Уравнение прямой в пространстве

Уравнение прямой в пространстве

Поскольку прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей, то одним из способов аналитического задания прямой в пространстве является задание с помощью системы из двух уравнений задающих пару пересекающихся плоскостей.

Вектор

Уравнение прямой в пространстве

Прямую, проходящую через точку A0(x0, y0, z0) с направляющим вектором (a,b,c) можно задавать параметрическими уравнениями

В случае, если прямая в пространстве задается двумя точками A1(x1, y1, z1), A2(x2, y2, z2), то, выбирая в качестве направляющего вектора вектор (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1) и в качестве точки А0 точку А1, получим следующие уравнения

Угол между двумя прямыми

Угол между двумя прямыми в пространстве, заданными параметрическими уравнениями

Можно найти, используя формулу

Где – направляющие векторы.

Упражнение

Упражнение 1

Какими уравнениями задаются координатные прямые?

Параметрические уравнения

Упражнение 2

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку А(1, -2, 3) с направляющим вектором, имеющим координаты (2, 3, -1).

Напишите параметрические уравнения прямой

Упражнение 3

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точки А1(-2, 1, -3), А2(5, 4, 6).

Напишите параметрические уравнения

Упражнение 4

Напишите параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(1, 2, -3) и перпендикулярную плоскости x + y + z + 1 = 0.

Перпендикулярные прямые

Упражнение 5

В каком случае параметрические уравнения определяют перпендикулярные прямые?

Ответ: Если выполняется равенство a1a2+b1b2+c1c2=0.

Взаимное расположение

Упражнение 6

Определите взаимное расположение прямой, задаваемой уравнениями и плоскости, задаваемой уравнением x – 3y + z +1 = 0.

Ответ: Перпендикулярны.

Координаты точки

Упражнение 7

Найдите координаты точки пересечения плоскости 2x – y + z – 3 = 0 и прямой, проходящей через точки A(-1, 0, 2) и B(3, 1, 2).

Взаимное расположение прямых

Упражнение 8

Определите взаимное расположение прямых, задаваемых уравнениями

Ответ: Перпендикулярны.

Точка движется прямолинейно

Упражнение 9

Точка движется прямолинейно и равномерно в направлении вектора (1, 2, 3). В начальный момент времени t = 0 она имела координаты (-1, 1, -2). Какие координаты она будет иметь в момент времени t = 4?

Ответ: (3, 9, 10).

Уравнения движения

Упражнение 10

Параметрические уравнения движения материальной точки в пространстве имеют вид Найдите скорость.

Точка

Упражнение 11

Точка движется прямолинейно и равномерно. В момент времени t = 2 она имела координаты (3, 4, 0), а в момент времени t = 6 - координаты (2, 1, 3). Какова скорость движения точки?

Прямая в пространстве

Упражнение 12

Прямая в пространстве задана параметрическими уравнениями Напишите параметрические уравнения прямых, симметричных данной относительно координатных плоскостей.