтали – y=const.

28 Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется

профильной прямой - р. На профильную плос- кость проекций профильная прямая проецируется в натуральную величину. Графический признак профильной прямой – х=const.

29 Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется

профильной прямой - р. На профильную плос- кость проекций профильная прямая проецируется в нату- ральную величину.

30 Прямая называется проецирующей, если она перпендику- лярна одной из

Прямая называется проецирующей, если она перпендику- лярна одной из

плоскостей проекций. Одна из проекций такой прямой есть точка.

Горизонтально проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная горизонтальной плоскости проекций. Горизонтальной проекцией такой прямой является точка, а фронтальная и профильная проекции || оси z.

31 Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная фронтальной

Фронтально проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная фронтальной

плоскости проекций. Фронтальной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и профильная проекции || оси y.

32 Профильно проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная профильной

Профильно проецирующая прямая – прямая, перпен-дикулярная профильной

плоскости проекций. Профильной проекцией такой прямой является точка, а горизонтальная и фронтальная проекции || оси x.

«Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/lektsija-1-ponjatie-geometricheskogo-prostranstva-i-ego-elementov-228557.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Геометрия > Лекция 1 Понятие геометрического пространства и его элементов