Методы решения тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

Содержание

Метод замены переменной Метод разложения на множители Однородные тригонометрические уравнения С помощью тригонометрических формул: Формул сложения Формул приведения Формул двойного аргумента

Метод замены переменной

С помощью замены t = sinx или t = cosx, где t ? [?1;1] решение исходного уравнения сводится к решению квадратного или другого алгебраического уравнения. См. примеры 1 – 3

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Метод разложения на множители

Суть этого метода заключается в том, что произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а другие при этом не теряют смысл: f(x) · g(x) · h(x) · … = 0 ? f(x) = 0 или g(x) = 0 или h(x) = 0 и т.д. при условии существования каждого из сомножителей См. примеры 4 – 5

Пример 4

Пример 5

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin x + b cos x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением первой степени.

: cos x

a sin x + b cos x = 0

a tg x + b = 0

Замечание. Деление на cos x допустимо, поскольку решения уравнения cos x = 0 не являются решениями уравнения a sin x + b cos x = 0.

Однородные тригонометрические уравнения

Уравнение вида a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0 называют однородным тригонометрическим уравнением второй степени.

: cos2x

a sin2x + b sin x cos x + c cos2x = 0

a tg2x + b tg x + c = 0

Далее, вводим новую переменную tg x = t и решаем методом замены переменной.

Замечание. Если в данном уравнении а = 0 или с = 0 то, уравнение решается методом разложения на множители.

Пример 6

Пример 7

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

С помощью тригонометрических формул

1. Формулы сложения:

sin (x + y) = sinx cosy + cosx siny

sin (x ? y) = sinx cosy + cosx siny

cos (x + y) = cosx cosy ? sinx siny

cos (x ? y) = cosx cosy + sinx siny

Пример 12

Пример 13

С помощью тригонометрических формул

2. Формулы приведения:

Лошадиное правило

В старые добрые времена жил рассеянный математик, который при поиске ответа менять или не менять название функции (синус на косинус), смотрел на свою умную лошадь, а она кивала головой вдоль той оси координат, которой принадлежала точка, соответствующая первому слагаемому аргумента ?/ 2 + ? или ? + ?. Если лошадь кивала головой вдоль оси ОУ, то математик считал, что получен ответ «да, менять», если вдоль оси ОХ, то «нет, не менять».

С помощью тригонометрических формул

3. Формулы двойного аргумента:

sin 2x = 2sinx cosx

cos 2x = 2cos2x – 1

cos 2x = cos2x – sin2x

cos 2x = 1 – 2sin2x

Пример 14

С помощью тригонометрических формул

4. Формулы понижения степени:

5. Формулы половинного угла:

С помощью тригонометрических формул

6. Формулы суммы и разности:

С помощью тригонометрических формул

7. Формулы произведения:

Мнемоническое правило “Тригонометрия на ладони”

Очень часто требуется знать наизусть значения cos, sin, tg, ctg для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Но если вдруг какое-либо значение забудется, то можно воспользоваться правилом руки. Правило: Если провести линии через мизинец и большой палец, то они пересекутся в точке, называемой “лунный бугор”.

Образуется угол 90°. Линия мизинца образует угол 0°. Проведя лучи из “лунного бугра” через безымянный, средний, указательный пальцы, получаем углы соответственно 30°, 45°, 60°. Подставляя вместо n: 0, 1, 2, 3, 4, получаем значения sin, для углов 0°, 30°, 45°, 60°, 90°. Для cos отсчет происходит в обратном порядке.

Не закончено