Презентация на тему «Урок по теме: “Тригонометрические формулы»

Урок по теме: “Тригонометрические формулы

Ельцова Н.Г.,учитель МОУ «Гимназия №11», Г Норильск.

Рассмотрим следующие вопросы:

Радианная мера угла; поворот точки вокруг начала координат; определение синуса, косинуса и тангенса произвольного угла; знаки синуса, косинуса и тангенса; зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла; cинус, косинус и тангенс углов ? и - ?;

Повторим основные понятия:

Координатная прямая;

Координатная плоскость;

Центральный угол;

Sin ?, cos ?, где 0<?<180°;

Уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом равным 1.

Вопрос 1: Радианная мера угла

Каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности. Кроме градусной меры угла существует еще и радианная. Рассмотрим окр(О(0,0);R) дугу PM1, равную радиусу R. Центральный угол,опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Задачи

Решение:

15?

Решение:

Найти градусную меру угла,равного

Найти радианную меру угла, равного

.

Задание: заполните таблицу наиболее встречающихся углов в градусной и

радианной мере.

45

90

0

?

0

30

60

180

Градусы

Радиан

3. Поворот на 0 радиан, означает, что точка остается на месте

Вопрос 2: Поворот точки вокруг начала координат.

0

Установим соответствие между действительными числами и точками окружности с помощью поворота точки окружности. Рассмотрим на координатной плоскости окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Ее называют единичной окружностью. Введем понятие поворота окружности вокруг начала координат на угол в a радиан, ?- любое действительное число.

Вопрос 3: определение синуса, косинуса, тангенса угла

При повороте т.P(1,0) на угол ?, т.е на угол 90 , получается точка (0,1). Ордината точки равна 1, поэтому sin 90=sin =1. Абсцисса точки равна 0, cos90 =cos =0

Синусом угла ? называется ордината точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол ?.

Обозначается sin ?

Косинусом угла ? называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1,0) вокруг начала координат на угол ?.

Обозначается cos ?

Задание:

Найти cos 270? = sin 270? = sin ? +sin1,5? = sin3? - cos1,5? =

Найдите tg 0°= ctg 270° = tg 0°-tq180°=

Определение тангенса и котангенса угла

Тангенсом угла ? называется отношение синуса угла ? к его косинусу. tg ?= Котангенсом угла ? называется отношение косинуса угла ? к его синусу. ctg ?=

Вопрос 4: знаки синуса косинуса и тангенса

Синус косинус и тангенс углов ? и –?.

y

y

y

sin ?

cos ?

tg ?

- +

+ +

- +

x

x

x

+ -

- -

- +

Пусть т Р(1,0) движется по единичной окружности против часовой стрелки. , sin ?>0, cos ?>0. , sin ?>0, cos ?<0. ,sin ?>0, cos ?<0. , sin ?<0, cos ?>0.

Пусть т M1 и тM2 единичной окружности получены поворотом т P (1,0) на

углы ? и –?. Тогда ось Ох делит угол М1OM2пополам, поэтому тM1 и M2 симметричны относительно оси Ох М1 (cos ?, sin ?), M2 (cos (- ?), sin(?)). Значит (1) sin(-?)=-sin ? (2) cos(-?)=cos ? Используя определения тангенса и котангенса (3) tg (-?)=tg ? (4) ctg (-?)= -ctg ? Формулы 1-2 справедливы при любых ?. Формула 3, при

Вопрос 5: Синус косинус и тангенс углов ? и –?.

Задание: 1) докажите формулу (3) самостоятельно

2) выясните знаки синуса, косинуса и тангенса углов:а) , б) 745°, в)-

Вопрос 5 зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и

того же угла.

?

Х

0

У

У

M

(Сos? sin ?)

Пусть т М (x;y) единичной окружности получена поворотом точки(1;0) на угол ?. Тогда по определению синуса и косинуса x=cos ?, y= sin ?. Точка М принадлежит единичной окружности, поэтому ее координаты удовлетворяют уравнению:х2+у2=1, следовательно sin2 ? +cos2 ?=1. (1) Равенство (1) выполняется при любых значениях ? и называется основным тригонометрическим тождеством. Зависимость между тангенсом и котангенсом определяется равенством: (2) tg ? · ctg ?=1,

Задача

Решение: sin2? + cos2 ?=1, sin2 ?= 1- cos2?.

Дано: Найти: sin ?

Дано: tg ? = 13 Найти: ctg ?

Решение: tg ? ·ctg?=1, следовательно ctg ?=

Итог урока:

Чему равна радианная мера угла, градусная мера угла? Какой угол называется углом в один радиан? Что называют синусом, косинусом, тангенсом произвольного угла ?? Каким равенством определяется зависимость между синусом и косинусом одного и того же угла? Как называется это равенство? Каким равенством определяется зависимость между тангенсом и котангенсом одного и того же угла?

Математический диктант

30° 135°

(0;1), (-1;0),(-1;0), (1,0)

(-1;0), (0;-1), (0;-1),(0;-1)

1вариант 1. Найдите радианную меру угла. 2 вариант 40? 1500 ответ: ответ: 2. Найдите градусную меру угла ответ: ответ: 3.найдите координаты точки, полученной поворотом т(1,0) единичной окружности на угол ответ: ответ:

1вариант

4.Вычислите: 2 вариант.

1) cos00+3sin 900= 1) cos1800+5sin900= =1+3·1=1 =-1+5·1=5 2) sin 2700-2cos 1800= 2) sin1800-3cos00= =-1+2=1 =0-3=-3 3) 1+ctg2700-5tg3600= 3) sin600+cos300= =1+0+0=1 4) sin300+cos600= 4)tg3600-2ctg2700+3= =0- 0+3=3