Теорема Пифагора
<<  Теорема о трех перпендикулярах Теорема Пифагора  >>
Математический анализ 1 семестр Лекция 10 Основные теоремы
Математический анализ 1 семестр Лекция 10 Основные теоремы
Огюстен Луи Коши
Огюстен Луи Коши
Теорема Коши
Теорема Коши
Теорема Коши
Теорема Коши
Теорема Коши
Теорема Коши
Гийом Франсуа Лопиталь
Гийом Франсуа Лопиталь
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Правило Лопиталя
Брук Тейлор
Брук Тейлор
Формула Тейлора
Формула Тейлора
Многочлен Тейлора
Многочлен Тейлора
Многочлен Тейлора
Многочлен Тейлора
Остаточный член
Остаточный член
Форма Пеано
Форма Пеано
Форма Пеано
Форма Пеано
Форма Шлемильха-Роша
Форма Шлемильха-Роша
Форма Шлемильха-Роша
Форма Шлемильха-Роша
Форма Коши
Форма Коши
Форма Лагранжа
Форма Лагранжа
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Табличные разложения
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Примеры
Математический анализ
Математический анализ

Презентация на тему: «Основные теоремы дифференциального исчисления». Автор: Дмитрий. Файл: «Основные теоремы дифференциального исчисления.ppt». Размер zip-архива: 457 КБ.

Основные теоремы дифференциального исчисления

содержание презентации «Основные теоремы дифференциального исчисления.ppt»
СлайдТекст
1 Математический анализ 1 семестр Лекция 10 Основные теоремы

Математический анализ 1 семестр Лекция 10 Основные теоремы

дифференциального исчисления. Формула Тейлора. 13 ноября 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н. Орловский Дмитрий Германович

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

2 Огюстен Луи Коши

Огюстен Луи Коши

21.08.1789 – 23.05.1857

Великий французский математик, член Парижской академии наук, Лондонского королевского общества, Петербургской академии наук и других академий. Разработал фундамент математического анализа, внёс огромный вклад в анализ, алгебру, математическую физику и многие другие области математики. Его имя внесено в список величайших ученых Франции, помещённый на первом этаже Эйфелевой башни.

3 Теорема Коши

Теорема Коши

Пусть функции f(x)fи g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b) . Пусть также при всех x?(a;b) производная g’(x) ? 0. Тогда существует такая точка ??(a;b), для которой

Прежде всего отметим, что g(b) ? g(a) так как в противном случае по теореме Ролля должна найтись точка, в которой g’(x)=0, а это противоречит условию теоремы. Рассмотрим далее вспомогательную функцию Эта функция удовлетворяет условиям теоремы Ролля, следовательно, существует такая точка ??(a;b), в которой производная этой функции равна нулю Так как по условию теоремы производная g’(x) ? 0, то из последнего равенства следует формула Коши.

4 Теорема Коши

Теорема Коши

Следствие. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b] и дифференцируемы в интервале (a;b), причем при всех x?(a;b) производная g’(x) ? 0. Тогда для любых точек ?,??(a,b) найдется точка ?, лежащая между ? и ? f(т.е. либо ?????, либо ?????), для которой (1) ? < ? По теореме Коши для отрезка [a;b]. (2) ? > ? По теореме Коши для отрезка [b;a]. (3) ? = ? Обе части равенства равны нулю.

5 Теорема Коши

Теорема Коши

Контрпример: f(x)=x2, g(x)=x3,a = –1, b=1.

В то время как

Условия теоремы Коши не выполнены: производная функции g(x) в интервале (–1;1) обращается в нуль (в точке x=0).

6 Гийом Франсуа Лопиталь

Гийом Франсуа Лопиталь

Французский математик, автор первого учебника по математическому анализу. Сын богатых родителей, маркиз Лопиталь поступил сперва в военную службу, но по слабости зрения вскоре оставил ее и посвятил себя наукам. Главная заслуга Лопиталя заключается в первом систематическом изложении математического анализа, данное им в сочинении «Анализ бесконечно малых» в 1696 г. В этой книге собраны и приведены в стройное целое отдельные вопросы, разбросанные до того в разных повременных изданиях, а также приводится Правило Лопиталя. Лопиталю принадлежит также решение ряда задач, в том числе о кривой наименьшего времени ската (брахистохрона), о кривой, по которой должен двигаться груз, прикрепленный к цепи и удерживающий в равновесии подъемный мост. Решение этих задач помогло ему стать в один ряд с Ньютоном, Лейбницем и Якобом Бернулли.

1661 – 02.02.1704

7 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале производная g’(x) ? 0. Пусть также при x?a+0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того Тогда также и

Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно доопределить по непрерывности на промежуток [a;b)[, полагая f(a)=0f и g(a)=0.

8 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Проверим определение предела для отношения функций и числа A. Возьмем положительное число ?. Из определения предела следует, что существует такой интервал (a;b?), в котором Покажем, что этот же интервал отвечает числу ? в определении предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x?(a;b?). По теореме Коши для отрезка [a;x] Так как x?(a;b?), то также и точка ??(a;b?). В силу выбора интервала (a;b?) Поэтому A является пределом отношения функций приxx?a+0.

9 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (a;b). Причем всюду в этом интервале производная g’(x) ? 0. Пусть также при x?b–0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того Тогда также и

Так как обе функции имеют конечные пределы, то их можно доопределить по непрерывности на промежуток (a;b][, полагая f(b)=0f и g(b)=0.

10 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Проверим определение предела для отношения функций и числа A. Возьмем положительное число ?. Из определения предела следует, что существует такой интервал (a?;b), в котором Покажем, что этот же интервал отвечает числу ? в определении предела и для отношения функций. В самом деле, пусть x? (a?;b). По теореме Коши для отрезка [x;b] Так как x?(a?;b), то также и точка ??(a?;b). В силу выбора интервала (a?;b) Поэтому A является пределом отношения функций приxx?b–0.

11 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некотором интервале (x0–?;x0+?) кроме, быть может, точки x0. Причем всюду на этом же множестве производная g’(x) ? 0. Пусть также при x?x0 обе функции имеют пределы, равные нулю. Кроме того Тогда также и

Следствие

12 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пример 1. Вычислить

Решение.

13 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пример 2. Вычислить

Решение.

14 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пример 3. Вычислить

Решение.

15 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пример 4. Вычислить

Решение.

16 Правило Лопиталя

Правило Лопиталя

Пример 5. Вычислить

Решение.

17 Брук Тейлор

Брук Тейлор

Брук Тейлор родился в деревне Эдмонтон в графстве Мидлсекс, в восьми милях от Лондона. В 1701г. он поступил в Кембриджский университет, в колледж Сент-Джон. Статьи Тейлора были признаны настолько ценными, что в 1712г. его избрали членом Королевского общества. В 1718г. он уходит с поста секретаря Королевского общества, чтобы освободить время для философской работы. Он возвращается к увлечениям молодости - занимается музыкой и живописью. В 1730 г. от родов умерла жена Тейлора. Правда осталась девочка, но Тейлор был неутешен в своем горе. Его здоровье резко ухудшалось и больше не восстанавливалось. 29 декабря 1731г. он скончался и был погребен в Лондоне.

18.08.1685 – – 29.12.1731

18 Формула Тейлора

Формула Тейлора

Многочлен Тейлора Форма Пеано Форма Шлемильха-Роша Форма Коши Форма Лагранжа Табличные разложения Примеры

19 Многочлен Тейлора

Многочлен Тейлора

Пусть функция имеет в данной точке несколько последовательных производных до порядка n включительно. Рассмотрим задачу о нахождении многочлена степени n, который имеет те же значения производных Этот многочлен удобно искать в виде следующего разложения Последовательно дифференцируя, находим

20 Многочлен Тейлора

Многочлен Тейлора

Полагая во всех полученных равенствах x=a, получаем т. е. Полученный многочлен называется многочленом Тейлора

21 Остаточный член

Остаточный член

Введем остаточный член Через него заданная функция выражается по формуле или Частный случай формулы Тейлора при a=0 (он чаще всего и используется в приложениях) называют формулой Маклорена. В этом случае она выглядит следующим образом

22 Форма Пеано

Форма Пеано

Пусть функция имеет все производные до порядка n–1 включительно в интервале (a–?;a+?), где ? >00и в точке x=a существует производная порядка n. Тогда

Лемма. Пусть функция имеет все производные до порядка n–1 включительно в интервале (a–?;a+?), где ?>0 и в точке x=a существует производная порядка n, причем Тогда 1)

23 Форма Пеано

Форма Пеано

2) Пусть

По предположению индукции

По теореме Лагранжа

(точка ? находится между точками x и a). Следовательно

24 Форма Шлемильха-Роша

Форма Шлемильха-Роша

Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1 включительно в интервале (a–?;a+?), где ?>0 и пусть p > 0. Тогда существует точка ? , лежащая между точками x и a, что Рассмотрим остаточный член как функцию переменной a. Для удобства эту переменную будем обозначать буквой t. Нетрудно видеть, что Вычислим производную этой функции

25 Форма Шлемильха-Роша

Форма Шлемильха-Роша

Применим к функциям F(t) и ?(t)=(x–t)p теорему Коши

26 Форма Коши

Форма Коши

Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1 включительно в интервале (a–?;a+?), где ?>0. Тогда существует точка ?, лежащая между точками x и a, что В формуле Шлемильха-Роша выберем p=1. Получим формулу Коши.

27 Форма Лагранжа

Форма Лагранжа

Пусть заданная функция имеет все производные до порядка n+1 включительно в интервале (a–?;a+?), где ?>0. Тогда существует точка ?, лежащая между точками x и a, что В формуле Шлемильха-Роша Выберем p=n+1. Получим формулу Лагранжа.

28 Табличные разложения

Табличные разложения

(1) Разложение функции ex в нуле.

Локальная формула (форма Пеано): Форма Коши: Форма Лагранжа:

29 Табличные разложения

Табличные разложения

(2) Разложение функции sin x в нуле.

Локальная формула (форма Пеано): Форма Коши: Форма Лагранжа:

30 Табличные разложения

Табличные разложения

(3) Разложение функции cos x в нуле.

Локальная формула (форма Пеано): Форма Коши: Форма Лагранжа:

31 Табличные разложения

Табличные разложения

(4) Разложение функции ln(1+x) в нуле.

Локальная формула (форма Пеано): Форма Коши: Форма Лагранжа:

32 Табличные разложения

Табличные разложения

(5) Разложение функции (1+x)? в нуле.

Локальная формула (форма Пеано): Форма Коши: Форма Лагранжа:

33 Примеры

Примеры

Пример 1. Написать разложение по степеням x функции

До члена с x3 включительно.

Ответ:

34 Примеры

Примеры

Пример 2. Написать разложение по степеням x функции

До члена с x3 включительно.

Ответ:

35 Примеры

Примеры

Пример 3. Написать разложение по степеням x функции

Пример 3. Написать разложение по степеням x функции

До члена с x5 включительно.

36 Примеры

Примеры

Ответ:

37 Примеры

Примеры

Пример 4. Оценить абсолютную погрешность формулы

При

Ответ:

38 Примеры

Примеры

Пример 5. Вычислить e с точностью до 10-9.

Ответ:

(Пример 4).

39 Примеры

Примеры

Пример 6. Вычислить с точностью до 0,0001 значение

Ответ:

40 Примеры

Примеры

Пример 7. Вычислить предел

Ответ: –1/12

41 Примеры

Примеры

Пример 8. Вычислить предел

Ответ: 1/3

42 Примеры

Примеры

Пример 9. Вычислить предел

Ответ: –1/4

43 Примеры

Примеры

Пример 10. Вычислить предел

44 Примеры

Примеры

45 Математический анализ

Математический анализ

Основные теоремы дифференциального исчисления. Формула Тейлора. Лекция 10 завершена. Спасибо за внимание!

Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ

Тема следующей лекции: Исследование функций. Лекция состоится в четверг 27 ноября В 10:15 по Московскому времени.

«Основные теоремы дифференциального исчисления»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/osnovnye-teoremy-differentsialnogo-ischislenija-210820.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Теорема Пифагора > Основные теоремы дифференциального исчисления