Тригонометрические уравнения

Тригонометрические уравнения

Выполнил ученик 10 «П» класса Антонов Антон Проверила: Петрова Г.А.

Цель проекта:

Подготовка к ЕГЭ Научится решать тригонометрические уравнения Проверить свои знания

Решение тригонометрических уравнений сводится, в конечном итоге, к

решению простейших тригонометрических уравнений sin x=a, cos x=a, tg x=a с помощью различных преобразований. Прежде чем рассматривать примеры, выделим некоторые типы тригонометрических уравнений.

3sin?x-4sinxcosx+cos

x=0 /cos?x Если cosx=0 то 3sin?x=0 3tg?x-4tgx+1=0 tgx=1 tgx=1/3 x=arctg1/3+ Пn

1.Уравнения asin? x+bcos x +c=0 и acos? x+c=0 сводятся к квадратным уравнениям относительно t=cos x и t=sin x.

X=п/4+ пn

2. Однородное уравнение asin

x+bcos x sinx+cos?x=0, где а не равен 0, равносильно уравнению аtg? x+btgx+c=0.

6sin?x+4sinxcosx-1=0 sin?x+cos?x=1 5sin?x+4sinxcosx-cos?x=0 /cos?x 5tg?x+4tgx-1=0 tgx=1/5 tgx=-1 x=arctg1/5+пn x=- П/4+ пk

3sin5z -2cos5z=3 /

13 3/?13sin5z – 2/?13cos5z= 3/?13 3/?13=cosf, sinf=2/?13 cosf*sin5z – sinf*cos5z= 3/?13 f=arktg2/3 sin(5z-f) = 3/?13 5z-f=(-1)^n arksin3/?13+nп z=f/5 +[(-1)^n(п/2-f) +nп]1/5

3. Уравнение acos x+bsin x = c, где abc не равен 0, удобно записать в виде sin(x+f)=c/?(a?+b?); здесь f-вспомогательный угол, такой, что sin f=a/?(a?+b?), cos f=b/?(a?+b?).

4.sin?x+sin

2x=sin? 3x 1-cos2x/2+1-cos4x/2=sin? 3x 1-sin? 3x=cos2x+cos4x/2 cos? 3x=cos3x cosx cos3x(cosx-cos3x)=0 cos3x cosx sinx=0 x=?n/2, x=?/6+?n/3 Ответ: x=?n/2, x=+-?/6+?n, n€ Z

4. Уравнения. acos2x+bcos?x=c и acos2x + bsin?x=0 сводятся к уравнениям вида cos 2x=m с помощью формулы понижения степени cos?x = 1+cos?x/2, sin?x=1-cos?x/2

Asin2x+bsin

x=c 2asinxcosx+bsin?x=c(sin?x+cos?x) -cos?x+2asinxcosx+(b-c)sin?x=0 /cos?x 2atgx+(b-c)tg?x-1=0

5. Уравнение. asin2x +bsin?x=c и asin2x+bcos?x=c можно свести либо к однородным, используя тождество с = с (sin?x +cos? x), либо к уравнениям вида Asin2x + Bcos2x = C, применяя формулы понижения степени.

6. . Уравнение

a(sinx+cosx)+bsin2x+c=0 сводится к квадратному относительнo t = sinx+cosx, так как sin2x=t?-1.

6. 4(cos?x –sin?x)=5cos2x (cosx-sinx)(4+4sinx cosx-5(sinx+cosx))=0 cosx-sinx=0 x= ?/4+ ?n 4+4sinx*cosx-5(sinx+cosx)=0 t=sinx+cosx 2t?-5t+2=0 t=2 sinx+cosx=1/2, то sin(x +?/4)=1/2?2 x=-?/4+(-1)? arcsin1/2?2+ ?n. t=2 sinx+cosx=2 ? т.к Іsinx+cosxІ??2 Ответ: x= ?/4+ ?n x=-?/4+(-1)? arcsin1/2?2+ ?n.

Источники информации

Алгебра и начала анализа 10-11класс Газета «Математика» №40 1995г.