Презентация на тему «Решение тригонометрических уравнений»

Решение тригонометрических уравнений

Презентация к уроку алгебры и началам анализа в 10 классе, учитель математики Рахматулина Р.Р.

Леонард Эйлер

Швейцарец по происхождению, Леонард Эйлер прославил Петербургскую и Берлинскую академию наук, но наследие его принадлежит всему человечеству. Родился Эйлер 15 апреля 1707 года в Базеле в семье пастора. Начальное обучение прошел дома под руководством отца, закончил Базельский университет, затем был приглашен работать в создаваемую тогда Академию наук в Петербурге. Именно в России Эйлер становится первым математиком мира, 886 работ - таков итог научной деятельности Эйлера. Долгую и плодотворную жизнь жизнь прожил Эйлер. Россия стала для него второй родиной, более 30 лет проработал он в Петербурге. В России выросли пять его детей, 38 внуков. Потомки великого ученого и сейчас живут в нашей стране.Основы тригонометрии и ее символику изложил в своих трудах Эйлер, теперь этот раздел математики изучают школьники всего мира.

Эти древнегреческие ученые совместно с другими создали «тригонометрию»

Ф.Виет Птоломей Клавдий.

Тригонометрия – это чрезвычайно важный для жизни человека раздел математики. Тригонометрия - слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников Ещё древнегреческие математики, используя элементы тригонометрии для решения прямоугольных треугольников, фактически составляли и решали простейшие тригонометрические уравнения типа: sin x = a, где 0 < x < П/2 и |a| < 1. Исторически учение о решении тригонометрических уравнений формировалось с развитием теории тригонометрических функций, а также черпало из алгебры общие методы их решения Как мы видим, часть тригонометрических уравнений непосредственно решается сведением их к простейшему виду, иногда – с предварительным разложением левой части уравнения на множители, когда правая часть равна 0. В некоторых случаях удается произвести замену неизвестных таким образом, что тригонометрическое уравнение преобразуется в «удобное» для решения алгебраическое уравнение.

Устное решение

Вопросы для повторения • Что называется арксинусом, арккосинусом, арктангенсом числа? Привести пример. •Для каких чисел определен арксинус, арккосинус, арктангенс числа? Привести пример. •Какие знаете формулы нахождения корней простейших тригонометрических уравнений: Sin x = a; Cos x = a; tg x = a?

1.Вычислить:

2.Решить уравнения:

cos x = s in x = 1/2 sin x = - tg x = 2 cos x/2 = 3 sin 2x = - 1 tg ( - 3x) = 1 ctg x = 0 ctg ( - x/4) = 0 sin x = -2

arccos arccos(- arcsin arcsin(- arcctg arctg

Ответы:1) п/6; 3п/4; п/6; -п/3; п/3; п/3 2)±п/4+2пк; (-1)?•п/6+пк; (-1)?+?•п/3+пк; arctg2+пк; корней нет; -п/4+пк; - п/12+пк/3; п/2+пк; 2п+4пк; корней нет.

.

.

2 вариант 1) sinx =1/2

а) (-1)?+пк; б) (-1)?•п/6+2пк; в) (-1)?+?•п/6+пк; г)п/6+2пк;кєz 2)tg x/2 =- а)7п/3; б)3п/6; в) 5п/6; г)4п/3 3)sin4x cos2x – cos4x sin2x = 0 a)п/2•n; б) (-1)?•п/6+пn; в)±п/4+пn; г) (-1)?•п /3+2пn;nєz 4) sin(п- x)-cos(п/2+x)= a)(-1)? •п/3+пn; б)(-1)?•п/6+пк; в)±п/3+2пr; г)±п/6+2пm ; n,к,r,mєz

1 вариант. 1) sinx = 1 a) x = - п/4 ; б) х = п + 2пn ; в) х = - п+4пn г) х = п /2 + 2пn;nєz 2) cos0,5x = -1 a) x = 3п+4пn ; б) х = 2п+4пn; в) х =п+2пn; г) х = п/2+пn/2; nєz 3) cos? +sin? = - ? a) пn; б) п/2+2пn; в) – п/6+2пn; г)±п/3+пn ; nєz 4)sin(x- п/2) = -1 a) – 5п/6+2пк; б) – п/6+2пк; в) – п/6+пк; г)5п/6+2пк; кєz

Вариант

1з

2з

3з

4з

1

Г

Б

Г

В

2

А

В

А

А

За 4 правильно решенных теста выставляется оценка «5», за 3 – «4», за 2 – «3».

(sin 3x+cos 3x)

= 1 + cos 3x

3 sin?2x + 7 sin 2x +2 = 0

Sin2x=t, 3t?+7t+2=0; а=3 Д=в?-4ac=49-24=25 в=7 t=-2; t=-1/3 с=-3 При t=-2 Sin2x=-2 не имеет решений, При t=-1/3 Sin2x=-1/3; 2x=(-1)?•arksin(-1/3)+?n;nєz 2x=(-1)?+?•arksin1/3+?n; X=(-1)?+?•arcsin1/3 /2 +?n ;nєz

Sin ? 3x+2 sin3x cos3x+cos ?3x=1+cos3x; 1+2 sin3x cos3x-1-cos3x=0; Cos3x•(2sin3x-1)=0; Cos3x=0 или 2sin3x=1; 3x=п/2+пn; sin3x=1/2; X= п/6+п/3•n; 3x=(1)?•arcsin1/2+пк x=(-1)?•п/18+п/3•к Ответ: ( п/6+п/3•n;(-1)?•п/18+п/3•к)n‚кєz

Домашнее задание: 1. cos 2x +cos

x = (sin?x)/2; 2. sinx +sin2x = cosx+ 2 cos?x; 3. sinx + sin2x +sin3x =0; 4. cos2x – 5sinx – 3 =0; 5. sinx – sin?x+cosx–cos?x = 0; 6. sin?x = 0,5sin2x + sinx; 7. 4sin?x = sin?/2; 8. 2(sin?2x +1)=sin(?- 8x)+6cos?2x. Четыре уравнения на выбор.

Используемые ресурсы: http://sferica

by.ru/history.html 2. Учебник «Алгебра и начала анализа», А.Н. Колмогоров. 3. Лекции дистанционного курса «Первое сентября» по теме «Решение тригонометрических уравнений». 4. «Сборник задач по математике»,издательство «Лицей»1998г., автор А.А.Молчалин. 5.Сборник заданий и методических рекомендаций «Математика ЕГЭ»,Ю.А.Глазков,И.К.Варшавский и др. 6. http://lyceum-hlevnoe.my1.ru/load7. 7. http://old.mitht.ru/rus/rstudios.htm. 8. http://matan.alpol.ru/persons. 9.http://wiki.vspu.ru/doku.php?id=workroom:sinus:index.