Стереометрия
<<  Стереометрия Задачи на построение Базовые задачи по стереометрии  >>
С2
С2
Теория
Теория
•
•
•
•
?
?
?
?
•
•
Ао = 2
Ао = 2
13
13
?
?
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
А
А
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного
Итоговый обобщающий к С 2
Итоговый обобщающий к С 2

Презентация: «С2. Стереометрия на ЕГЭ». Автор: . Файл: «С2. Стереометрия на ЕГЭ.pptx». Размер zip-архива: 454 КБ.

С2. Стереометрия на ЕГЭ

содержание презентации «С2. Стереометрия на ЕГЭ.pptx»
СлайдТекст
1 С2

С2

Стереометрия на ЕГЭ

С анимацией

В формате 2010

Решение

Задач

Готовимся к ЕГЭ, формат 2010

2 Теория

Теория

Тематика задач

• С

• В

Основные понятия -

Прямая а лежит в ? ,

B пересекает

? в точке В

. С ii а в плоскости ?

* Угол между а и b :

* Расстояние между а и b -

С

В - точка ребра

3

- Скрещивающиеся:

* Угол между прямой и плоскостью

* Двугранный угол - ребро с,

А

?

через точку В.

АВ проекция прямой ВС на плоскость

* угол между прямой и её проекцией - АВС

* СА - расстояние от точки С до плоскости.

Их общий перпендикуляр.

Усвоение условия задачи !

* Линейный угол.

Далее задачи с решениями.

Первое, что нужно -

3 •

• Р

План решения *** Вычисления самостоятельно

Второй способ с построения угла между скрещивающимися прямыми:

Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению.

4

Угол между скрещивающимися прямыми

M

D?

Т

С?

И BD? -

Ак

Скрещивающиеся прямые

Построение угла между ними - искомого косинуса:

В?

А?

К

Найдём стороны ?АМК и т. косинусов для МК…

D

С

1

В

А

? мак. МК? = АМ? + АК? - 2 АМ ? АК ? cos МАК

1

1

№1. В кубе A…D? точка К - середина рёбра А?В? . Найдите косинус угла между прямыми АК и ВD?.

- Дают единственную плоскость.

1) Прямая BD?

и точка А

2) В этой плоскости проводим АМ параллельно BD?.

Выход на ? МАК.

3) Угол МАК - ИСКОМЫЙ !

Ваши предложения решения? И решаем (ребро куба 1)

а) АК в ? АА?К

1

1/2

б) АМ (?АМD?) = ВД? (? АD?В)

или в ? ВД?D , проведя ВD,

или ?ВD?С?.

в) МК - вынесенный чертёж:

? МКТ - по т. Пифагора

Ответ: ?15/15

- Дают единственную плоскость.

и точка В

2) Прямая АК

В этой плоскости проводим ВР параллельно АК.

Выход на ? D?ВР ? D?Р

Угол D?ВР - ИСКОМЫЙ !

Решение аналогично (вынесенный чертёж )

? D?Р в ? А?D?Р

1/2

4 •

• Р

Кликнуть. Внимательно следить по чертежу за непрерывной анимацией . *** (план решения, вычисления самостоятельно)

Решение (схема), пусть ребро куба 1.

Рм (?ркм)

(0,8 и 3?5/5)

Вм - ? мр - ? вр - ?

5

Угол между скрещивающимися прямыми

D?

С?

M

К

А?

В?

1). На АК берём точку А.

2). Прямая ВР и точка А дают плоскость.

3). В этой плоскости проводим прямую АМ II ВР.

4). Искомый угол МАК.

5). Выходим на ? МАК.

С

D

А

В

В?

2. ВР (см. рис.) в ? ВРС? (сначала ВС? в ? ВСС?).

В?

МР? = ВМ? + ВМ? - 2 ВМ ? ВР ? cos МВР ?

Cos МВР

№ 2. В кубе A…D? точки К и Р - середины рёбер соответственно А?В? и В?С?. Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР. № 3. К, Р -середины А?В? и D?С?.

АК и ВР - скрещивающиеся , угол между ними - ГЛАВНОЕ в задаче!

Сначала самостоятельно

Ам

? аа?м

Cos МАК

Мк

? мак

? а?мк

Ак

? аа?к

Р

D?

С?

Р

С?

D?

М

К

А?

1. ВМ = АК в ? АА?К

D

С

С

3. РМ - вынесенный чертёж:

М

А?

К

А

В

Прямая АК и точка В ? плоскость, в ней

ВМ параллельно АК ? искомый угол в

? мвр.

- Ответы №№ 2, 3.

прямоугольные по т. Пифагора

по теореме косинусов МК? = АМ? + АК? - 2 АМ ? АК? cos МАК

Теорема косинусов

5 •

Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению.

6

Угол между скрещивающимися прямыми

Точка М – середина ребра АD куба АВСDА?В?С?D?. Найдите угол между прямыми С?М и В?С.

Помните! Сколько бы Вы не рассматривали готовых и Вам хорошо понятных решений - решать не научитесь до тех пор, пока не решите задачу САМОСТОЯТЕЛЬНО. Сначала сами, не получается, смотрите, закройте, решайте

№ 4.

Прямая В?С и

- Единственная плоскость.

точка С?

прямой МС?

||

в ? М С?К.

Искомый -

Угол МС?К

В этой плоскости -

В?с.

С?к

1)

в ? С?СК

С?к

по т. Пифагора

?2 (ребро куба за 1).

2)

проекцию МС,

, Проведя

по т. Пифагора.

в ? МС?С

Мс?

К

по т. Пифагора.

Сначала МС

Вынесенный чертёж :

в ? МСD

С

К

В

?5/2.

Мс =

Мс?

= 3/2.

Р

Провести С?Д и по т. Пифагора в ? МС?Д.

Как ещё можно найти МС? ?

3)

В ? мкр

Мк

= ?13/2.

А

Р

D

Нашли все три стороны ? МС?К ,

к т. косинусов для МК:

MC?K

Cos

С?к?

С?к? -

2 с?м?

С?м? +

Мк? =

Подставим МК, С?М, С?К.

MC?K =

?2/6.

Сos

arccos (?2/6).

Угол MC?K =

1

1/2

1

6 •

?

Угол КВР, cos BKP - ? ? КВР

?

?

?

Вынесенный чертёж После появления чертежа кликнуть и следить за появлением данных на рисунках

1). Рк - ?

Cos TAK - ?

7

Угол между скрещивающимися прямыми

С?

Р

D

К

А?

В?

1

Р

С

К

В

А

В?

РК? = ВР? + ВК? - 2 ВР? ВК? cos КВР

Кликнуть . Следите за построением угла, дополнительными построениями, нанесением данных. (Обоснования Ваши !)

Прежде сами решите. Затем посмотрите.

1

1

5. В правильной треугольной призме А…С? , все рёбра которой равны 1, точки D и Р – середины рёбер соответственно А?В? и В?С?. Найдите косинус угла между прямыми АD и ВР.

Прямая АD и точка В в одной плоскости. Продлим плоскость и в ней проводим ВК || АD .

Стороны по 1.

Рк? = 3/4

Ответ: 0,7

? вв?р

Вр вк рк

Нанесём данные на чертежах

по т. Пифагора

По т. Косинусов

? квр

Cos КВР

? вв?к

? кв?р

6. В правильной четырёхугольной пирамиде МАВСD, все рёбра которой равны 1, точки К и Р середины рёбер соответственно МВ и МС. Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР.

1). ? ТАК : АТ = ВР = АК легко находятся

в равных ? ВРС или ? АКВ.

К

2). Чтобы применить т. косинусов в ? ТАК,

D

решение сводится к определению ТК.

3). Для этого выполним вынесенный чертёж:

ТК по т. Пифагора в ? ТРК

В ? ТАК по т. косинусов ТК? = АТ? + АК? - 2 АТ? АК ? cos ТАК.

Ответ: 1/6 .

120?

60?

1/2

Е

1/2

1/2

1/2

1/2

7 ?

?

?

8

Угол между скрещивающимися прямыми

Р •

К •

• М

В?

1

3) Угол РВМ - искомый

Е

1

• М

3) Угол C?FМ - искомый

FC? ( ? FCC?), проведя CF.

• М

№ 7-8. В правильной шестиугольной призме А…F? все рёбра равны 1.

1/2

вынесенный чертёж И данные на чертежах

1) ак

? Плоскость.

и В

2) вм ii ак.

Выход на ? РВМ.

ВР (? ВВ?Р), ВМ ( ? ВВ?М) прямоугольные.

План решения – сначала ВАШ (вычисления самостоятельно)

РМ - ? и т. косинусов в ?РВМ !

РМ? = ВР? + ВМ? -2 вр?вмcos РВМ

7) Точки К и Р середины рёбер соответственно A?B? и B?C?

Немного о правильном 6 - угольнике

Найдите косинус угла между прямыми АК и ВР.

1) аf?

? Плоскость.

И F

вынесенный чертёж И данные на чертежах

2) fм ii аf?.

4) Выход на ? C?FМ.

FM = AF? ( ? AF?F),

План решения – сначала ВАШ (вычисления самостоятельно)

1

1

С?М - ? и т. косинусов !

С?М? = C?F? + FМ? -2 c?fр?fмcos РВМ

8) Найдите косинус угла между прямыми АF? и FC?.

1/2

1/2

120?

1/2

Ответ: 0,9

С?

D?

В?

Е?

А?

F?

С

D

120?

В

Е

А

F

Ответ: 90?, т.к. Cos C?FM = 0

8 ?

?

?

Рациональный способ решения с построения угла между скрещивающимися прямыми

Укажите плоскость, проходящую через одну из прямых и точку другой прямой. В этой плоскости через взятую точку провести прямую, параллельную взятой прямой. Получаем – угол между скрещивающимися прямыми - по определению.

9

Угол между скрещивающимися прямыми

Описание построения по условию задачи Вынесенный чертёж План решения ( следите, данные появляются на рисунках)

?2

3) Угол D?FК - искомый

?3

D?К? = FD?? + FK? - 2 FD? ? FK ? cos D?FK (? D?FK).

Проведём СD? !

Угол CD?F.

Получим угол между скрещивающимися АF? и FD? !

Выходим на ? СD?F, проведя FC.

FC? = D?С? + D?F? - 2 D?С ? D?F ? cos СD?F.

№ 9. В правильной шестиугольной призме А…F? все рёбра равны 1.

Найдите косинус угла между прямыми AF? и FD?.

? Плоскость.

И F

1) аf?

2) fk ii аf?.

2

2

4) Выход на ? D?FK.

2

1

FK ( ? FF?K).

1

FD? ( ? FF?D?), проведя F?D?.

1

2

D?К - ? и т. косинусов !

Вынесенный чертёж

1

Ответ: 45?

Немного подумав и проявив внимательность, можно справиться с задачей значительно проще !

(CD? II AF? и имеет общую точку с прямой FD? )

К •

С?

D?

Е?

В?

С

D

К

Е

F?

А?

9 •

Cos D?КТ = 0

Угол между скрещивающимися прямыми (прямые выделены разным цветом).

• N

• М

•Т

К •

Угол DАР - ?

Расстояние между скрещивающимися прямыми - их общий перпендикуляр *

10

• D?

24

и прямая СВ

Точка А

? Плоскость.

90?

Вышли на ? АDР.

Или на ? КD?Т.

10

Данные на чертеже, и т. косинусов.

Найти бы D?Т.

• Е

№ 10*.

Ребра АD и BC пирамиды DABC равны 24 см. и 10 см. Расстояние между серединами рёбер ВD и АС равно 13 см. Найдите угол между прямыми АD и ВС.

Чертёж и данные по условию.

Р

13

Угол DАР.

Ар ii cb.

В этой плоскости (в основании) через А прямую

13

10

Дополнительные построения

Kt ii cв,

точки М и Т – середины!

Достроим до параллелограмма.

Найдём D?Т.

Ке? + d?т? = 2?кd?? + 2?кт?.

D?т? = 676.

D?Т? = КD?? + КТ? - 2 КD? ? КТ cos D?КТ.

Теорема косинусов

Вынесенный чертёж

В пирамиде DАВС известны длины рёбер: АВ = АС = DВ = DС =10, ВС = DА = 12. Найдите расстояние между прямыми АD и СВ.

№ 11.

10

Данные по условию.

Пирамида.

? Сdв

? CАВ и

Отметим , что:

То их высоты к СВ- ?

Общее

Равные !

Равнобедренные !

10

Св.

Основание

12

Да - !

Заметим:

Н и равны

В одной точке

Ан.

Пересекаются

DН и

- Высоты

? Аdн

АD и

Нр -

Высота

Равнобедренный.

Св.

Общий

6

Нр - ?

(CВ перпендикулярна АН и DН, то и РН – признак)

10

12

Главное -

Указали,

Между скрещивающимися прямыми.

Расстояние

6

Решение:

в ? АНС по т. Пифагора.

Ан = 8

10

Нр = 2?7

в ? АРН по т. Пифагора.

10 •

?

В кубе АВСD А?В?С?D? все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой ВD?. ? 2/3

11

До прямой

Расстояние от точки

Перпендикуляр к ним

(До плоскости) -

Из этой точки !

В правильной треугольной призме АВСА?В?С? высота равна 1, а ребро основания равно 2. Найти расстояние от точки А? до прямой ВС?.

С?

А?

В?

С

А

В

D?

С?

А?

В?

D

С

А

В

№ 12.

Призма правильная.

2

2

плоскость А?С?В.

Единственную

Прямая ВС? и

Определяют

точка А?

Искомое

Расстояние -

А?к

Вс? ,

т.е. А?К высота ? А?С?В

Равных

Боковых граней

Правильной призмы.

Диагонали

Заметим

Ва? -

Вс? =

1

1

5

по т. Пифагора:

Находим их в ? АА?В

5 .

Чтобы найти

А?К , сделаем

Вынесенный

Чертёж:

2

1

1

А?

С?

Проведём высоту

Вн,

то в ? А?НВ.

Вн = 2 .

Чертёж к задаче 12а после самостоятельного решения непрерывная анимация

Искомое А?К

? А?с?в ,

Тоже высота

Часто применяется

5

5

2

S ? A?C?B :

Помогут две формулы

А?с? ·

1/2

Вн =

А?к .

Вс? ·

Умножим на 2, подставим:

1/2

В

2 =

2 ·

А?к

· А?к .

= 0,8

= 4/

5 .

5

5

№ 12 - а.

Подсказка

Пробный в Подмосковье, март 2010

11 Ао = 2

Ао = 2

12

Перпендикуляр к ним

(До плоскости) -

Из этой от точки !

До прямой

Расстояние от точки

Ребро пирамиды DАВС перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей через Середины рёбер АВ, АС и АD, если АD = 2 ?5, АВ = АС = 10, ВС = 4?5

АD перпендикуляр АВ и АС.

К, М и Р

- Середины рёбер.

До которой надо найти расстояние

Плоскость КМР,

так как наклонные КМ и КР

? МКР - равнобедренный,

- Половины равных сторон.

Проведём КН –

Ан –

Ан

Ао

Кн

5

Ао · 5 = ?5 ·

№ 13.

D

от вершины А.

2?5

К •

10

Ам = ар = 5,

Точки - середины, то

Данные по условию.

Мр = 2?5,

Ка = ?5 .

Р •

Покажем искомое расстояние на чертеже.

? Мкр

- Равнобедренные,

и ? МАР

• О

4?5

?5

с общим основанием МР.

2?5

• Н

5

2?5

?5

Проекции

• М

Равные

АМ и АР

Имеют

10

5

высоту ? КМН,

Где МН = ?5,

Н - середина МР.

? Амн

высота ? АМН - равнобедренный

?

от А до пл. КМР.

- высоту к КН

- Это искомое расстояние

Проводим АО в АКН

5

Т. к. МР

(По признаку),

пл. ? АКР

то МР

Ао

Н

?5

5

Ан = 2?5,

В ? амн.

? Амн

О

? Акн

5

?5

? Акн

2?5

Р е ш е н и е:

Прямоугольный

по т. Пифагора

Прямоугольный

Прямоугольный

Ао · кн = ак · ан

(Из формул площади)

по т. Пифагора

12 13

13

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость

?

5

5

5

2?2

2?2 : 5.

2?2

№ 14.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА?В?С?D? найдите угол межу Плоскостью АА?С и прямой А?В , если АА? = 3, АВ = 4, ВС = 4.

Параллелепипед,

Квадрат (по условию).

В основании

прямая А?В.

плоскость АА?С?С ,

Угол межу ними -

на пл. АА?С?С.

И её проекцией

прямой А?В

Это угол между

3

Перпендикулярны.

Диагонали

АВСD - квадрат (по условию),

Ас.

А?о

Во

(По т. О 3-х перпендикулярах) ?

Во

пл. АА?С?С

Во

(Признак перпендикулярности прямой и плоскости).

4

А?О проекция А?В на плоскость АА?С?С .

Угол ВА?О -

Искомый

4

? Ва?о

Прямоугольный,

Ва?о -

Определение синуса

(Во :

А?в).

1. А?в

в ? ВА?А

по т. Пифагора,

в ? АВD

2. Во

? Вd

по т. Пифагора,

3. Sin ВА?О =

Во :

А?в =

Ва?о =

arcsin 0,4?2.

№ 15.

Ответ

Пусть М Є АВ, К Є В?С? .

Ответ: 0,6.

В прямоугольном параллелепипеде АВСDА?В?С?D? , у которого АА? = 4, А?D? = 6, С?D? = 6, найдите тангенс угла между плоскостью АDD? и прямой МК, проходящей через середины рёбер АВ и В?С?.

Самостоятельно. Ответ. Затрудняетесь. Кликнуть план решения.

Искомый угол -

- как и между МК и пл. ВВ?С?С. - ?

Вкм.

ВК - проекция МК на плоскость ВВ?С?С. ?

В ? ВКМ (прямоугольный),

Tg ВКМ = ВМ : ВК.

В?

С?

А?

D?

С

В

А

D

А?

В

О

(Ориентир при решении - рис. Параллелепипеда к задаче № 14)

13 ?

?

В прямом круговом цилиндре диаметр нижнего основания АВ = 6, точка С - середина дуги АВ, высота цилиндра АК равна 6. Найти угол между прямой АК и плоскостью КВС.

14

Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и её проекцией на плоскость

?

16.

16. В основании прямой призмы АВСА?В?С? лежит прямоугольный треугольник АВС, угол С = 90?, угол А = 30?, АС = 10 ?3. Диагональ боковой грани В?С составляет угол 30? с плоскостью АА?В?. Найдите высоту призмы.

30?

и плоскостью АА?В?В.

Нужна

прямой В?С

Укажем угол между

Н

Из точки С проводим

АВ , то

Сн

проекция В?С на эту плоскость!

5 ?3

пл. АА?В?В

Нв?с = 30?.

Вв? -?

Нв?.

Значит

Сн

Сн

, Т. К. Призма прямая.

Ас = 10 ?3

Сн

= 5 ?3,

?Нв?с

В?с

Сн

?Анс

В?с=10?3.

Вв?

?Вв?с

= 10.

?Авс

Вс

Вс

- Ответ.

Вв? = 10?2

№ 17.

Казань. Февраль 2010. В прямом круговом цилиндре диаметр нижнего основания AB равен 8 , точка C - середина дуги AB. Найдите высоту цилиндра AК, если угол между прямой AК и плоскостью КBC равен 30?.

Главное - указать угол между AК и пл. КBC.

Вынесенный чертёж основания :

На диаметр.

Вписанный и опирается

АСВ = 90?, т. к.

30?

Св

Кс

АС - проекция ДС ?

(Т. О 3-х перпендикулярах).

Пл. АКС

пл. КВС,

то угол АДС = 30? - по условию.

8

? АКС - прямоугольный с

АКС = 30? (по условию).

8

1. В ? АВС по т. Пифагора).

Ас = 4?2

Ак .

?3/3 = 4?3 : ак ,

tg 30? =

Ас :

2. ? АКС – по определению,

№ 18.

Ак = 12.

arctg ?2/2.

Решение аналогично,

Прямоугольный

Прямоугольный

Прямоугольный

НС против 30?

угол 30?? 2СН - ?

Прямоугольный

по т. Пифагора

По опред tg 30?

14 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

Провести перпендикуляры В точку ребра: в одной из граней – «принудительно» - выгодно для решения, в другой - «вынужденно» - из полученной точки на ребре. Получаем – линейный угол двугранного угла (между плоскостями) - по определению.

15

Задача С2 . Вариант 101 (пробный, март) Башкирия. В основании четырехугольной пирамиды МАВСД лежит квадрат АВСД со стороной (3?10)/5. Длина всех боковых ребер равна 3. точка К - середина ребра AМ. Через прямую ВК, параллельно диагонали АС проведена плос- кость. Определите величину угла между этой плоскостью и МAC.

, А = 45? .

Другой ракурс чертежа

№ 19.

М

Пересечение диагоналей,

Основание - квадрат,

Пирамида правильная.

Боковые рёбра по 3.

Высота,

Вершина,

Точка К -

середина АМ.

Прямая ВК.

3/2

имеют общую тоску К.

Плоскость МАС

И пересекающая её плоскость,

3

К

Н

По прямой,

проходящей через точку К.

Значит пересекаются плоскости

3/2

Р

||

||

плоскости ВКР

(По условию)

Ас

По признаку,

т. к. АС

Пусть - это КР

А

D

А

Двугранного угла

с ребром КР:

Строим линейный угол

(Вк = вр

В ? вкр

В равных гранях), и

Кр ,

проводим ВН

Н - середина

О

КР , т. е

Но

С

В

ВНО - искомый

в ? ВНО – прямоугольный.

ВО и НО равны

1)

Вd -

по т. Пифагора.

? Вd ,

в ? ВСD

Во =

2)

? Мо,

в ? ВМО

Но =

Мо -

по т. Пифагора.

15 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

• Р

Равен 2

16

- основания (А?В?С? II АВС).

(•) Р – середина,

АР = СР – наклонные,

- их равные ПРОЕКЦИИ.

АВ и ВС -

- Высоты

PD

И BD

– Линейный угол искомого двугранного угла.

PDB –

№ 20.

Основанием прямой треугольной призмы АВСА?В?С? является равнобедренный ? АВС, в котором АВ = ВС = 10, АС = 16. Боковое ребро призмы 24. Точка Р - середина ребра ВВ?. Найдите тангенс угла между плоскостями А?В?С? и АСР.

Призма.

Данные по условию.

(•) Р -

- Середина ребра .

Плоскость АСР.

Главное -

Указать

(Между плоскостями)

ЛИНЕЙНЫЙ угол

ДВУГРАННОГО угла

10

10

А?в?с?

и АСР .

16

Или всё равно,

и АВС

Что угол между плоскостями

Аср

24

6

Равнобедренных треугольников

Проведём

10

С общим основанием.

8

tg PDB =

PB :

DB

В ? DPB.

№ 21 – а, б.

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA?B?C?D? известны ребра: AB = 3, AD = 4, CC? = 4. Найти угол между плоскостями BDD? и AD?D?. ЕГЭ 2010. Кузбасс. 07.06.

В прямоугольном параллелепипеде FDCDA?B?C?D? известны ребра: АВ = 5, AD = 12, CC? = 3. Найти угол между плоскостями BDD? и AD?B?. ЕГЭ 2010. Кузбасс. 07.06.

Решение № 21 а на слайде 19.

В?

С?

А?

В

С

А

16 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

О •

О •

? АОD , tg АОD = АD : АО.

АО в ? АА?В:

из подобия ?АА?В и ? АОВ).

Ао : ав = аа? : а?в.

17

С?

В?

D?

А?

4

4

С

В

6

D

А

6

DD? = 4

Угол ?D?ОD

? d?оd

Tg АВD = DD? : ОD

? авd

Оd

В?

С?

D?

А?

6

С

В

4

Угол АОD - искомый линейный.

D

А

6

Tg АОD = (12?13):13

№ 22.

В прямоугольном параллелепипеде A … D?, у которого АВ = 6, ВС = 6, СС? = 4, найдите тангенс угла между плоскостями АСD? и А?В?С?.

1. Плоскости по условию задачи - А?В?С? и

Асd?.

2. Заметим, что искомый двугранный угол - всё равно , что угол с

ребром АС

- образованного АСD?

и АСД

(Основания параллельны).

3. По условию (данные на чертеже) - ? АСD? – равнобедренный:

АD? = D?С в прямоугольных ? АD?D и ? DD?С с катетами 6 и 4.

4. Высоты ? АСD и ? АD?С и образуют искомый линейный угол .

Прямоугольный определение tg

ВD по т. Пифагора ? ВD (АВСD квадрат)

Плоскости по условию

всё равно, что между АВА? и ВDА?

1. Двугранный угол между CDD? и BDA? -

2. Проведём в

перпендикуляр АО (высоту) к АВ.

3. DO - перпендикуляр к А?В (по т. о 3 - х перпендикулярах)

(А?В - перпендикуляр АО, то и к наклонной ДО)

В прямоугольном параллелепипеде A … D?, у которого АВ = 4, ВС = 6, СС? = 4, найдите тангенс угла между плоскостями СDD? и ВDА?.

№ 23.

2/3?2

17 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

18

В?

С?

В?d -

А?

D?

С

В

А

D

120?

№ 24.

Дан куб A… D? . Найдите угол между плоскостями АВ?С? и А?В?С.

1

1. Плоскости: ? АВ?С?

и ? А?В?С .

Их линия пересечения

1

Ребро искомого двугранного угла.

Этого двугранного угла.

2. Главное: построить линейный угол

На ребре В?D следует выбрать точку (удобную для решения),

в эту точку провести перпендикуляры к ребру В?D в гранях угла.

1

- Точка пересечение диагоналей куба

(•) О

С л е д у е т

В?о =

А?о =

С?о ?

? Оа?в?

? Ос?в?

Равнобедренные,

Равные.

Проведём А?Н

В?о ,

то и С?Н

В?о

(Высоты этих треугольников).

А?нс?

в ? А?НС?

- Равнобедренный.

- искомый ЛИНЕЙНЫЙ угол

Остаётся найти А?Н = НС?,

Вынесенный чертёж:

Затем и угол А?НС? по т. косинусов.

В?

К

А?

Диагональ куба

то ОА? = ОВ? = ОС? =

С?

НС? - по формулам S ?ОВ?С?:

? Ов? · нс? =

? Ок · в?с? ,

где ОК =

по т. Пифагора в ?ОВ?К.

Нс? =

Угол А?НС? по т. косинусов для А?С?:

О

1/2

1

18 А

А

А

А

А

19

В?

С?

А?

D?

С

В

1

А

D

120?

Диагональ куба служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через вершины В и D. Найдите величину этого угла.

№ 25.

Сравните с предыдущей задачей.

Она же - с другой трактовкой условия.

А?С – диагональ куба -

Ребро двугранного угла.

Для начала, предположим, что ребро куба равно 1. Тогда диагональ куба равна .

Плоскости через В и D, диагональ А?С - по условию: ?

Они равны по трем сторонам.

Рассмотрим ? A?CB и ? A?CD.

Опустим перпендикуляры - высоты к A?C из точек B и D.

Раз треугольники равны, их высоты тоже равны и попадают в одну точку H.

- Искомый линейный угол

Вно

№ 26.

В прямом параллелепипеде АВСDА?В?С?D? основанием служит ромб со стороной, равной а, угол АВС = 120. Через сторону ВС и вершину А? проведена плоскость, составляющая с плоскостью основания угол 45. Найдите площадь сечения.

45?

На основной чертёж:

DH

СВ, то и

D?H

Св

(Т. О 3 – х перпендикулярах)

Г

D?H = а

В ? d?нd ,

D?HD = 45?.

То DH = D?D =

S CD?A?B = а?

3

D?

А?

С?

В?

D

Вынесенный чертёж основания - ромб,

D

А

90?

Чтобы определиться с построением линейного угла.

А

С

120?

В

В

С

(по т. Пифагора)

19 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

20

Диагональное сечение BDD?B? .

Плоскость BDD? ?

Плоскость ADB? ?

D?B?

- Ребро искомого двугранного угла.

Линейный угол искомого двугранного угла:

А н

D?B? ?

Нк

D?B? ,

в ? АНК

Анк - ?

4

4

НК – известно,

Как равное боковому ребру.

Нк = 4.

Легко находится

Угол АНК

Знать бы АН или АК.

По определению

Тригонометрической функции

4

4

Вынесенный чертёж ? АД?В?

3

Площадь ? АD?В? (приём сравнения):

? Ad?? в?м =

Ан ?

? D?b? ? ан

?

Cos

Но сначала В?М:

АНК = arccos

Анк = нк :

Ан.

№ 21 – а. Со слайда № 15

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA?B?C?D? известны ребра: АВ = 3, AD = 4, СС? = 4. Найти угол между плоскостями BDD? и АD?В?. ЕГЭ 2010. Кузбасс. 07.06.

Это уже 1 балл из 2 возможных за решение задачи

К

Н

D?в? = 5, ? d?с?в?

Ав? = 5, ? ав?в

, ? Аа?d?

AD? =

В?м =

34

Прямоугольный

т. П И Ф А Г О Р А

5

М

5

20 Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

Угол между плоскостями – двугранный угол - линейный угол двугранного

угла

21

Параллелепипед.

Измерения.

Плоскости:

? Ав?d?

? Св?d?

Далее надо построить

Угла между плоскостями -

Линейный угол

в одну точку ребра В?D?.

Это перпендикуляр в каждой грани

? Ав?d?

? Св?d?

(В?D? - общая ,

Ав? ).

Высоты к общему основанию В?D?.

Не в одну точку.

но РАВНЫЕ !

В обоих случаях ближе к меньшей стороне,

Для построения

В плоскости

Линейного угла

??

Н?а

Н?к

? Ав?d? -

- Искомый,

Угол КН?С

По опред. Косинуса.

Можем найти сначала угол СН?Н

в ? СН?Н

Сн? !

Но надо знать

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA?В?С?D? известны три измерения AB = 12 , BC = 5, CC? = 7. Найдите угол между плоскостями CB?D? и АВ?D?.

№ 27.

И

Н?

Сн?

Проведём анализ по чертежу, заметив:

=

Н?

Сd? =

Аd? ;

Св? =

Да !

Равнобедренный

в ? КН?С -

(Равны)

Н

К

Диагонали

Стороны -

Вынесенный чертёж:

13

Н?

по т. Пифагора

Х

13 - х

Пусть Н?В? = Х, то

по т. Пифагора в 2-х треуг. СН? :

?193

?74

74 -

(13 – х)?.

193 -

Х? =

25/13,

Х =

В чём особенность задачи ? Кликнуть.

109/13,

? СН?В? по т. Пифагора:

Сн? =

Нн? : сн? =

Cos СН?Н =

в ? СН?Н

91/109.

7 : 109/13 =

Угол СН?Н =

arccos

91/109.

Угол КН?С =

2arccos

91/109.

D?

С?

А?

В?

7

D

С

12

5

5

12

А

В

D?

В?

С

Особенность задачи !!! Двугранный угол образован двумя равными треугольниками с общей стороной, но их высоты, хотя и рав- ны, не в одну точку. Что делали ?

21 Итоговый обобщающий к С 2

Итоговый обобщающий к С 2

Удачи на ЕГЭ!

22

ИСКОМОЕ (слайд 2)

«Ищи треугольник»

a-x

А

В

В

А

h

x

С

С

h?

В

В

h

А

Стереометрия

Главное -

Верно указать на чертеже

И план решения.

Это уже 1 балл из 2 возможных за решение задачи

Чертёж советуем выполнять

Этапами

Текста условия,

Что помогает

Поиска пути решения задачи.

Прогнозу

Планиметрия

Если определить

Используйте

ТРИ любых

Принцип

Элемента треугольника, -

Разрешима любая задача !!!

Часто встречаются

«Классические»

Задачи:

Разносторонний

Чтобы найти ЛЮБОЙ угол ?,

Чтобы найти ЛЮБУЮ высоту ?,

хорошо знать ТРИ стороны.

хорошо знать ТРИ стороны.

Применить т. косинусов.

Уравнение: по т. Пифагора

в двух ?, введя Х

А? = в? + с? - 2вс?cos ?

или ? аh = S по формуле ГЕРОНА

Равнобедренный

Чтобы найти ВЫСОТУ к БОКОВОЙ стороне ?,

Хорошо знать стороны.

Высоту к основанию,

найти её по т. Пифагора.

Уравнение:

? h

? В h = ? а h?

«С2. Стереометрия на ЕГЭ»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/s2.-stereometrija-na-ege-77559.html
cсылка на страницу

Стереометрия

15 презентаций о стереометрии
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды