Теорема

Теорема

О трех перпендикулярах

Геометрия 10

Определение

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

N

S

A

D

F

H

Повторение

Признак перпендикулярности прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

Повторение

Планиметрия

Стереометрия

А

А

А

Отрезок АН – перпендикуляр Точка Н – основание перпендикуляра Отрезок АМ – наклонная Точка М – основание наклонной

Отрезок МН – проекция наклонной на прямую а

Планиметрия

Стереометрия

А

А

А

Из всех расстояний от точки А до различных точек прямой а наименьшим является длина перпендикуляра.

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра

Расстояние от точки до плоскости – длина перпендикуляра

Н а к л о н н а я

Н а к л о н н а я

Проекция

Проекция

Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

П е р п е н д и к у л я р

Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости

равноудалены от другой плоскости.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой плоскости называется расстоянием между параллельными плоскостями.

a

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью.

a

b

Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью,

проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.

В

A

К

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, которые образуют со своими проекциями на плоскость углы в 600. Угол между наклонными 900. Найдите расстояние между основаниями наклонных, если расстояние от точки А до плоскости равно см.

A

?

В

Из точки А к плоскости проведены две наклонные, длины которых равны 26 см и см. Их проекции на эту плоскость относятся как 5:4. Найдите расстояние от точки А до плоскости .

А

Н

М

Теорема о трех перпендикулярах. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

П-р

Н-я

А

Н

М

Обратная теорема. Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

П-р

Н-я

Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, а

точка М – середина стороны ВС. Докажите, что МК ВС.

В

А

С

№148.

П-р

Н-я

П-я

Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника

АВС. Известно, что АВ = АС = 5 см, ВС = 6 см, АD = 12 см. Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

В

А

С

№149 (дом.)

Н-я

П-р

П-я

АN и DN – искомые расстояния

В треугольнике угол С прямой, угол А равен 600, AС=12см

DC (АВС). DC= Найдите расстояния: а) от точки С до прямой АВ, б) от точки D до прямой АВ.

С

А

В

П-р

CN и DN – искомые расстояния

Н-я

12

П-я

600

А

С

В

Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС = 4 см, а СМ =

№155.

П-р

Н-я

П-я

МF – искомое расстояние

Т

n

А

С

В

Один из катетов прямоугольного треугольника равен т, а острый угол, прилежащий к этому катету, равен . Через вершину прямого угла С проведена прямая СD, перпендикулярная к плоскости этого треугольника, СD = n. Найдите расстояние от точки D до прямой АВ.

№156.

П-р

Н-я

П-я

DF – искомое расстояние