Тригонометрические преобразования

МОУ СОШ п. Козлово Конаковского района Тверской области Учебный проект

Авторы: учащиеся 10 класса Учитель: Баранова С.И. 2012

"Тригонометрические преобразования"

Содержание проекта

Цели и задачи проекта Проектная деятельность учащихся История развития тригонометрии Применение тригонометрии Радианная мера угла Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла Таблица значений Формулы тригонометрии и их взаимосвязи Формулы приведения Примеры на преобразование тригонометрических выражений, доказательства тождеств Заключение Используемая литература

Цели и задачи проекта

Формирование интереса к математике путём ознакомления с особенностями курса тригонометрии; развитие интеллектуальных способностей, повышение компетентности в решение учебных задач; развитие математического мышления, творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования, и для самостоятельной деятельности в области математики; воспитание средствами математики культуры личности: знакомство с историей развития математика, понимание значимости математики для общественного прогресса.

Проектная деятельность учащихся

Группа историков Цель работы: изучить исторические аспекты развития тригонометрии Задачи исследования: найти , выбрать и проанализировать информацию по развитию тригонометрии; выяснить, кто является основоположником тригонометрии; выяснить формы и способы записи математических фактов.

Группа алгебраистов Цель работы: провести исследования по теме

«Тригонометрические преобразования» Задачи исследования: - выяснить, насколько часто встречаются в жизни задачи, связанные с тригонометрией; - выяснить особенности работы с единичной окружностью; - выяснить способ заполнения таблицы значений; - выяснить взаимосвязь основных тригонометрических форм.

Группа информатиков Цель работы: оформить стенд, буклет по теме,

создать презентацию

История развития тригонометрии

«Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймёт…» Г.В. Лейбниц

Тригонометрия возникла из практических нужд человека

С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и, вообще, существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт.

И. Бернулли (1642-1727)

Птолемей II в. до н.э.

Региомонтан (1436-1476)

Швейцарский математик И. Бернулли (1642-1727) в своих работах начал применять символику тригонометрических функций.

Во II в. н.э. греческий ученый Птоломей вывел соотношения в круге, которые по своей сути аналогичны современным формулам синуса половинного и двойного углов, синуса суммы и разности двух углов.

Первый научный труд, в котором тригонометрия утвердилась как самостоятельная ветвь математики, был создан в 1462-1464 гг. немецким астрономом и математиком И.Мюллером (Региомонтан)

Долгие годы тригонометрия служила астрономии и развивалась благодаря

ей. В VIII в. тригонометрия выделилась из астрономии и стала самостоятельной математической дисциплиной. К этому времени хорды в тригонометрии были заменены синусами (отношениями половины хорды к радиусу круга), были введены понятия косинуса и тангенса, а также составлены таблицы. Идея введения тригонометрических понятий с помощью круга единичного радиуса получила распространение в X-XI вв.

Применение тригонометрии

Для измерения высоты объектов

Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях

геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как техника навигации, теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника и многие другие.

Радианная мера угла

Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности.

Каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности. Углы измеряются в радианной мере, а угол РОМ1 называют углом в 1 радиан (1 рад).

Угол в 1 радиан – это центральный угол, опирающийся на дугу, длина

которой равна радиусу окружности.

R

R

Единичная окружность

Единичная окружность — это окружность с радиусом 1 и центром в начале координат.

Ось синусов

Синусом угла ? называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол ?

(0;1)

(0;-1)

Ось косинусов

Косинусом угла ? называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол ?

(-1;0)

Тангенсом угла

называется отношение синуса угла ? к его косинусу

Котангенсом угла ? называется отношение косинуса угла ? к его синусу

tg ? * ctg ? = 1

(0;1)

(0;-1)

(-1;0)

+

+

-

-

+

-

-

+

+

-

+

-

+

-

+

-

Знаки синуса , косинуса, тангенса, котангенса угла

sin ?

cos ?

tg ?

ctg ?

Четверть

1 четверть

2 четверть

3 четверть

4 четверть

Таблица значений

Формулы тригонометрии и их взаимосвязи

Формулы приведения

Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, больших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, больших 360°.

3. Вычислить значение выражения:

Решение. Используя формулы приведения, получим:

4. Найдите значение выражения

Ответ: 13.

Решение:

1. Перепишем это выражение, меняя второе и третье слагаемое местами

2. Вынесем 3 у первого и второго слагаемого за скобку

3. В скобках получили основное тригонометрическое тождество

Подставим в наше выражение:

Заключение

Знание тригонометрии необходимо не только для успешной сдачи ЕГЭ, но и для будущей жизни. Люди самых разных профессий используют элементы тригонометрии в своей работе. В ходе работы над проектом мы познакомились с историческими аспектами, применением тригонометрии, вывели основные тригонометрические формулы и получили навыки работы по преобразованию тригонометрических выражений.

Используемая литература

А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов «Алгебра и начала анализа». Ю.М.Колягин, Ю.В.Ткачёв «Алгебра и начала анализа». Г.Бирюков, А.А.Бряндинская «Энциклопедия юного математика» www.trigonom.ru www.rosedu.ru wiki.iteach.ru