Презентация на тему «Теорема 1»

Теорема 1

Внешний угол произвольного треугольника больше каждого внутреннего, не смежного с ним.

Теорема 2

В произвольном треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Упражнение 1

Может ли внешний угол треугольника равняться одному из его внутренних углов?

Упражнение 2

Может ли внешний угол треугольника быть меньше одного из его внутреннего углов?

Упражнение 3

Сколько в треугольнике может быть: а) прямых углов; б) тупых углов?

Ответ: а), б) Один.

Упражнение 4

Известно, что в треугольнике ABC BC > AC >AB. Какой из углов больше: а) B или A; б) C или A; в) B или С?

Ответ: а), б) A; в) B.

Упражнение 5

В треугольнике ABC сторона AB наибольшая. Какие углы этого треугольника острые? Каким может быть угол C?

Ответ: Углы A и B острые. Угол C может быть острым, прямым или тупым.

Упражнение 6

Докажите, что в произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона?

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC угол B больше угла A. Сторона AC не может равняться стороне BC, так как в этом случае угол A равнялся бы углу B. Сторона AC не может быть меньше стороны BC, так как в этом случае угол A был бы больше угла B. Следовательно, сторона AC больше стороны BC.

Упражнение 7

На рисунке угол 1 меньше угла 2. Каким соотношением связаны стороны AB и BC треугольника ABC?

Ответ: AB > BC.

Упражнение 8

Сравните стороны треугольника ABC, если: а) угол A больше угла B, угол B больше угла C; б) угол A больше угла B, угол B равен углу C.

Ответ: а) BC > AC > AB;

Б) BC > AB, AC = AB.

Упражнение 9

На рисунке DE<DF. Каким соотношением связаны углы 1 и 2?

Ответ: угол 1 меньше угла 2.

Упражнение 10

Какой вид имеет треугольник, если: а) два его угла равны; б) три его угла равны?

Ответ: а) Равнобедренный; б) правильный.

Упражнение 11

На рисунке AB > BC. Докажите, что угол 1 больше угла 2.

Упражнение 12

На рисунке угол 1 больше угла 2. Докажите, что AB > BC.

Упражнение 13

На рисунке угол 1 равен углу 2, CD < AB. Докажите, что угол 3 меньше угла 4.

Упражнение 14

На рисунке угол 1 равен углу 2, угол 3 меньше угла 4. Докажите, что CD < AB.

Упражнение 15

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, AD > CD. Докажите, что угол C больше угла A.

Упражнение 16

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = BC, угол С больше угла A. Докажите, что AD > CD.

Упражнение 17

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, AB < BC. Докажите, что угол A больше угла C.

Упражнение 18

В выпуклом четырехугольнике ABCD AB = AD, BC = CD, угол A больше угла C. Докажите, что AB < BC.

Упражнение 19

Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, AC > AB, CD = BD. Докажите, что угол ACD меньше угла ABD.

Ответ: Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то угол ACB меньше угла ABC. Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACD меньше угла ABD.

Упражнение 20

Вершины треугольника ABC соединены отрезками с точкой D, лежащей внутри этого треугольника, CD = BD, угол ACD меньше угла ABD. Докажите, что AC > AB.

Ответ: Треугольник BCD – равнобедренный, следовательно, угол DCB равен углу DBC. Значит, угол ACB меньше угла ABC. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то в треугольнике ABC выполняется неравенство AC > AB.

Упражнение 21

Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, AB > BC, CD = DE. Докажите, что угол BAC меньше угла DEC.

Ответ: Так как AB > BC, то угол BAC меньше угла BCA. Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Значит, угол BAC меньше угла DEC.

Упражнение 22

Отрезки AE и BD пересекаются в точке C, CD = DE, угол BAC меньше угла DEC. Докажите, что AB > BC.

Ответ: Так как CD = DE, то угол DEC равен углу DCE. Углы BCA и DCE равны как вертикальные. Так как угол BAC меньше угла DEC, то угол BAC меньше угла BCA. Значит, угол AB > BC.

Упражнение 21*

В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – медиана. Докажите, что угол BCD больше угла ACD.

Упражнение 22*

В треугольнике ABC выполняется неравенство AC > BC, CD – биссектриса. Докажите, что AD больше BD.