Теорема

Теорема

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Упражнение 1

Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 13 см, 2 см, 8 см; б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м?

Ответ: а), б) Нет.

Упражнение 2

Могут ли стороны треугольника относится как: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 6; в) 1 : 1 : 2?

Ответ: а), б), в) Нет.

Упражнение 3

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием?

Ответ: 10 см.

Упражнение 4

Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см.

Ответ: а) 6 см; б) 8 см.

Упражнение 5

В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая – 5 см. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ: 29 см.

Упражнение 6

Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника.

Ответ: 4 см, 8 см, 8 см.

Упражнение 7

Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника.

Ответ: 11 см, 7 см, 7 см.

Упражнение 8

В треугольнике ABC AC = 3,8 см, AB = 0,6 см. Длина стороны BC выражается целым числом. Найдите его.

Ответ: 4 см.

Упражнение 9

Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. По доказанной теореме, выполняется неравенство AB+BC > AC. Вычитая из обеих частей этого нера­венства ВС, получим неравенство АВ > АС – ВС, означающее, что сторона AB треугольника больше разности двух сторон AC и BC.

Упражнение 10

В каких пределах может изменяться периметр P треугольника, если две его стороны равны a и b (a < b)?

Ответ: 2b < P < 2(a + b).

Упражнение 11

Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра.

Решение: Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB < AC + BC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства AB, получим 2AB < AB + AC + BC. Следовательно, AB < ( AB + AC+ BC)/2.

Упражнение 12

Докажите, что для любой внутренней точки O треугольника ABC выполняется неравенство AO + BO < AC + BC.

Упражнение 13

Докажите, что расстояние от любой внутренней точки треугольника до его вершин больше полумериметра и меньше периметра этого треугольника.

Решение: Пусть O – внутренняя точка треугольника ABC. Тогда AO + BO > AB, BO + CO > AC, AO + CO > AC. Складывая эти неравенства, получим AO + BO + CO > (AB + BC + AC)/2. По доказанному ранее AO + BO < AC + BC, BO + CO < AB + AC, AO + CO < AB + BC. Складывая эти неравенства, получим AO + BO + CO <AB + BC + AC.

Упражнение 14

Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Упражнение 15

Докажите, что биссектриса треугольника меньше его полупериметра.

Решение: Пусть в треугольнике ABC CD – биссектриса. Тогда CD < AC + AD и CD < BC + BD. Следовательно, 2CD < AB + BC + AC.

Упражнение 16

Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

Упражнение 17

Докажите, что сумма медиан треугольника меньше его периметра.

Решение: Следствие предыдущей задачи.

Упражнение 18*

Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, расположенные в вершинах треугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Проверьте правильность своего выбора измерением линейкой.

Ответ. в).

Упражнение 19*

Требуется проложить шоссейные дороги, соединяющие населённые пункты A, B, C, D, расположенные в вершинах прямоугольника. Выберите из предложенных вариантов расположения дорог тот, в котором суммарная длина дорог наименьшая. Проверьте правильность своего выбора измерением линейкой.

Ответ. в).