Правильный многогранник
<<  Симметрия в пространстве понятие правильного многогранника Правильные многоугольники и многогранники  >>
Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее
Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее
L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow
L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow
Итак, что же такое правильный многогранник
Итак, что же такое правильный многогранник
Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal
Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal
K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра
K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра
Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А
Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А
Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера
Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера
Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) =
Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) =
БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH — геометрическая модель
БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH — геометрическая модель
Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее
Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее
Лавренченко Lawrencenko
Лавренченко Lawrencenko
Теорема (С
Теорема (С
Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была
Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была
На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в
На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в
1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс
1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс
Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:
Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:
Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном
Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном
Открытые вопросы
Открытые вопросы
Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в
Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в
Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный
Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный
Спасибо за внимание
Спасибо за внимание

Презентация: «Северный полюс 6 класс». Автор: . Файл: «Северный полюс 6 класс.ppt». Размер zip-архива: 370 КБ.

Северный полюс 6 класс

содержание презентации «Северный полюс 6 класс.ppt»
СлайдТекст
1 Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее

Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее

приложения" Мехмат МГУ, 4 февраля, 2010 г. Новый правильный многогранник Сергей Александрович Лавренченко (С. А. Л.) lawrencenko.ru

2 L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow

L. Carroll, The mathematical recreations of Lewis Carroll: pillow

problems and tangled tale (4 ed.), Mineola: Dover, 2003. Еще в XIX-м веке Льюис Кэрролл писал: «Правильные многогранники вызывающе малочисленны, и было бы безнадежным делом искать какие-либо связанные с ними вопросы, которые не были бы уже исчерпывающе проанализированы…» Однако при этом он добавлял: « Но, кажется, еще есть возможность изобрести другие такие многогранники…» Один такой многогранник удалось построить.

3 Итак, что же такое правильный многогранник

Итак, что же такое правильный многогранник

Что касается 2-мерных многогранников в евклидовом n-мерном пространстве, примем такое определение. Определение. Правильным многогранником будем называть многогранник, полная группа симметрий которого вершинно-, реберно-, гранево- или флагово-транзитивна. В зависимости от степени транзитивности, многогранник будет называться, соответственно, вершинно-правильным, реберно-правильным, гранево-правильным или флагово-правильным.

4 Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal

Абстрактный Тороидальный Гексадекаэдр ATH (Abstract Toroidal

Hexadecahedron) — комбинаторно-топологический объект — правильная триангуляция тора с 8 вершинами и 16 гранями. Свойства: ? Каждая грань ATH — треугольник и степень каждой вершины равна 6. ? Граф G (ATH) изоморфен 1-скелету 4-мерного гипероктаэдра, т.е. полному ? 4-дольному графу K_{2,2,2,2}.

5 K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра

K_{2,2,2} — граф обычного 3-мерного октаэдра

K_{2,2,2,2} — граф 4-мерного гипероктаэдра.

K_{2,2,2,…,2} — граф n-мерного гипероктаэдра.

N раз

4-мерный гипероктаэдр, также называемый гексадекахороном, ограничен 16-ю правильными тетраэдрами. У него 32 треугольные грани, 24 ребра и 8 вершин. Его 24 ребра ограничивают 6 квадратов, лежащих в 6 координатных плоскостях. Его восемь вершин следующие: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1). Все вершины соединены ребрами, кроме противолежащих пар.

6 Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А

Все автоморфизмы триангуляции ATH найдены при помощи компьютера: С. А

Л., Перечисление в явном виде всех автоморфизмов неприводимых триангу- ляций тора и всех укладок на тор помечен ных графов этих триангуляций. Харьков, 1987. – 57 с., Деп. в УкрНИИНТИ 01.10.87, № 2779 – Ук87. ?_1 = id (тождественный) ?_2 = (35) (47) ?_3 = (28) (34) (57) ?_4 = (28) (37) (45) ?_5 = (12) (47) (68) ?_6 = (12) (35) (68) ?_7 = (1268) (3457) ?_8 = (1268) (3754) ?_9 = (13246587) ?_10 = (13876524) ?_11 = (13) (27) (48) (56) ?_12 = (1365) (2784) ?_13 = (14) (23) (58) (67) ?_14 = (1467) (2385) ?_15 = (14256783) ?_16 = (14836725) ?_17 = (1563) (2487) ?_18 = (15) (24) (36) (78) ?_19 = (15846327) ?_20 = (15276384) ?_21 = (16) (34) (57) ?_22 = (16) (37) (45) ?_23 = (16) (28) ?_24 = (16) (28) (35) (47) ?_25 = (17856423) ?_26 = (17236485) ?_27 = (1764) (2583) ?_28 = (17) (25) (38) (46) ?_29 = (1862) (3457) ?_30 = (1862) (3754) ?_31 = (18) (26) (47) ?_32 = (18) (26) (35)

7 Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера

Группу Aut (АТH) можно определить и без компьютера

Эта группа вершинно- транзитивная, потому что в ней есть единый циклический сдвиг всех вершин: ?_20 = (15276384). Подгруппа Shift = <?_20> ? Z_8. С другой стороны, стабилизатор каждой вершины есть подгруппа изоморфная Z_2 ? Z_2. Например, стабилизатор вершины 8, есть подгруппа Stab = <?_2, ?_22> ? Z_2 ? Z_2, порожденная 2-мя инволюциями ?_2 = (35)(47) и ?_22 = (16)(37)(45).

8 Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) =

Таким образом, группа Aut (АТH) может быть порождена так: Aut (АТH) =

<?_2, ?_22, ?_20> = (Z_2 ? Z_2) Z_8, где Z_2 ? Z_2 и Z_8 — как указаны на предыдущем слайде, причем произведение на Z_8 не является прямым. Таким образом, |Aut (АТH)| = |Shift| ? |Stab| : |Shift ? Stab| = 8 ? 4 : 1 = 32.

9 БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH — геометрическая модель

БипирамидальныйТороидальный Гексадекаэдр BTH — геометрическая модель

ATH в E? С. А. Л., Все неприводимые триангуляции тора реализуются в E3 в виде многогранников, манускрипт, Мехмат МГУ (1983). Эта работа была выполнена под руко- водством профессора И. Х. Сабитова и заняла 2-е место в конкурсе научных студенческих работ за 1983 год, Мехмат МГУ. ? Экватор у BTH

10 Десятый международный научный семинар "Дискретная математика и ее
11 Лавренченко Lawrencenko

Лавренченко Lawrencenko

Rou (по-японски, читается «Ло») Lao (по-китайски, читается «Лао»)

12 Теорема (С

Теорема (С

А. Л.): В евклидовом 4-мерном пространстве существует 2-мерный многогранник с 8 вершинами и 16 треугольными гранями без самопересечений, который одновременно вершинно-правильный и гранево-правильный. Этот многогранник будет называться правильным тороидальным гексадекаэдром И обозначаться RTH (Regular Toroidal Hexadecahedron).

13 Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была

Доказательство: Вершинная транзитивность группы Aut (ATH) была

показана выше. Чтобы показать ее транзитивность на гранях, достаточно ограничиться гранями, инцидентными какой-нибудь одной вершине, скажем, вершине 8. Непосредственной проверкой можно убедиться, что любую грань, инцидентную вершине 8, можно перевести в любую такую грань комбинациями автоморфизмов ?_2, ?_22, ?_20 (образующих группы). Реализуем теперь триангуляцию ATH в E^4 геометрически (без самопересечений).

14 На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в

На рисунке справа — экватор BTH переложен из 2-пространства в

3-пространство в геометрически симметричном виде, как 2-мерный подкомплекс октаэдра. Затем к координатам каждой вершины добавили четвертую координату w = 0, тем самым поместив экватор уже в 4-пространство. Две остающиеся вершины, 1 и 6, располагаются на четвертой координатной оси Ow и имеют координаты (0, 0, 0, 1) и (0, 0, 0, -1), соответственно.

15 1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс

1 (0, 0, 0, 1) — северный полюс 6 (0, 0, 0, -1) — южный полюс

ATH реализовывается как подкомплекс 2-мерного скелета 4-мерного гипероктаэдра в 4-мерном евклидовом пространстве. Его восемь вершин: (±1, 0, 0, 0), (0, ±1, 0, 0), (0, 0, ±1, 0), (0, 0, 0, ±1).

16 Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:

Вспомним, что Aut (АТГ) порож- дается тремя автоморфизмами:

_2 = (35) (47), ?_22 = (16) (37) (45), ?_20 = (15276384) и соответственно представима в 4-пространстве дискретной группой движений, порожденной следующими ортогональными матрицами: A_2 = A_22 = A_20 = ? 1 0 0 0? ? 1 0 0 0? ? 0 0 1 0? ? 0 -1 0 0? ? 0 0 -1 0? ? 1 0 0 0? ? 0 0 -1 0? ? 0 -1 0 0? ? 0 0 0 1? ? 0 0 0 1? ? 0 0 0 -1? ? 0 -1 0 0?

1 (0, 0, 0, 1) и 6 (0, 0, 0, -1)

17 Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном

Таким образом, группа Aut (ATH) точно представима в 4-мерном

пространстве дискретной группой движений, порожденной этими тремя ортогональными матрицами, т.е. группой Sym (RTH). Таким образом, группа Sym (RTH) вершинно- и гранево-транзитивна, как и группа Aut (ATH). Теорема доказана.

18 Открытые вопросы

Открытые вопросы

Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в (евклидовом) пространстве размерности 4 ? ? А в пространствах высших размерностей? ? Существуют ли в 3-мерном пространстве правильные многогранники топологических типов, отличных от сферы? Гипотеза: Нет.

19 Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в

Существуют ли другие правильные 2-мерные многогранники, кроме RTH, в

пространствах размерностей ? 4 ? В частности, реализуется ли правильная триангуляция тора с полным графом K_7 в виде правильного многогранника в евклидовом пространстве высшей размерности?

«В огромном саду геометрии каждый найдет букет себе по вкусу.» (Давид Гильберт)

20 Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный

Построенный многогранник RTH вершинно- и гранево-правильный

Таким образом, он более правильный, чем полуправильные многогранники. Потому что у полуправильных многогранников уже два или более классов конгруэнтности граней. Например, у Архимедовых многогранников два таких класса. RTH же имеет только один такой класс. Однако RTH менее правильный, чем флагово-правильные Платоновы многогранники, потому что группа Aut (ATH) не является реберно-транзитивной.

21 Спасибо за внимание

Спасибо за внимание

«Северный полюс 6 класс»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/severnyj-poljus-6-klass-173744.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды