Презентация на тему «Сфера и шар»

Сфера и шар

Сфера и шар, так же как окружность и круг, рассматривали еще в

глубокой древности. Открытие шарообразности Земли, появление представлений о небесной сфере дали толчок к развитию специальной науки – СФЕРИКИ, изучающей расположенные на сфере фигуры. Автором первого сочинения о «сферике» был математик и астроном Евдокс Книдский (ок.408 – 355 до н.э.).

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства,

находящихся на расстоянии, не большем данного (радиус шара), от данной точки (центр шара).

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, удалённые от центра на расстояние, равное радиусу.

т.О – центр сферы; R – радиус сферы; АВ – диаметр сферы – отрезок,

соединяющий две точки сферы и проходящий через её центр. А, В – диаметрально противоположные точки шара.

Шар – тело вращения полукруга вокруг его диаметра как оси

Сфера – тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси

Применение сферы

Сферическая геометрия нужна не только астрономам, штурманам морских

кораблей, самолетов, космических кораблей, которые по звездам определяют свои координаты, но и строителям шахт, метрополитенов, тоннелей, а также при геодезических съёмках больших территорий поверхности Земли, когда становится необходимым учитывать её шарообразность.

Сечения шара плоскостью

Касательная плоскость.

Теорема 1

Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость. ОО' – перпендикуляр. О' - центр круга – основание перпендикуляра.

Сечение шара

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью называется большим кругом, а сечение сферы - большой окружностью.

Теорема 2

Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Определение

Плоскость, проходящая через точку А шаровой поверхности и перпендикулярную радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема 3

Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Теорема 4

Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Теорема 5

Линия пересечения двух сфер есть окружность.

Задача

Найдите площадь сечения шара радиуса 41 см плоскостью, проведённой на расстоянии 29 см от центра шара.

Площадь поверхности сферы, объём шара

Уравнение сферы

Пусть центр сферы в т. А(a, b, c), радиус сферы – R. Квадрат расстояния от т. (x, y, z) до т. А: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2=R2 Уравнение сферы с центром в начало координат: x2 + y2 + z2=R2

Площадь поверхности сферы

Задача №1 Плоскость проходит на расстоянии 8 см от центра шара. Радиус сечения равен 15 см. Найдите площадь поверхности шара.

Задача №2

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна 78,5 см2. Найдите площадь поверхности шара.

Шаровой сегмент, слой

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар.

Шаровой сектор

Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.

Объём шара

Объём шарового сегмента

Объём шарового сектора

Объем шара и площадь сферы

Архимед интерпретировал эти формулы так: объем и поверхность шара составляют 2/3 от объёма и полной поверхности описанного около шара цилиндра.

Решение задач

Задача №1 В шаре на расстоянии 3см от центра проведено сечение, радиус

которого 4см. Найдите объём шара.

Задача №2

Задача №3

Площадь сечения шара плоскостью, проходящей через его центр, равна Найдите объём шара.

Площадь поверхности сферы равна Вычислите объём соответствующего шара.

Задача №4

Шар с центром в точке О касается плоскости в точке А. Точка В лежит в плоскости касания. Найдите объём шара, если АВ=21см, ВО=29см.

Задача №5 Объём шара равен

Найдите площадь поверхности шара.

Задача №6 Сумма площадей поверхностей двух шаров радиуса 4 см равна площади поверхности некоторого большего шара. Каков объём этого большего шара?