№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Тригонометрические выражения и их преобразования9 -класс МБОУ-ООШ № 25 Подготовила: учитель математики Оганесян Валентина Ашотовна |
2 |
 |
Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенсаЧтобы построить всю тригонометрию, законы которой были бы справедливы для любых углов (не только для острых, но и для тупых, положительных и отрицательных углов ), необходимо рассмотреть так называемый единичный круг, то есть круг, радиус которого равен 1 ( рис.3 ). |
3 |
 |
Проведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’роведём два диаметра: горизонтальный AA’ и вертикальный BB’. Будем отсчитывать углы от точки A ( начальная точка ). Отрицательные углы отсчитываются по часовой стрелке, положительные – против. Подвижный радиус OC образует угол с неподвижным радиусом OA.Он может быть расположен в 1-ой четверти ( COA ), во 2-ой четверти ( DOA ), в 3-ей четверти (EOA ) или в 4-ой четверти ( FOA ). Считая OA и OB положительными направлениями, а OA’ и OB’ – отрицательными, мы определим тригонометрические функции следующим образом. |
4 |
 |
Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круганаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга. |
5 |
 |
Линия синуса угла ( рисиния синуса угла ( рис.4 ) - это вертикальный диаметр единичного круга, линия косинуса угла - горизонтальный диаметр единичного круга. Синус угла ( рис.4 ) – это отрезок OB на линиисинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию синуса; косинус угла - отрезок OAлинии косинуса, то есть проекция подвижного радиуса OK на линию косинуса. Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.5 и рис.6. |
6 |
 |
Знаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круганаки синуса и косинуса в различных четвертях единичного круга Линия тангенса ( рис.7 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку A горизонтального диаметра. Линия котангенса ( рис.8 ) – это касательная к единичному кругу, проведенная через точку В вертикального диаметра. Тангенс – это отрезок линии тангенса между точкой касания A и точкой пересечения ( D, E, и т.д., рис.7 ) линии тангенса и линии радиуса. Котангенс – это отрезок линии котангенса между точкой касания В и точкой пересечения ( Р, Q, и т.д., рис.8 ) линии котангенса и линии радиуса. |
7 |
 |
Знаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного кругаЗнаки тангенса и котангенса в различных четвертях единичного круга показаны на рис.9. |
8 |
 |
Тригонометрические функции острого углаТригонометрические функции острого угла есть отношения различных пар сторон прямоугольного треугольника ( рис.2 ): |
9 |
 |
Тригонометрические функции острого угла: синус, косинус, тангенс,котангенс, секанс, косеканс. 1) Синус - отношение противолежащего катета к гипотенузе: sin A = a / c . 2) Косинус - отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A = b / c . 3) Тангенс - отношение противолежащего катета к прилежащему: tan A = a / b . 4) Котангенс - отношение прилежащего катета к противолежащему: cot A = b / a . 5) Секанс - отношение гипотенузы к прилежащему катету: sec A = c / b . 6) Косеканс - отношение гипотенузы к противолежащему катету: cosec A = c / a . |
10 |
 |
Прямоугольный треугольник ABC ( рисрямоугольный треугольник ABC ( рис.2 ) имеет катеты: a = 4, b = 3. Найти синус, косинус и тангенс угла A. Р е ш е н и е . Во-первых, найдём гипотенузу, используя теорему Пифагора: c 2 = a 2 + b 2 , Согласно вышеприведенным формулам имеем: sin A = a / c = 4 / 5; cos A = b / c = 3 / 5; tan A = a / b = 4 / 3. |
11 |
 |
Для некоторых углов можно записать точные значения ихтригонометрических функций. Наиболее важные случаи приведены в таблице: |
12 |
 |
Углы 0° и 90°, строго говоря,глы 0° и 90°, строго говоря, не являются острыми в прямоугольном треугольнике, однако при расширении понятия тригонометрических функций эти углы также рассматриваются. Символ в таблице означает, что абсолютное значение функции неограниченно возрастает, если угол приближается к указанному значению. |
13 |
 |
По двум сторонамЕсли заданы две стороны прямоугольного треугольника, то третья сторона вычисляется по теореме Пифагора. Острые углы могут быть определены по одной из трёх первых формул для тригонометрических функций в зависимости от того, какие стороны известны. Например, если заданы катеты a и b , то угол A определяется по формуле: tan A = a / b . Решение прямоугольных треугольников По двум сторонам. По стороне и острому углу. |
14 |
 |
П р и м е р 1.Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544р и м е р 1.Катет a = 0.324, гипотенуза c = 0.544. Найти второй катет b и углы A и B. Р е ш е н и е .Катет b равен: |
15 |
 |
Р е ш е н и е Гипотенуза c равна: П р и м е р 2. Даны два катета: a = 7.2 см, b = 6.4 см. Найти гипотенузу и углы A и B. |
16 |
 |
По стороне и острому углу. Если задан один острый угол A, то другой острый угол B находится из равенства: B = 90° - A. Стороны находятся по формулам тригонометрических функций, переписанных в виде: a = c sin A , b = c cos A , a = b tan A , b = c sin B , a = c cos B , b = a tan B . Остаётся выбрать те формулы, которые содержат заданную или уже найденную сторону. |
17 |
 |
П р и м е р Дано: гипотенуза c = 13.65 м и острый угол A = 54°17’. Найти другой острый угол B и катеты a и b . |
18 |
 |
Радианное и градусное измерение угловГрадусная мера. Здесь единицей измерения является градус ( обозначение ° ) – это поворот луча на 1 / 360 часть одного полного оборота. Таким образом, полный оборот луча равен 360°. Один градус состоит из 60 минут ( их обозначение ‘ ); одна минута – соответственно из 60 секунд (обозначаются “ ). |
19 |
 |
Радианная мера Как мы знаем из планиметрии длина дуги l , радиус r и соответствующий центральный угол а связаны соотношением: а = l / r . Эта формула лежит в основе определения радианной меры измерения углов. Так, если l = r , то а = 1, и мы говорим, что угол равен 1 радиану, что обозначается: а = 1 рад. Таким образом, мы имеем следующее определение радианной меры измерения: |
20 |
 |
2 = C / r Так, полный оборот, равный 360° в градусном измерении, соответствует 2 в радианном измерении. Откуда мы получаем значение одного радиана, и обратно: Следуя этой формуле, длину окружности C и её радиус r можно выразить следующим образом: |
21 |
 |
Полезно помнить следующую сравнительную таблицу значений наиболеечасто встречающихся углов в градусах и радианах: |
22 |
 |
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же углаЭти формулы являются основными тригонометрическими тождествами. |
23 |
 |
п-33Формулы приведения |
24 |
 |
п-33Формулы приведения |
25 |
 |
п-33Формулы приведения Эти формулы позволяют: 1) найти численные значения тригонометрических функций углов, бо’льших 90°; 2) выполнить преобразования, приводящие к более простым выражениям; 3) избавиться от отрицательных углов и углов, бо’льших 360°. |
26 |
 |
|
27 |
 |
п 34Формулы сложения и вычитания |
28 |
 |
п 34Формулы сложения и вычитания |
29 |
 |
Основные соотношения между элементами треугольникаТеорема косинусов. Теорема синусов. Теорема тангенсов. Формулы площади, формула Герона. Радиусы описанного и вписанного кругов Обозначения: a, b, c – стороны; A, B, C – углы; p = ( a + b + c ) / 2 - полупериметр; h –высота; S – площадь; R – радиус описанного круга; r – радиус вписанного круга. |
30 |
 |
Теорема косинусов: |
31 |
 |
Теорема синусов: |
32 |
 |
Теорема тангенсов: |
33 |
 |
Формулы площади, формула Герона:Формулы площади, формула Герона: |
34 |
 |
Радиусы описанного и вписанного кругов: |
35 |
 |
Решение косоугольных треугольниковЗаданы три стороны a, b, c . Найти углы A, B, C. По теореме косинусов находим один из углов: |
36 |
 |
Второй угол находим по теореме синусов:Третий угол находится по формуле: C = 180° – ( A + B ). |
37 |
 |
П р и м е р р и м е р . Заданы три стороны треугольника: a = 2, b = 3, c = 4. Найти его углы. |
38 |
 |
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол A :2 = a 2 + b 2 - 2 ab · cos C ; а затем по теореме синусов – угол A : здесь необходимо подчеркнуть, что A – острый угол, если b / a > cos C, и тупой угол, если b / a < cos C. Третий угол B = 180° - ( A + C ). Дано: две стороны a и b и угол C между ними. Найти сторону c и углы A и B. По теореме косинусов находим сторону c : |
39 |
 |
Заданы любые два угла и сторонаНайти третий угол и две другие стороны. Очевидно, что третий угол вычисляется по формуле: A+ B+ C = 180°, и тогда используя теорему синусов, мы найдём две другие стороны. Даны две стороны a и b и угол B, противоположный одной из них. Найти сторону c и углы A и C. Сначала по теореме синусов найдём угол A: |
40 |
 |
Здесь возможны следующие случаи:1) a > b ; a · sin B > b – здесь решения нет; 2) a > b ; a · sin B = b – здесь одно решение, A – прямой угол; 3) a > b ; a · sin B < b < a – здесь два решения: A может быть либо острым, либо тупым углом; 4) a b – здесь одно решение, A – острый угол. |
41 |
 |
После нахождения угла A, найдём третий угол:осле нахождения угла A, найдём третий угол: C = 180° - ( A+ B ). Если A может иметь два значения, то и C может иметь два значения. Теперь по теореме синусов можно найти третью сторону: |
42 |
 |
Если угол C имеет два значения,сли угол C имеет два значения, то и сторона c имеет два значения, следовательно, заданным условиям удовлетворяют два различных треугольника. Дано: a = 5, b = 3, B = 30°. Найти сторону c и углы A и C. |
43 |
 |
Р е ш е н и еЗдесь: a > b и a sin B < b. ( Проверьте, пожалуйста! ). Тогда согласно случаю 3 здесь возможны два решения: |
44 |
 |
|
«Тригонометрические выражения и их преобразования» |
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/trigonometricheskie-vyrazhenija-i-ikh-preobrazovanija-163759.html