Стереометрия
<<  Аксиомы стереометрии Изображение пространственных фигур на плоскости  >>
Все аксиомы и теоремы стереометрии
Все аксиомы и теоремы стереометрии
Содержание:
Содержание:
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Простейшие следствия из аксиом стереометрии
Простейшие следствия из аксиом стереометрии
Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Аксиомы стереометрии
Дано: прямая а, Доказать: Доказательство: 1)Возьмём (по I) 2) Проведём
Дано: прямая а, Доказать: Доказательство: 1)Возьмём (по I) 2) Проведём
Теорема 15
Теорема 15
Доказательство: 1) Возьмём
Доказательство: 1) Возьмём
Следствие из Теоремы 15
Следствие из Теоремы 15
Теорема 15
Теорема 15
Доказательство:
Доказательство:
А
А
А
А
А
А
Признак параллельности прямых
Признак параллельности прямых
Доказательство:
Доказательство:
Х
Х
Признак параллельности прямой и плоскости
Признак параллельности прямой и плоскости
1) (по определению параллельных)
1) (по определению параллельных)
Признак параллельности плоскостей
Признак параллельности плоскостей
А
А
А
А
А
А
Дано: Доказать:
Дано: Доказать:
Дополнительное построение:
Дополнительное построение:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Доказательство:
Теорема 17
Теорема 17
Дополнительное построение:
Дополнительное построение:
Доказательство:
Доказательство:
Теорема 17
Теорема 17
Дополнительное построение:
Дополнительное построение:
Доказательство:
Доказательство:
Доказать:
Доказать:
Доказательство:
Доказательство:
Теорема 17
Теорема 17
Доказательство:
Доказательство:
Теорема 17
Теорема 17
Доказательство:
Доказательство:

Презентация на тему: «Все аксиомы и теоремы стереометрии». Автор: ***. Файл: «Все аксиомы и теоремы стереометрии.ppt». Размер zip-архива: 682 КБ.

Все аксиомы и теоремы стереометрии

содержание презентации «Все аксиомы и теоремы стереометрии.ppt»
СлайдТекст
1 Все аксиомы и теоремы стереометрии

Все аксиомы и теоремы стереометрии

Белгород , БМТК

2 Содержание:

Содержание:

Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия Параллельность прямых и плоскостей Перпендикулярность прямых и плоскостей

3 Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

4 Простейшие следствия из аксиом стереометрии

Простейшие следствия из аксиом стереометрии

Теорема 15.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Теорема 15.2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости. Теорема 15.3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

5 Параллельность прямых и плоскостей

Параллельность прямых и плоскостей

Теорема 16.1: Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну. Теорема 16.2: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны Теорема 16.3: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой - нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. Теорема 16.4: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны. Теорема 16.5: Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

6 Перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Теорема 17.1: Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны. Теорема 17.2: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Теорема 17.3: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Теорема 17.4: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны. Теорема 17.5: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной. Теорема 17.6: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

7 Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

С1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.

8 Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

С2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.

9 Аксиомы стереометрии

Аксиомы стереометрии

С3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

10 Дано: прямая а, Доказать: Доказательство: 1)Возьмём (по I) 2) Проведём

Дано: прямая а, Доказать: Доказательство: 1)Возьмём (по I) 2) Проведём

прямую АВ, 3)Через прямые АВ и а проведём плоскость - (по С3) Теорема доказана.

Теорема 15.1: Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну.

11 Теорема 15

Теорема 15

2: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Дано: прямая , плоскость . Доказать:

12 Доказательство: 1) Возьмём

Доказательство: 1) Возьмём

3)

Теорема доказана.

Теорема 15.2

13 Следствие из Теоремы 15

Следствие из Теоремы 15

2: Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.

14 Теорема 15

Теорема 15

3: Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

15 Доказательство:

Доказательство:

Теорема доказана.

Теорема 15.3

16 А

А

Дано: прямая a, т.А а

Теорема 16.1: Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную этой прямой, и притом только одну.

Доказать: I) II)

17 А

А

Доказать: I) II)

Доказательство: I) 1) Проведём плоскость через прямую а и т.А ( по Т.15.1)

2) Через т.А проведём прямую

Существование доказано.

Теорема 16.1

18 А

А

Теорема доказана.

Теорема 16.1

19 Признак параллельности прямых

Признак параллельности прямых

b

c

Дано: Доказать:

Теорема 16.2: Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны.

Рассмотрим случай, когда прямые не принадлежат одной плоскости.

20 Доказательство:

Доказательство:

b

c

Теорема 16.2

21 Х

Х

5) Предположим, что следовательно,

6) Но по условию . Значит, наше предположение (п.5) не верно, и значит

7) Значит,

Что и требовалось доказать.

Теорема 16.2

22 Признак параллельности прямой и плоскости

Признак параллельности прямой и плоскости

Дано: плоскость

Доказать:

Теорема 16.3: Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой - нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

23 1) (по определению параллельных)

1) (по определению параллельных)

Доказательство:

2) Пусть , то есть Тогда , а значит

Но по условию и следовательно,

Теорема доказана.

Теорема 16.3

24 Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскостей

А

c

Дано:

Доказать:

Теорема 16.4: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

25 А

А

c

Доказательство: 1) Пусть 2) (по Т.16.3) 3) Прямые не пере- секают прямую с и лежат с ней в одной плоскости, а значит, 4) Следовательно, через т.А в плоскости проходит 2 прямых, параллельных данной, а это противоречит аксиоме параллельных. Наше предположение (п.1) неверно, и значит,

Теорема доказана.

Теорема 164

26 А

А

Существование плоскости, параллельной данной плоскости

Дано: плоскость

Доказать: 1) 2) (единственность мы доказывать не будем)

Теорема 16.5: Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

27 А

А

В

Доказательство:

1) Возьмём произвольные прямые

2) Через точку А проведём прямые такие, что

3) Проведём плоскость через прямые

4) По Т.16.4 .

Теорема доказана.

Теорема 16.5

28 Дано: Доказать:

Дано: Доказать:

Теорема 17.1: Если две пересекающиеся прямые параллельны соответственно двум перпендикулярным прямым, то они тоже перпендикулярны.

29 Дополнительное построение:

Дополнительное построение:

1)

2) В плоскости параллельных прямых проведём прямую ,

3) Аналогично проведём прямую ,

4) Проведём отрезки и .

Теорема 17.1

30 Доказательство:

Доказательство:

Теорема 17.1

Так как по построению и ,то по теореме 16.2

2) Плоскости и параллельны по теореме 16.4.

3) Рассмотрим четырёхугольник -по условию -по построению

Параллелограмм

4) Рассмотрим четырёхугольник -по условию -по построению

Параллелограмм

31 Доказательство:

Доказательство:

Теорема 17.1

5) Рассмотрим четырёхугольник -из 1) -по 1-му свойству параллельных плоскостей

Параллелограмм

6) Рассмотрим Они равны по 3-м сторонам.

А значит,

Теорема доказана.

32 Теорема 17

Теорема 17

2: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости.

33 Дополнительное построение:

Дополнительное построение:

Теорема 17.2

34 Доказательство:

Доказательство:

Теорема 17.2

По 3 призн.,

35 Теорема 17

Теорема 17

3: Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

36 Дополнительное построение:

Дополнительное построение:

1) Проведём в плоскости через точку В произвольную прямую

2) Проведём в плоскости прямую

3) Так как , то по определению перпендикулярности прямой и плоскости.

Теорема 17.3

37 Доказательство:

Доказательство:

1) и

По условию -по построению

По теореме 17.1.

Но так как выбор прямой был произволен, то

Теорема доказана.

Теорема 17.3

38 Доказать:

Доказать:

Теорема 17.4: Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны.

39 Доказательство:

Доказательство:

Предположим противное - прямая не параллельна .

Возьмём на прямой какую-нибудь т. и проведём через неё прямую .

- По теореме 17.3

Через т. Проходят 2 пересекающиеся прямые, перпендикулярные .

Пришли к противоречию, а значит, . Теорема доказана.

Теорема 17.4

40 Теорема 17

Теорема 17

5: Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна наклонной.

41 Доказательство:

Доказательство:

1) Проведём

2) По теореме 17.3:

3) Проведём плоскость через прямые и

4) - по построению, - по условию,

, А значит,

Теорема доказана.

Теорема 17.5

42 Теорема 17

Теорема 17

6: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны

43 Доказательство:

Доказательство:

1)

2) Проведём на пл. через т. О прямую

3) Проведём плоскость через прямые и .

- По построению - по условию,

(т.к. ), а значит, пл. пересекает пл-ти и по перпендикулярным прямым, по определению перпендикулярности плоскостей. Теорема доказана.

Теорема 17.6

«Все аксиомы и теоремы стереометрии»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/vse-aksiomy-i-teoremy-stereometrii-245792.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Стереометрия > Все аксиомы и теоремы стереометрии