Подобные треугольники

Подобные треугольники

Выполнили: Карташов Алексей Пучков Евгений

Пропорциональные отрезки

Отношение отрезков АВ и СD называется отношение их длин, т.е. Говорят, что отрезки AB и CD пропорциональны отрезкам и , если = . Например, отрезки AB и CD, длины которых равны 2см и 1см, пропорциональны отрезкам и , длины которых равны 3см и 1,5см. В самом деле, = = . Понятие пропорциональности вводится и для большего числа отрезков. Так, например 3 отрезка АВ, CD и EF пропорциональны трем отрезкам , и , если справедливо равенство , = = .

Что хотим узнать

??

Конец

Определение подобных треугольников

Пусть в двух треугольниках АВС и углы соответственно равны: , , . В этом случае стороны АВ и , ВC и , CA и называются сходственными.

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

Другими словами 2 треугольника называются подобными если: 1) 2) , где k коэффициент подобия

Отношение площадей подобных треугольников

ТЕОРЕМА Отношение двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия

В

С

А

1-ый признак

ТЕОРЕМА Если 2 угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого ,то такие треугольники подобны

В

А

С

Доказательство

2-ой признак

ТЕОРЕМА Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

И

В

А

С

Доказательство

=

3-ий признак

Теорема Если три стороны треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны

В

А

С

Доказательство

Доказательство 1

В

Следовательно

Углы треугольника АВС соответственно равны углам треугольника .

С

А

И

Т.к.

И

То

=

Аналогично для

И

Получим

=

Доказательство 2

1)

=

2)

Учитывая первый признак подобия можно доказать, что

И

Рассмотрим у которого

Подобны по первому признаку

Треугольники и

И

=

равны (СУС)

Треугольники АВС и

И

1

2

Доказательство 3

Учитывая второй признак подобия можно доказать что

2)

Рассмотрим

У которого

И

Треугольники АВС и

Подобны по первому признаку

В

И

(3 стороны)

Треугольник АВС=

1)

С

Т.к.

И

А

АВС подобен

1

2

Спасибо за внимание

!!!!

Выход