Презентация на тему «Тема: Прямая в пространстве»

Тема: Прямая в пространстве

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Лектор Белов В.М.

2010 г.

§ 13

Прямая в пространстве

1. Уравнения прямой в пространстве Пусть A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 – уравнения любых двух различных плоскостей, содержащих прямую ? . Тогда координаты любой точки прямой ? удовлетворяют одновременно обоим уравнениям, т.е. являются решениями системы

Систему (1) называют общими уравнениями прямой в пространстве.

Другие формы записи уравнений прямой в пространстве – ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ

и КАНОНИЧЕСКИЕ уравнения. ЗАДАЧА 1. Записать уравнение прямой в пространстве, проходящей через точку M0(x0;y0;z0), параллельно вектору

Вектор, параллельный прямой в пространстве, называют направляющим вектором этой прямой.

Уравнение (2*) и систему уравнений (2) называют параметрическими

уравнениями прямой в про- странстве (в векторной и координатной форме соответ- ственно). Пусть в задаче 1 вектор не параллелен ни одной из координатных осей (т.е. m ? 0, n ? 0 и p? 0). Уравнения (3) называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Частным случаем канонических уравнений являются УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ,

ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДВЕ ЗАДАННЫЕ ТОЧКИ. Пусть прямая проходит через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) . Уравнения (4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

Чтобы записать канонические (параметрические) уравнения этой прямой,

необходимо найти ее направляющий вектор и координаты какой-нибудь точки M0(x0;y0;z0) на прямой. а) Координаты точки M0 – это одно из решений системы (1). б) Направляющий вектор где N?1 = {A1; B1; C1} и N?2 = {A2; B2; C2} – нормальные векторы к плоскостям ?1 и ?2 , уравнения которых входят в общие уравнения прямой.

2. Переход от общих уравнений прямой к каноническим

Пусть прямая ? задана общими уравнениями:

3. Взаимное расположение прямых в пространстве

В пространстве две прямые могут: а) быть параллельны, б) пересекаться, в) скрещиваться. Пусть прямые ?1 и ?2 заданы каноническими уравнениями:

1) Пусть прямые ?1 и ?2 параллельны: Получаем: прямые параллельны ? их направляющие векто- ры и коллинеарные, т.е. выполняется условие:

2) Пусть прямые

1 и ?2 пересекаются:

Получили: прямые ?1 и ?2 пересекаются ? они не параллельны и для них выполняется условие или, в координатной форме,

3) Если для прямых ?1 и ?2 не выполняется условие (6) и (7) ((7*)), то прямые скрещиваются.

4. Задачи, связанные с возможным взаимным расположением прямых

Возможное расположение прямых в пространстве приводит к следующим задачам: 1) параллельные прямые ? расстояние между прямыми (т.е. расстояние от точки до прямой)? 2) пересекающиеся прямые ? а) угол между прямыми? б) точка пересечения прямых? 3) скрещивающиеся прямые ? а) угол между прямыми? б) расстояние между прямыми? Пусть даны 2 прямые: и – направляющий вектор прямой ?i , Mi(xi;yi;zi)? ?i (i = 1,2)

ЗАДАЧА 2. Найти угол между пересекающимися (скрещива- ющимися) прямыми

в пространстве. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между двумя скрещивающимися прямыми ?1 и ?2 называется угол между прямой ?1 и проекцией прямой ?2 на любую плоскость, проходящую через прямую ?1 .

Т.е., угол между скрещивающимися прямыми – это угол между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным. Получаем:

Где знак плюс берется для острого угла, а знак минус – для тупого.

Пусть дана прямая M1(x1;y1;z1) – точка, не принадлежащая

. ЗАДАЧА 3. Найти расстояние от точки до прямой в пространстве. Обозначим: – направляющий вектор прямой ? , M0(x0;y0;z0) – точка на прямой ? , d – расстояние от точки M1 до ? .

Пусть даны две скрещивающиеся прямые: и – направляющий вектор прямой

i , Mi(xi;yi;zi)? ?i (i = 1,2) . ЗАДАЧА 4. Найти расстояние между ?1 и ?2 . ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра.

Где ax + by + cz + D = 0 – общее уравнение плоскости ? , m2(x2; y2; z2) – любая точка на прямой ?2 .

Тогда d – высота пирамиды, опущенная из точки M2

Следовательно:

ЗАДАЧА 5. Найти точку пересечения прямых

Пусть M0(x0;y0;z0) – точка пересечения прямых. Тогда (x0;y0;z0) – решение системы уравнений

Пусть в пространстве заданы плоскость

и прямая ? . Они могут 1) быть параллельны; 2) прямая может лежать в плоскости; 3) прямая и плоскость могут пересекаться в одной точке. Пусть ?: Ax + By + Cz + D = 0 и Тогда N? = {A; B; C} – нормальный вектор плоскости ?, – направляющий вектор прямой ? .

5. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

а) Если прямая параллельна плоскости или прямая принадлежит плоскости,

то или в координатной форме Am + Bn + Cp = 0 . (11)

Если условие (10) (условие (11)) не выполняется, то прямая и плоскость пересекаются в одной точке. б) Если прямая принадлежит плоскости, то координаты любой ее точки удовлетворяют уравнению плоскости, и, следовательно, кроме условия (10) ((11)) выполняется условие Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0 , где M0(x0;y0;z0) – любая точка прямой.

Частным случаем пересечения прямой и плоскости в одной точке является

перпендикулярность прямой и плоскости

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Углом между прямой ? и плоскостью ? называется угол ? между прямой ? и ее проекцией на плоскость ? . Из определения следует, что угол между прямой и плоскостью всегда острый.