Подобные треугольники

Подобные треугольники

Автор: Семенова Елена Юрьевна

МОУ СОШ № 5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Содержание

Пропорциональные отрезки

Подобные фигуры

Подобные треугольники

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сходственным сторонам другого.

?А =?а1 ; ?в =?в1; ?с =?с1

(1)

(2)

Подобные треугольники

?

?Авс ? ?а1в1с1

?А =?а1 ; ?в =?в1; ?с =?с1

K – коэффициент подобия

Отношение площадей подобных треугольников

Теорема

?

Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

?Авс ? ?а1в1с1

Дано:

Доказать:

K – коэффициент подобия

Доказательство:

Т.к. ?А =?А1 , то по теореме об

Отношении площадей треугольников

По формуле (2)

Свойство биссектрисы треугольника

Утверждение

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.

Н

D

?Авс

Дано:

AD – биссектриса АН – высота

2

1

Доказать:

Свойство биссектрисы треугольника

?

Т.к. ?АВD и ?АСD имеют общую высоту

Доказательство:

С другой стороны, эти же треугольники имеют равные

Углы (?1 =?2), поэтому

Из равенств (1) и (2) получаем

Ч.т.д.

Самостоятельная работа

Первый признак подобия треугольников

Теорема

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

?Авс; ?а1в1с1;

?Авс ? ?а1в1с1

Дано:

Доказать:

?А =?а1; ?в =?в1

Первый признак подобия треугольников

? ?С =?с1

?

Доказательство:

По теореме о сумме углов треугольника

С = 180° ? (?а +?в) с1 = 180° ? (?а1 +?в1)

Таким образом, ?А =?А1 ; ?В =?В1; ?С =?С1.

Тогда по теореме об отношении площадей треугольников

Из

Ч.т.д.

Второй признак подобия треугольников

Теорема

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

?Авс; ?а1в1с1;

?Авс ? ?а1в1с1

Дано:

Доказать:

?А =?а1;

Третий признак подобия треугольников

Теорема

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

?Авс; ?а1в1с1;

?Авс ? ?а1в1с1

Дано:

Доказать: