Вписанная и описанная окружность
<<  Вписанная и описанная окружность Вписанный угол  >>
Вписанная и описанная окружности
Вписанная и описанная окружности
Стороны многоугольника
Стороны многоугольника
Центр вписанной окружности
Центр вписанной окружности
Многоугольник
Многоугольник
Суммы противоположных сторон
Суммы противоположных сторон
Окружность
Окружность
Вершины многоугольника
Вершины многоугольника
Радиус
Радиус
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность
Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность
Сумма
Сумма
Радиус вписанной окружности
Радиус вписанной окружности
Около равнобокой трапеции можно описать окружность
Около равнобокой трапеции можно описать окружность
Площадь треугольника
Площадь треугольника
Радиус окружности
Радиус окружности
Правильный треугольник
Правильный треугольник
Сторона правильного треугольника
Сторона правильного треугольника
Три касательные
Три касательные
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника
Углы
Углы
Гипотенуза
Гипотенуза
Сторона треугольника
Сторона треугольника
Боковые стороны
Боковые стороны
Боковые стороны трапеции
Боковые стороны трапеции
Четырехугольник
Четырехугольник
Периметр трапеции
Периметр трапеции
Окружность, описанная вокруг трапеции
Окружность, описанная вокруг трапеции
Найдите угол
Найдите угол
Два угла вписанного в окружность четырехугольника
Два угла вписанного в окружность четырехугольника
Периметр правильного шестиугольника
Периметр правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник
Стороны
Стороны
Точка
Точка
Отрезок
Отрезок
Прямоугольный треугольник
Прямоугольный треугольник
Список используемой литературы
Список используемой литературы

Презентация: «Центры вписанной и описанной окружности». Автор: Grey Wolf. Файл: «Центры вписанной и описанной окружности.ppt». Размер zip-архива: 1328 КБ.

Центры вписанной и описанной окружности

содержание презентации «Центры вписанной и описанной окружности.ppt»
СлайдТекст
1 Вписанная и описанная окружности

Вписанная и описанная окружности

2 Стороны многоугольника

Стороны многоугольника

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник - описанным около этой окружности.

3 Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности – точка пересечения биссектрис всех внутренних углов многоугольника. Радиус вписанной окружности вычисляется по формуле: r= S/p, где S – площадь, а p – полупериметр многоугольника.

4 Многоугольник

Многоугольник

Не во всякий многоугольник можно вписать окружность.

5 Суммы противоположных сторон

Суммы противоположных сторон

В любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных сторон равны. А В АВ + СД = ВС + АД С Д Если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника равны, то в него можно вписать окружность.

6 Окружность

Окружность

В любой треугольник можно вписать окружность. Центр окружности - точка пересечения биссектрис треугольника. А О В С

7 Вершины многоугольника

Вершины многоугольника

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник - вписанным в эту окружность.

8 Радиус

Радиус

Центр описанной окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам многоугольника. Радиус вычисляется как радиус окружности, описанной около треугольника, определённого любыми тремя вершинами данного многоугольника.

9 Точка пересечения серединных перпендикуляров

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Около любого треугольника можно описать окружность. Центр окружности - точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. R= = = R =

10 Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность

Около четырёхугольника не всегда можно описать окружность

11 Сумма

Сумма

Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°.

A + C = B + D=180°

12 Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности находится по формуле: , где а и b – катеты, с – гипотенуза. R = d/2

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.(гипотенуза является диаметром)

r =

О

13 Около равнобокой трапеции можно описать окружность

Около равнобокой трапеции можно описать окружность

Только около равнобокой трапеции можно описать окружность. В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если боковая сторона равна средней линии.

14 Площадь треугольника

Площадь треугольника

Площадь треугольника равна 24, а радиус вписанной окружности равен 2. Найдите периметр этого треугольника.

Решение. Из формулы S=pr, где p - полупериметр, находим, что периметр описанного многоугольника равен отношению удвоенной площади к радиусу вписанной окружности: Ответ: 24

.

15 Радиус окружности

Радиус окружности

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Решение. Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен одной трети высоты. Поэтому он равен 2. Ответ: 2.

16 Правильный треугольник

Правильный треугольник

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6. Найдите высоту этого треугольника.

Решение.

Значит,

Ответ: 18.

17 Сторона правильного треугольника

Сторона правильного треугольника

Решение. Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади к полупериметру:

Сторона правильного треугольника равна ?3. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ: 0,5.

.

18 Три касательные

Три касательные

К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Решение.

Отрезки касательных, проведенных к окружности из точек K,H,O,F,N,M соответственно равны друг другу. Поэтому

Следовательно,

Ответ: 24.

19 Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника

Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 2 + ?2. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Решение.

Ответ: 1.

20 Углы

Углы

Сторона правильного треугольника равна?3 . Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

Решение. Треугольник правильный, значит, все углы равны по 60°.

Ответ: 1.

21 Гипотенуза

Гипотенуза

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 12. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, является прямым, значит, гипотенуза является диаметром и R = 12/2=6. Ответ: 6.

22 Сторона треугольника

Сторона треугольника

Решение. По теореме синусов имеем: Ответ: 1.

Сторона треугольника равна 1. Противолежащий ей угол равен 30°. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

23 Боковые стороны

Боковые стороны

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 40, основание равно 48. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Решение. Для нахождения площади треугольника, воспользуемся формулой Герона S = Ответ: 25

24 Боковые стороны трапеции

Боковые стороны трапеции

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 3 и 5. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение. В выпуклый четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ + СД = ВС + АД Ответ: 4.

25 Четырехугольник

Четырехугольник

Решение. В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда АВ+СД = АД+ВС. Пусть меньшая сторона равна х, тогда х +3х=Р/2; 4х=16; х=4. Тогда большая сторона равна Р/2 – 4=16-4=12 Ответ: 12

Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:2:3. Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен 32.

26 Периметр трапеции

Периметр трапеции

Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 22, средняя линия равна 5. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение. Трапеция – равнобедренная, т. к. вокруг неё описана окружность. Ответ: 6.

27 Окружность, описанная вокруг трапеции

Окружность, описанная вокруг трапеции

Решение. Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника ADC. Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону: AD=DC=AB-2AH=AB-2ADcos 60°=12-AD, откуда AD=6 Ответ: 6.

Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен 60°, большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

28 Найдите угол

Найдите угол

Углы А, В и С четырехугольника АВСД относятся как1:2:3 . Найдите угол Д , если около данного четырехугольника можно описать окружность. Ответ дайте в градусах. Решение. Пусть угол А равен х°. Учитывая, что сумма противоположных углов во вписанном четырёхугольнике равна 180°, получим: х+3х=180; 4х=180; х=45. Угол В равен 2х=2·45=90. Тогда угол Д равен 180-90=90. Ответ: 90. Ответ: 90?

29 Два угла вписанного в окружность четырехугольника

Два угла вписанного в окружность четырехугольника

Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны 82° и 58° . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение. Так как во вписанном четырёхугольнике сумма противоположных углов равна 180°, то больший угол равен 180° - 58°= 122° Ответ: 122.

30 Периметр правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника

Периметр правильного шестиугольника равен 72. Найдите диаметр описанной окружности.

Решение. Рассмотрим треугольник АОВ. Он равносторонний, т.к. АО=ОВ=R и угол АОВ равен 60°, тогда D=2R=2АО= 2АВ=2·12=24 Ответ: 24.

31 Правильный шестиугольник

Правильный шестиугольник

Около окружности, радиус которой равен ?3/2, описан правильный шестиугольник. Найдите радиус окружности, описанной около этого шестиугольника.

Решение. Угол правильного шестиугольника равен 120° , тогда угол ОАH в прямоугольном треугольнике OAH равен 60°. Следовательно, Ответ: 1.

32 Стороны

Стороны

C4. В треугольнике АВС известны стороны: АВ=6, ВС=8, АС=9. Окружность, проходящая через точки А и С, пересекает прямые ВА и ВС соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC. Найдите длину отрезка KL.

Решение. Обе точки K и L не могут лежать вне треугольника, поскольку в этом случае отрезок KL не может касаться вписанной окружности. Значит, по крайней мере одна из этих точек лежит на стороне треугольника. 1)Пусть обе точки K и L лежат на сторонах треугольника. Четырехугольник AKLC — вписанный, следовательно, Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC— общий. Пусть коэффициент подобия равен k, тогда BL=kAB, BK=kBC, KL=kAC. Суммы противоположных сторон описанного четырехугольника AKLC равны: Подставляя известные значения сторон, находим k = = KL=kAC=45/23

33 Точка

Точка

2)Пусть точка K лежит на продолжении стороны AB. Углы AKL и ACL равны, поскольку опираются на одну дугу. Значит, треугольник ABC подобен треугольнику LBK , так как угол ABC — общий. Более того, они описаны около одной и той же окружности. Следовательно, коэффициент подобия равен 1, то есть, треугольники LBK и ABC равны, поэтому KL=AC= 9. Заметим, что BK=BC>AB и точка K действительно лежит на продолжении стороны AB. Если точка L лежит на продолжении стороны BC, то BL>BC, но, аналогично предыдущему случаю, получаем BL=AB<BC. Значит, этот случай не достигается. Ответ:45/23; 9.

34 Отрезок

Отрезок

C 4.Прямая, перпендикулярная гипотенузе прямоугольного треугольника, отсекает от него четырехугольник, в который можно вписать окружность. Найдите радиус окружности, если отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 24, а отношение катетов треугольника равно 5/12.

Решение. Обозначим треугольник АВС, отношение катетов равен 5/12, АС=5х-катет, ВС=12х-катет, АВ=13х— гипотенуза. Заметим, что окружность, о которой говорится в условии, — окружность, вписанная в треугольник ABC. Пусть О — её центр, а D и Е — точки касания с катетами АС и ВС соответственно. Тогда, так как ODCE — квадрат, радиус этой окружности. OD=EC= = = 2x. Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а АС в точке N. Прямоугольный треугольник ANM подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, AM=26, AN=10. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: ВС+MN=BM+CN; 12х+24=(13х-26)+(5х-10), откуда находим: х=10. r=2x=20

35 Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник

Пусть прямая MN перпендикулярна АВ, касается окружности, пересекает АВ в точке М, а ВС в точке N. Прямоугольный треугольник NBM подобен треугольнику ABC. В нём MN=24, BM=57,6, BN=62,4. У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны: MN+AC=CN+AM; 24+5x=(12x-62,4)+(13x-57,6), откуда находим: х=7,2. r=2x=14,4 Ответ: 20 или 14,4.

36 Список используемой литературы

Список используемой литературы

Список используемой литературы и ресурсов : 1. Атанасян Л.С. Геометрия, 7-9: учеб. для общеобразоват. учреждений-М.: Просвещение, 2010. 2. ЕГЭ-2013. типовые экзаменационные варианты: 10вариантов / под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2012 3.mathege.ru 4.reshuege.ru

«Центры вписанной и описанной окружности»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/tsentry-vpisannoj-i-opisannoj-okruzhnosti-57930.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Вписанная и описанная окружность > Центры вписанной и описанной окружности