Плоскости и прямые в пространстве

Плоскости и прямые в пространстве

{ Прямая как пересечение двух плоскостей – векторно-параметрическое уравнение прямой – уравнение прямой, проходящей через две заданные точки – уравнение плоскости, проходящей через заданную точку параллельно двум заданным векторам – взаимное расположение прямой и плоскости – взаимное расположение двух прямых в пространстве – расстояние от точки до прямой в пространстве – угол между двумя плоскостями – угол между двумя прямыми – угол между прямой и плоскостью – примеры }

Прямая как пересечение двух плоскостей

p2

p1

N1

N2

Прямую в пространстве можно представить как линию пересечения двух плоскостей. В аффинной системе координат ее можно задать системой двух линейных уравнений :

Любая система вида (1) с непропорциональными коэффициентами при неизвестных определяет в пространстве некоторую прямую.

Параметрические и канонические уравнения прямых

D

М0 (x0 ,y0 ,z0 )

М (x ,y ,z)

Канонические уравнения

Пример

@

p1

p2

Решение

Составить уравнение прямой, проходящей через точку M0 (2,3,-1) и параллельной прямой D1 :

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

D

Пусть заданы две различные точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) прямой D.

М1 (x1 ,y1 ,z1 )

Параметрические уравнения прямой

М2 (x2 ,y 2 ,z 2)

Канонические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Исключая параметр t, получим

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, параллельно двум

заданным векторам

p

М0 (x0,y0 ,z0 )

b

a

М (x,y,z)

O

Векторное параметрическое уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

p

М1 (x1,y1 ,z1 )

М2 (x2,y2,z2 )

М (x,y,z )

М3 (x3,y3,z3 )

Взаимное расположение прямой и плоскости

p

D

Пусть требуется определить взаимное положение плоскости p и прямой D

D

Значения t из этого равенства определяют точки прямой D , принадлежащие плоскости p .

D

Подставляя x, y, z из уравнений (2) в (1), получим

1) Прямая пересекает плоскость в одной точке :

2) Прямая параллельна плоскости и не лежит в ней :

3) Прямая принадлежит плоскости :

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

D2

D1

Пусть требуется определить взаимное расположение двух прямых D1 и D2

M1(x1,y1,z1)

1) Прямые параллельны:

2) Прямые совпадают:

M2(x2,y2,z2)

3) Прямые пересекаются в одной точке:

4) Прямые скрещиваются:

Расстояние от точки до прямой в пространстве

D1

Расстояние от точки M1 до прямой D в пространстве можно определить как высоту параллелограмма, построенного на направляющем векторе s и разности радиусов векторов точки M1 и точки M0, через которую проходит прямая D.

d

Расчетная формула:

M0 (x0,y0,z0)

M1 (x1,y1,z1)

O

Угол между двумя плоскостями

p2

p1

Если заданы уравнения двух пересекающихся плоскостей :

То угол между двумя плоскостями определяется по формуле

j

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей

Угол между двумя прямыми

Величина угла между двумя прямыми D1 и D2 равна углу между направляющими векторами s1 (m1,n1,p1) и s2 (m2,n2,p2) этих прямых

s1 (m1,n1,p1)

D1

s2 (m2,n2,p2)

D2

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых

Пример

@

Решение

p

l = 1/4

Составить уравнение плоскости, которая проходит через ось Ox и делит отрезок M1M2 с вершинами M1(-2,2,4) и M2(5,0,-1) в отношении 1:4

y

z

M1

x

M0

M2

Угол между прямой и плоскостью

D

p

Для нахождения угла j между прямой D и плоскостью p используется формула определения синуса угла между нормальным вектором плоскости и направляющим вектором прямой, с введением (дополнительного до прямого) угла Y.