Перпендикуляр
<<  Расстояние от точки до плоскости Перпендикуляр и наклонные к плоскости  >>
Перпендикуляр и наклонная
Перпендикуляр и наклонная
Теорема о трех перпендикулярах
Теорема о трех перпендикулярах
Упражнение 1
Упражнение 1
Упражнение 2
Упражнение 2
Упражнение 3
Упражнение 3
Упражнение 4
Упражнение 4
Упражнение 5
Упражнение 5
Упражнение 6
Упражнение 6
Упражнение 7
Упражнение 7
Упражнение 8
Упражнение 8
Упражнение 9
Упражнение 9
Упражнение 10
Упражнение 10
Упражнение 11
Упражнение 11
Упражнение 12
Упражнение 12
Упражнение 13
Упражнение 13
Упражнение 14
Упражнение 14
Упражнение 15
Упражнение 15
Упражнение 16
Упражнение 16
Упражнение 17
Упражнение 17
Упражнение 18
Упражнение 18
Упражнение 19
Упражнение 19
Упражнение 20
Упражнение 20
Упражнение 21
Упражнение 21
Упражнение 22
Упражнение 22
Упражнение 23
Упражнение 23
Упражнение 24
Упражнение 24
Упражнение 25
Упражнение 25
Упражнение 26
Упражнение 26
Упражнение 27
Упражнение 27

Презентация на тему: «Перпендикуляр и наклонная». Автор: *. Файл: «Перпендикуляр и наклонная.ppt». Размер zip-архива: 154 КБ.

Перпендикуляр и наклонная

содержание презентации «Перпендикуляр и наклонная.ppt»
СлайдТекст
1 Перпендикуляр и наклонная

Перпендикуляр и наклонная

Пусть дана плоскость ? и точка A пространства. Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости ?. Точку пересечения прямой a с плоскостью ? обозначим A’. Она называется ортогональной проекцией точки A на плоскость ?.

Отрезок AA’ называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость ?.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их ортогональные проекции A’, называется ортогональным проектированием на плоскость ?.

2 Теорема о трех перпендикулярах

Теорема о трех перпендикулярах

Теорема. Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая c плоскости ? перпендикулярна проекции A’B’ наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости ?, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым A’B’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ’.

3 Упражнение 1

Упражнение 1

Докажите, что если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой наклонной.

Доказательство. Пусть прямая c плоскости ? перпендикулярна наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости ?, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна ортогональной проекции A’B’ наклонной АВ’.

4 Упражнение 2

Упражнение 2

Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, короче всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же плоскости.

Доказательство. Пусть AB’ – наклонная к плоскости ?, AA’ – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки A’ и B’. Треугольник AA’B’ прямоугольный, AB’ – гипотенуза, AA’ – катет. Следовательно, AA’ < AB’.

5 Упражнение 3

Упражнение 3

Может ли ортогональная проекция отрезка быть: а) меньше отрезка; б) равна отрезку; в) больше отрезка?

Ответ: а) Да;

Б) да;

В) нет.

6 Упражнение 4

Упражнение 4

Верно ли утверждение: «Если из двух различных точек, не принадлежащих плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции тоже равны»?

Ответ: Нет.

7 Упражнение 5

Упражнение 5

К плоскости прямоугольника ABCD в точке пересечения диагоналей восстановлен перпендикуляр. Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого перпендикуляра равноудалена от вершин прямоугольника?

Ответ: Да.

8 Упражнение 6

Упражнение 6

Точка M равноудалена от всех точек окружности. Верно ли утверждение о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому через её центр?

Ответ: Да.

9 Упражнение 7

Упражнение 7

Найдите ГМ оснований наклонных одинаковой длины, проведённых к данной плоскости из данной точки.

Ответ: Окружность.

10 Упражнение 8

Упражнение 8

Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от двух данных точек.

Ответ: Плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная этому отрезку.

11 Упражнение 9

Упражнение 9

Найдите геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от трех данных точек, не принадлежащих одной прямой.

Ответ: Прямая, проходящая через центр описанной окружности треугольника с вершинами в данных точках, и перпендикулярная плоскости этого треугольника.

12 Упражнение 10

Упражнение 10

Основание ABCD пирамиды SABCD – прямоугольник, AB < BC. Ребро SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и SD укажите наименьший и наибольший.

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

13 Упражнение 11

Упражнение 11

В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите ортогональную проекцию точки A на плоскость: а) BCC1; б) BDD1; в)* BDA1.

Ответ. а) точка B;

Б) точка пересечения прямых AC и BD;

В) точка пересечения прямых AC1 и плоскости BDA1.

14 Упражнение 12

Упражнение 12

В кубе ABCDA1B1C1D1 укажите ортогональную проекцию отрезка AB1 на плоскость: а) ABC; б) BCC1; в) BDD1.

Ответ. а) отрезок AB;

Б) отрезок BB1;

В) отрезок, соединяющий точку B1 и середину отрезка BD.

15 Упражнение 13

Упражнение 13

В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите длину ортогональной проекции отрезка AB1 на плоскость BDD1.

16 Упражнение 14

Упражнение 14

Докажите, что диагональ BD1 куба ABCDA1B1C1D1 перпендикулярна прямой AB1.

17 Упражнение 15

Упражнение 15

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 укажите ортогональную проекцию отрезка AC1 на плоскость: а) ABC; б) BCC1.

Ответ. а) отрезок AC;

Б) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка BC.

18 Упражнение 16

Упражнение 16

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите длину ортогональной проекции отрезка AC1 на плоскость BCC1.

19 Упражнение 17

Упражнение 17

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 укажите ортогональную проекцию точки B на плоскость: а) A1B1C1; б) ACC1.

Ответ. а) точка B1;

Б) середина отрезка AC.

20 Упражнение 18

Упражнение 18

В правильной шестиугольной призме A … F1 укажите ортогональную проекцию точки A на плоскость: а) A1B1C1; б) CDD1; в) DEE1; г) BDD1; д) BEE1; е) BFF1; ж) CEE1; з) CFF1.

Ответ. а) A1;

Б) C;

В) E;

Г) B;

Д) точка пересечения прямых BE и AC;

Е) точка пересечения прямых BF и AD;

Ж) точка пересечения прямых CE и AD;

З) точка пересечения прямых CF и AE.

21 Упражнение 19

Упражнение 19

В правильной шестиугольной призме A … F1 укажите ортогональную проекцию отрезка AC1 на плоскость: а) ABC; б) CDD1; в) CEE1; г) CFF1; д) BEE1; е) DFF1.

Ответ. а) отрезок AC;

б) отрезок CС1;

В) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка CE;

Г) отрезок, соединяющий точку C1 и точку пересечения AF и AE;

Д) отрезок, соединяющий точку пересечения AC и BE с точкой пересечения A1C1 и B1E1;

Е) отрезок FD1;

22 Упражнение 20

Упражнение 20

Докажите, что прямая BE1 правильной шестиугольной призмы A … F1 перпендикулярна прямой AB1.

23 Упражнение 21

Упражнение 21

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию отрезка AC, если AC = 37 см, AB = 35 см.

Ответ: 12 см.

24 Упражнение 22

Упражнение 22

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AC, если AB = 6 см, ?BAC = 60°.

Ответ: 12 см.

25 Упражнение 23

Упражнение 23

Из точки A к данной плоскости проведены перпендикуляр и наклонная, пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок AB, если AC = см, BC = 3AB.

Ответ: 2 см.

26 Упражнение 24

Упражнение 24

Отрезки двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, равны 15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков равна 16 см. Найдите проекцию другого отрезка.

Ответ: 9 см.

27 Упражнение 25

Упражнение 25

Отрезок BC длиной 12 см является проекцией отрезка AC на плоскость ?. Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC = 2:3. Найдите отрезок AD и его проекцию на плоскость ?, если известно, что AB = 9 см.

Ответ: 6 см; 4,8 см.

28 Упражнение 26

Упражнение 26

Дан прямоугольный треугольник ABC, катеты которого AC и BC равны соответственно 20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость ?, параллельная прямой BC. Проекция одного из катетов на эту плоскость равна 12 см. Найдите проекцию гипотенузы.

29 Упражнение 27

Упражнение 27

Сторона ромба равна a, острый угол 60°. Через одну из сторон ромба проведена плоскость. Проекция другой стороны на эту плоскость равна b. Найдите проекции диагоналей ромба.

«Перпендикуляр и наклонная»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/perpendikuljar-i-naklonnaja-77349.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Перпендикуляр > Перпендикуляр и наклонная