Презентация на тему «Теорема Менелая»

Теорема Менелая

Продолжение

Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BC и продолжении стороны AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямая A1B1 пересекает прямую AB в некоторой точке C'. По доказанному, выполняется равенство

Учитывая равенство (*), получаем равенство

Прибавим к его обеим частям единицу и приведем к общему знаменателю. Получим равенство

из которого следует, что C’ и C1 совпадают. Следовательно, точки A1, B1, C1 принадлежат одной прямой.

Упражнение 1

Точка C1 – середина стороны AB треугольника ABC. Точка O – середина отрезка CC1. В каком отношении делит прямая AO сторону BC?

Ответ: 2:1.

Упражнение 2

Точка A1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B1 делит сторону AC в отношении 2:1. Прямая A1B1 пересекает продолжение стороны AB в точке C1. Найдите отношение AB:BC1.

Ответ: 3:1.

Упражнение 3

На продолжениях сторон AB, BC и CA треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1 так, что AB = BC1, BC = CA1, CA = AB1. Найдите отношение, в котором прямая AB1 делит сторону A1C1 треугольника A1B1C1.

Ответ: 1:2.

Упражнение 4

Точка C1 делит сторону AB треугольника ABC в отношении 1:2. Точка B1 лежит на продолжении стороны AC и AC = 2CB1. В каком отношении делит прямая B1C1 сторону BC?

Теорема Чевы

Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1. Прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

Продолжение

Докажем обратное. Пусть на сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки C1, A1 и B1, для которых выполняется равенство (*). Предположим, что прямые AA1 и BB1 пересекаются в точке O. Проведем прямую CO и обозначим С’ ее точку пересечения со стороной AB. Докажем, что C’ совпадает с C1.

Для точек A1, B1, C’ выполняется равенство

Учитывая равенство (*), получаем равенство

Из которого следует, что точки C’ и C1 совпадают, значит, прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.

Упражнение 6

Точки C1 и A1 делят стороны AB и BC треугольника ABC в отношении 1:2. Прямые CC1 и AA1 пересекаются в точке O. Найдите отношение, в котором прямая BO делит сторону CA.

Упражнение 7

Точки C1, B1, A1 делят стороны AB, AC, BC, соответственно, в отношениях 4:1, 2:1, 1:2. Выясните, пересекаются ли прямые AA1, BB1, CC1 в одной точке.

Ответ: Да.

Упражнение 8

Точка A1 делит сторону BC треугольника ABC в отношении 1:3. В каком отношении должна делить точка B1 сторону AC, чтобы точка пересечения прямых AA1 и BB1 принадлежала медиане CC1 треугольника ABC?

Ответ: 1:3.

Упражнение 9

Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.

Упражнение 10

Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вневписанных окружностей пересекаются в одной точке, называемой точкой Нагеля.

Решение

Пусть окружность касается стороны BC и продолжения сторон AC и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B’, C’. Тогда CA1 = CB’, BA1 = BA’, AB’ = AC’. Обозначим AB = с, AC = b, BC = a, p – полупериметр треугольника ABC. Имеем AB’ = AC’ = p и, следовательно, BA1 = BC’ = p – c, A1C = CB’ = p – b.

Аналогично, для точек касания B1 и C1 имеем: AC1 = p – b, C1B = p – a; CB1 = p – a, C1A = p – b. Следовательно, выполняется равенство По теореме Чевы, прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке.