Объём
<<  Объём наклонной призмы, пирамиды, конуса Объём пирамиды  >>
Объём пирамиды
Объём пирамиды
?
?
h ?[0; H ]
h ?[0; H ]
V1 = V2
V1 = V2
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1
Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью
Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как
У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием
Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием
Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму
Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму
Итак, для любой n-угольной пирамиды:
Итак, для любой n-угольной пирамиды:

Презентация: «Объём пирамиды». Автор: V. Файл: «Объём пирамиды.ppt». Размер zip-архива: 170 КБ.

Объём пирамиды

содержание презентации «Объём пирамиды.ppt»
СлайдТекст
1 Объём пирамиды

Объём пирамиды

Геометрия, 11 класс.

Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск

2 ?

?

Т.к. ?ABC??A1B1C1, то по свойству площадей подобных фигур :

h

Построим сечение пирамиды, параллельное плоскости основания и находящееся на расстоянии h от её вершины.

h ?[0; H ]

Т.к. h – изменяющаяся величина, то площадь сечения можно рассматривать как функцию от переменной h, где h – расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания.

Рассмотрим произвольную треугольную пирамиду SABC с высотой SO=H.

S

H

A1

C1

O1

B1

A

C

O

B

3 h ?[0; H ]

h ?[0; H ]

h

Используя понятие бесконечной интегральной суммы, объем данной пирамиды можно получить как бесконечную сумму площадей таких сечений, построенных вдоль высоты.

H

4 V1 = V2

V1 = V2

h

H

На основании предыдущих рассуждений можно сделать вывод о том, что пирамиды с равными площадями оснований и равными высотами, имеют равные объемы.

Sосн.1= sосн.2

Sсеч.1= sсеч.2

5 Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1

Рассмотрим произвольную треугольную призму ABCA1B1C1

Разобьем её на две части секущей плоскостью (A1BC).

Получились две пространственные фигуры: треугольная пирамида A1ABC и четырехугольная пирамида A1BCC1B1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A1

A1

C1

B1

A

C

C

B

B

6 Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью

Теперь разобьём четырёхугольную пирамиду A1BCC1B1 секущей плоскостью

(A1C1B) на две треугольные пирамиды: A1BB1C1 и A1BCC1 (обе пирамиды с вершиной A1).

A1

A1

A1

C1

C1

B1

A

C

C

B

B

B

7 У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как

У треугольных пирамид A1ABC и BA1B1C1 основания равны (как

противоположные основания призмы) и их высотами является высота призмы. Значит, их объемы также равны.

У треугольных пирамид A1BB1C1 и A1BCC1 основания равны (объясните самостоятельно) и у них общая высота, проведенная из вершины A1. Значит, их объемы также равны.

A1

C1

A1

A1

C1

B1

A

C

C

B

B

B

8 Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:

Тогда, по свойству транзитивности, объемы всех трех пирамид равны:

Значит, объем пирамиды в три раза меньше объема призмы с такими же основанием и высотой, т.е.

A1

C1

A1

A1

C1

B1

A

C

C

B

B

B

9 Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием

Эту же формулу можно было получить непосредственным интегрированием

площади сечения, как функции, зависящей от расстояния h:

h

h

h ?[0; H ]

H

0

10 Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму

Рассматривая произвольную n-угольную пирамиду SA1A2…An как сумму

треугольных пирамид с общей вершиной и высотой, получим формулу для нахождения объема любой пирамиды:

H

S

A3

A2

A1

An

11 Итак, для любой n-угольной пирамиды:

Итак, для любой n-угольной пирамиды:

,Где sосн. – Площадь основания пирамиды, H – высота пирамиды.

«Объём пирамиды»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/objom-piramidy-235614.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды