Многогранник
<<  Многогранники Многогранники  >>
Многогранники
Многогранники
Введение
Введение
Введение
Введение
Историческая справка
Историческая справка
Тетраэдр
Тетраэдр
Платон
Платон
Эвклид
Эвклид
«Космический кубок» Кеплера
«Космический кубок» Кеплера
«Космический кубок» Кеплера
«Космический кубок» Кеплера
Правильные многогранники
Правильные многогранники
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Представители семейства
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера
Теорема Эйлера
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Искусство и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Архитектура и многогранники
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Задачи
Вывод
Вывод
Решение
Решение
Задачи
Задачи
Литература
Литература
Автор
Автор

Презентация на тему: «Многогранники». Автор: Сергей. Файл: «Многогранники.ppt». Размер zip-архива: 1867 КБ.

Многогранники

содержание презентации «Многогранники.ppt»
СлайдТекст
1 Многогранники

Многогранники

Платоновы тела

2 Введение

Введение

Историческая справка

Правильные многогранники

Теорема Эйлера

Платон

Эвклид

«Космический кубок»

Искусство и многогранники

Архитектура и многогранники

Задачи

Литература

Автор

3 Введение

Введение

Тема " Многогранники " одна из основных тем в школьном курсе геометрии. Эта тема имеет яркие приложения, в том числе в живописи, архитектуре. Кроме этого в ней , по образному выражению академика А.Д. Александрова сочетаются "Лёд" и "Пламя", т.е. живое воображение и строгая логика.

Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой - красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства. Бертран Рассел

4 Историческая справка

Историческая справка

Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы , в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Большое значение в этих школах приобретают рассуждения, с помощью которых удалось получать новые геометрические свойства. Одной из первых и самых известных школ была Пифагорейская, названная в честь своего основателя Пифагора. Существование только пяти правильных многогранников относили к строению материи и Вселенной. Пифагорейцы, а затем Платон полагали, что материя состоит из четырех основных элементов: огня, земли, воздуха и воды. Согласно их мнению, атомы основных элементов должны иметь форму различных Платоновых тел.

5 Тетраэдр

Тетраэдр

Икосаэдр

Вода

Додекаэдр

Огонь

Октаэдр

Воздух

Земля

Гексаэдр

Вселенная

Дальнейшее развитие математики связано с именами Платона, Кеплера, Евклида и Архимеда. Все использовали в своих философских теориях правильные многогранники

6 Платон

Платон

Платон (настоящее имя Аристокл)

Днем рождения Платона, которого еще при жизни за мудрость называли “божественным”, по преданию считается 7 таргелион (21 мая), праздничный день, в который, согласно древнегреческой мифологии, родился бог Аполлон. Год рождения в различных источниках указывается 429 - 427 до Р.Х.

Платон родился в Афинах в самый разгар беспощадных Пелопонесских войн, предшествовавших распаду Греции. Семья его была знатной, старинной, царского происхождения, с прочными аристократическими традициями. Платон получил всестороннее воспитание, которое соответствовало представлениям классической античности о совершенном, идеальном человеке, соединяющем в себе физическую красоту безупречного тела и внутреннее, нравственное благородство. Юноша занимался живописью, сочинял трагедии, изящные эпиграммы, комедии, участвовал в качестве борца в греческих играх и даже получил там награду. Он отдавался жизни без излишеств, но и без суровости, окруженный молодыми людьми своего класса, любимый многочисленными своими друзьями. Но этой безмятежной жизни неожиданно наступает конец.

7 Эвклид

Эвклид

(Около 365-300 гг. До н.Э.)

Евклид, или Эвклид - древнегреческий математик, автор первых дошедших до нас теоретических трактатов по математике.

Биографические сведения о жизни и деятельности Евклида крайне скудны. Известно, что он родом из Афин, был учеником Платона. Научная деятельность Евклида протекала в Александрии (3 в. до н. э.), и ее расцвет приходится на время царствования в Египте Птолемея I Сотера.

Известно также, что Евклид был моложе учеников Платона (427-347 до н. э.), но старше Архимеда (ок. 287-212 до н. э.), так как, с одной стороны, был платоником и хорошо знал философию Платона (именно поэтому он закончил "Начала" изложением так называемых платоновых тел, т. е. пяти правильных многогранников), а с другой стороны его имя упоминается в первом из двух писем Архимеда к Досифею "О шаре и цилиндре".

Историческое значение "Начал" Евклида заключается в том, что в них впервые сделана попытка логического построения геометрии на основе аксиоматики. Аксиоматический метод, господствующий в современной математике, своим происхождением в большой степени обязан "Началам" Евклида.

8 «Космический кубок» Кеплера

«Космический кубок» Кеплера

Подробнее

Кеплер предположил, что существует связь между пятью правильными многогранниками и шестью открытыми к тому времени планетами Солнечной системы.

9 «Космический кубок» Кеплера

«Космический кубок» Кеплера

Согласно этому предположению, в сферу орбиты Сатурна можно вписать куб, в который вписывается сфера орбиты Юпитера. В неё, в свою очередь, вписывается тетраэдр, описанный около сферы орбиты Марса. В сферу орбиты Марса вписывается додекаэдр, к который вписывается сфера орбиты Земли. А она описана около икосаэдра, в который вписана сфера орбиты Венеры. Сфера этой планеты описана около октаэдра, в который вписывается сфера Меркурия. Такая модель Солнечной системы получила название «Космического кубка» Кеплера. Результаты своих вычислений учёный опубликовал в книге «Тайна мироздания». Он считал, что тайна Вселенной раскрыта. Год за годом учёный уточнял свои наблюдения, перепроверял данные коллег, но, наконец, нашёл в себе силы отказаться от заманчивой гипотезы. Однако её следы просматриваются в третьем законе Кеплера, где говориться о кубах средних расстояний от Солнца.

10 Правильные многогранники

Правильные многогранники

Платоновыми телами называются правильные однородные выпуклые многогранники, то есть выпуклые многогранники, все грани и углы которых равны, причем грани - правильные многоугольники. К каждой вершине правильного многогранника сходится одно и то же число рёбер. Все двугранные углы при рёбрах и все многогранные углы при вершинах правильного многоугольника равны.

Платоновы тела - трехмерный аналог плоских правильных многоугольников. Существует лишь пять выпуклых правильных многогранников - тетраэдр, октаэдр и икосаэдр с треугольными гранями, куб (гексаэдр) с квадратными гранями и додекаэдр с пятиугольными гранями. Доказательство этого факта известно уже более двух тысяч лет; этим доказательством и изучением пяти правильных тел завершаются "Начала" Евклида. Также существует семейство тел, родственных платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники, или архимедовы тела. У них все многогранные углы равны, все грани - правильные многоугольники, но нескольких различных типов.

11 Представители семейства

Представители семейства

Тетраэдр

Октаэдр

Куб (гексаэдр)

Додекаэдр

Икосаэдр

ИКОСАЭДР (от греч. eikosi — двадцать и hedra — грань), один из пяти типов правильных многогранников; имеет 20 граней (треугольных), 30 ребер, 12 вершин (в каждой сходится 5 ребер).

12 Представители семейства

Представители семейства

Тетраэдр

Тетраэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Тетраэдр - простейший многогранник, его гранями являются четыре равносторонних треугольника,6 ребер и 4 вершины (в каждой из них сходится 3 ребра) Тетраэдр является правильной треугольной пирамидой .Название <<тетраэдр>> происходит от греческого слова (тетра)-<<четыре>>,и греческого(эдра)-<<основание>> Тетраэдр - пространственный аналог плоского равностороннего треугольника, поскольку он имеет наименьшее число граней, отделяющих часть трехмерного пространства.

Название

Тетраэдр

Обозначение

3|2 3

Граней

4

Ребер

6

Вершин

4

Невыпуклых граней

0

Грань

Количество

4

13 Представители семейства

Представители семейства

Куб

Куб, или гексаэдр, принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Пожалуй, куб - наиболее известный и используемый многогранник. Этот многогранник имеет шесть квадратных граней, сходящихся в вершинах по три, 12 рёбер и 8 вершин(в каждой из них сходится 3 ребра).Куб является правильной призмой. Название<<куб>> происходит от греческого слова xobos (кюбос), означающего <<игральная кость>>.

Название

Тетраэдр

Обозначение

3|2 3

Граней

4

Ребер

6

Вершин

4

Невыпуклых граней

0

Грань

Количество

4

14 Представители семейства

Представители семейства

Октаэдр

Октаэдр принадлежит к семейству платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Гранями октаэдра являются восемь равносторонних треугольников, сходящихся в вершинах по четыре, 12 рёбер и 6 вершин(в каждой из них сходится 4 ребра) Название <<октаэдр>>происходит от греческого (окто) - <<восемь>> и слова (эдра)-<<основание>>. Можно заметить, что ребра октаэдра образуют три квадрата, лежащих в экваториальных взаимно перпендикулярных плоскостях.

Название

Октаэдр

Обозначение

4|2 3

Граней

8

Ребер

12

Вершин

6

Невыпуклых граней

0

Грань

Количество

8

15 Представители семейства

Представители семейства

Додекаэдр

Додекаэдр - представитель семейства платоновых тел, то есть правильных выпуклых многогранников. Додекаэдр имеет двенадцать пятиугольных граней, сходящихся в вершинах по три , 30 рёбер и 20 вершин (в каждой из них сходится 3 ребра). Этот многогранник замечателен своими тремя звездчатыми формами. Название << додэкаэдр>> происходит от греческих слов (додека)-<<двенадцать>>и (эдра)-<<основание>>.

Название

Додекаэдр

Обозначение

3|2 5

Граней

12

Ребер

30

Вершин

20

Невыпуклых граней

0

Грань

Количество

12

16 Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Число вершин минус число рёбер плюс число граней равно двум.

17 Доказательство теоремы

Доказательство теоремы

Теорема Эйлера

Пусть В --- число вершин выпуклого многогранника, Р --- число его рёбер и Г --- число граней. Тогда верно равенство В-Р+Г=2

18 Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Доказательство

Рис. 1

Для доказательства теоремы Эйлера возьмём произвольную грань F1 многогранника, а также смежную с ней по ребру грань F2. Подчеркнём, что эту пару граней ограничивает связный (т. е. состоящий из одного куска) не самопересекающийся контур из рёбер этих граней. Выберем третью грань F3, которая прилегает к этой паре по некоторому связному куску ломаной, состоящей из рёбер (рис. 1). Это, как нетрудно увидеть, всегда можно сделать. Тогда граница тройки этих граней тоже представляет собой связный не самопересекающийся контур. Легко показать, что к уже отобранным граням можно присоединить четвёртую грань, затем пятую и т. д. так, чтобы получающаяся на очередном шаге совокупность граней F1, F2, ..., Fi была ограничена связным не самопересекающимся контуром.

19 Теорема Эйлера

Теорема Эйлера

Доказательство

Подсчитывать эйлерову характеристику многогранника будем поэтапно. На первом этапе вклад грани F1 в эйлерову характеристику, т. е. число вершин грани минус число её рёбер (такое же) плюс число граней (в данном случае равное 1), равен 1. Присоединяя новую грань F2, мы прибавляем некоторое число новых вершин, отнимаем число (меньшее числа вершин на единицу) новых рёбер и прибавляем единицу, соответствующую новой грани. В итоге, вклад в эйлерову характеристику на втором этапе нулевой. Так как присоединяемая на каждом этапе грань имеет с предыдущими гранями общую границу в виде одной связной ломаной, то на каждом шаге (за исключением последнего) число новых вершин на единицу меньше числа новых рёбер. Поэтому на каждом шаге, начиная со второго вплоть до предпоследнего, вклад в эйлерову характеристику нулевой. Присоединение последней грани не даёт ни новых вершин, ни новых рёбер, добавляя в эйлеровой характеристике к уже имеющейся единице ещё одну, соответствующую последней грани. Таким образом, на последнем этапе мы получаем эйлерову характеристику многогранника, равную 2.

Теорема Эйлера имеет огромное значение в геометрии. Эта теорема породила новое направление в математике --- топологию. Эйлерова характеристика не зависит ни от длин рёбер, ни от площадей граней, ни от каких-либо углов многогранника. Эйлерова характеристика равна 2 независимо от того, выпуклый это многогранник или нет. Главное --- чтобы поверхность этого многогранника не имела дыр и была " похожа" на сферу, а не на рамку (рис. 2). Для многогранника, " похожего" на рамку, эйлерова характеристика равна 0.

Рис. 2

20 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы. архитекторы, художники. Леонардо да Винчи (1452 -1519) например, увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли ''О божественной пропорции.''

Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией Альбрехт Дюрер (1471- 1528) , в известной гравюре ''Меланхолия ''.на переднем плане изобразил додекаэдр.

21 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

Художник М.К.Эшер

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1989 году в Леувардене, создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Четыре правильных многогранника

22 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

Большое количество многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Порядок и хаос

23 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

Гравюра Эшера "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Звезда

24 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

Леонардо да Винчи

Шедевром исторического типа Тайной Вечери является фреска Леонардо да Винчи в трапезной миланского монастыря Санта Мария деле Грацие. Здесь запечатлен момент предсказания Иисусом предательства. Леонардо располагает Христа в центре прямоугольного стола, все двенадцать апостолов помещаются по шесть с обеих от Него сторон

Веками Тайная вечеря привлекала внимание христианских художников. Для картины обычно выбирался один из двух её драматичных моментов: либо утверждение Иисусом Христом Святого причастия, либо Его пророчества о том, что один из апостолов Его предаст (Иуда).

25 Искусство и многогранники

Искусство и многогранники

Сальвадор Дали

Сальвадор Дали -обращение к правильному многограннику-додекаэдру. Форму додекаэдра по мнению древних имела ВСЕЛЕННАЯ , т.е. они считали, что мы живём внутри свода, имеющего форму поверхности правильного додекаэдра. Перед вами изображение картины художника Сальвадора Дали "Тайная Вечеря". Это огромное полотно, в котором художник решил посоревноваться с Леонардо да Винчи.

Обратите внимание, что изображено на переднем плане картины? Христос со своими учениками изображён на фоне огромного прозрачного додекаэдра

26 Архитектура и многогранники

Архитектура и многогранники

Наука геометрия возникла из практических задач, ее предложения выражают реальные факты и находят многочисленные применения. В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит геометрия, потому что она появляется всюду, где нужна хотя бы малейшая точность в определении формы и размеров. И технику, и инженеру, и квалифицированному рабочему и людям искусства геометрическое воображение необходимо, как геометру или архитектору. Математика, в частности геометрия, представляет собой могущественный инструмент познания природы, создания техники и преобразования мира. Различные геометрические формы находят свое отражение практически во всех отраслях знаний: архитектура, искусство.

27 Архитектура и многогранники

Архитектура и многогранники

Великая пирамида в Гизе.

Царская гробница

Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.

Великая пирамида была построена как гробница Хуфу, известного грекам как Хеопс. Он был одним из фараонов, или царей древнего Египта, а его гробница была завершена в 2580 году до н.э. Пирамида Хуфу, самая дальняя на рисунке, является самой большой. Пирамида его сына находится в середине и смотрится выше, потому что стоит на более высоком месте.

28 Архитектура и многогранники

Архитектура и многогранники

Александрийский маяк.

В III веке до н.э. был построен маяк, чтобы корабли могли благополучно миновать рифы на пути в александрийскую бухту. Ночью им помогало в этом отражение языков пламени, а днем - столб дыма. Это был первый в мире маяк, и простоял он 1500 лет

29 Архитектура и многогранники

Архитектура и многогранники

Остров и маяк

Три башни

Маяк был построен на маленьком острове Фарос в Средиземном море, около берегов Александрии. Этот оживленный порт основал Александр Великий во время посещения Египта. Сооружение назвали по имени острова. На его строительство, должно быть, ушло 20 лет, а завершен он был около 280 г. до н.э., во времена правления Птолемея II, царя Египта.

Фаросский маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню.

Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. На вершине башни стояла статуя Зевса Спасителя. Общая высота маяка составляла 117 метров.

30 Задачи

Задачи

Решение

Задача №1

С помощью семи кубов, образующих пространственный "крест", постройте ромбододекаэдр.

31 Задачи

Задачи

Решение задачи о заполнении пространства

Решение. (№1)

Кубами можно заполнить пространство. Рассмотрим часть кубической решетки и покажите, что ими можно заполнить пространство.

Средний куб оставим нетронутым, а в каждом из "окаймляющих" кубов проведем плоскости через все шесть пар противолежащих ребер. При этом "окаймляющие" кубы разобьются на шесть равных пирамид с квадратными основаниями и боковыми ребрами, равными половине диагонали куба. Пирамиды, примыкающие к нетронутому кубу, и образуют вместе с последним ромбический додекаэдр.

Отсюда ясно, что ромбическими додекаэдрами можно заполнить все пространство. Как следствие получаем, что объем ромбического додекаэдра равен удвоенному объему куба, ребро которого совпадает с меньшей диагональю грани додекаэдра.

32 Задачи

Задачи

Задачи о пчелиной ячейке

Пчелы - удивительные творения природы. Если разрезать пчелиные соты плоскостью, то станет видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников. Почему пчелы строят соты именно так?

“Даны три равновеликие друг другу фигуры:

Правильный треугольник,

Квадрат

Правильный шестиугольник.

Какая из данных фигур имеет наименьший периметр?”

33 Задачи

Задачи

Решение задачи

Ответ: из правильных многоугольников с одинаковой площадью, наименьший периметр у правильных шестиугольников.

Секреты пчел не заканчиваются. Соты в улье свешиваются сверху вниз как занавески: пчелы прикрепляют их к потолку смесью воска и пчелиного клея (прополиса).

Слева изображена пчелиная ячейка в общем виде, а справа можно увидеть, как соприкасаются ячейки в улье; их общая часть является ромбом.

34 Вывод

Вывод

Итак, площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности призмы. При такой «математической» работе пчелы экономят 2% воска. Количество воска, сэкономленного при постройке 54 ячеек, может быть использовано для одной такой же ячейки. Пчелиные соты представляют собой пространственный паркет, заполняют пространство так, что не остается просветов. Как не согласиться с мнением Пчелы из сказки ‘’Тысяча и одна ночь: ’’Мой дом построен по законам самой строгой архитектуры. Сам Евклид мог бы поучиться, познавая геометрию моих сот”.

35 Решение

Решение

Задачи

Задача №3

Докажите, что центры граней куба являются вершинами октаэдра, а центры граней октаэдра являются вершинами куба.

36 Задачи

Задачи

Решение (№4)

Обозначим центры граней куба C1, C2, C3, C4, C5, C6. Каждая грань куба граничит с четырьмя другими ,так что каждая из точек С будет соединена с четырьмя другими. Так как расстояния между центрами граней, имеющих общее ребро, в кубе одинаковы, то получим фигуру, имеющую 6 вершин, в каждой из которых сходится по n ребер, и все грани представляют собой правильные треугольники. Значит эта фигура - октаэдр.

Наоборот : Обозначим центры граней октаэдра .Каждая грань октаэдра граничит с тремя другими , так что центр каждой грани будет соединен ребрами с тремя соседними .так как расстояние между центрами граней , имеющих общее ребро , одинаковы , то получится фигура , имеющая восемь вершин ; и с каждой вершины выходят по три одинаковых ребра и все грани представляют собой квадраты. Значит, эта фигура - куб . Что и требовалось доказать .

37 Литература

Литература

Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: Гуманитарно-математический курс. М.: Школа-Пресс, 1998. (Библиотека журнала «Математика в школе». Вып.7). Винниджер. Модели многогранников. М., 1975. Геометрия: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кардомцев и др.–5-е изд.– М.: Просвещение, 1997. Гросман С., Тернер Дж. Математика для биологов. М., 1983. Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976. Смирнова И.М. В мире многогранников. М., 1990. Шафрановский И.И. Симметрия в природе. Л., 1988.

Интернет ресурсы: www.krugosvet.ru www.forma.spb.ru

38 Автор

Автор

Работу выполнил Ученик ГОУ СОШ №692 11 «А» класса Жаров Сергей

«Многогранники»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/mnogogranniki-108230.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды