Геометрические фигуры
<<  Как Параллелограмм родственников искал Свойства и признаки параллелограмма  >>
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами
Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами
Специфика параллелограмма
Специфика параллелограмма
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов
В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов
Специфика параллелограмма
Специфика параллелограмма
При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается
При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается
Специфика параллелограмма
Специфика параллелограмма
Специфика параллелограмма
Специфика параллелограмма
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные
Задача №1
Задача №1
По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол
По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол
Задача №2
Задача №2
Решение
Решение
Ответ: 8
Ответ: 8
Задача №3
Задача №3
Решение
Решение
Ответ: 49 cм2
Ответ: 49 cм2
Задача №4
Задача №4
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
4. AB = 30 см
4. AB = 30 см
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
Решение
Решение
3. ?AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую
3. ?AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую
Задача № 6 (МИОО 2013г
Задача № 6 (МИОО 2013г
Решение
Решение
Ответ: 9
Ответ: 9
Задача № 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины
Задача № 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины
Ответ: 6
Ответ: 6
Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
Использованные источники
Использованные источники

Презентация: «Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций». Автор: VerNata. Файл: «Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций.pptx». Размер zip-архива: 437 КБ.

Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций

содержание презентации «Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций.pptx»
СлайдТекст
1 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН

МАТЕМАТИКА 9 КЛАСС МОДУЛЬ ГЕОМЕТРИЯ (часть 2) Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций

Учитель математики МОУ СОШ им. А.С. Попова г.о. Власиха Московской области Вершинина Наталия Владимировна

2 Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его

Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его

диагоналей на синус угла между ними:

3 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
4 Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами

Середины сторон выпуклого четырёхугольника являются вершинами

параллелограмма, площадь которого равна половине площади данного четырёхугольника.

5 Специфика параллелограмма

Специфика параллелограмма

Диагонали параллелограмма делят его на две пары равных треугольников; площади всех этих треугольников равны между собой.

6 В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов

В параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов

всех его cторон: d12 + d22 = 2(a2 +b2)

Специфика параллелограмма

7 Специфика параллелограмма

Специфика параллелограмма

3. Биссектрисы углов, прилежащих к любой из сторон параллелограмма, перпендикулярны.

8 При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается

При проведении биссектрисы любого угла параллелограмма получается

равнобедренный треугольник.

Специфика параллелограмма

9 Специфика параллелограмма

Специфика параллелограмма

Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом. 3. Параллелограмм, диагонали которого являются биссектрисами его углов, является ромбом.

10 Специфика параллелограмма

Специфика параллелограмма

Параллелограмм, имеющий равные высоты, является ромбом.

5. Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

6. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны и равны, является квадратом.

11 Специфика трапеций

Специфика трапеций

Диагонали трапеции, пересекаясь, образуют четыре треугольника, два из которых равновелики, а два других – подобны с коэффициентом подобия равным отношению оснований трапеции. ?OAD~ ?OCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2, где k = AD:BC = OA:OC = OD:OB.

12 Специфика трапеций

Специфика трапеций

2. SBAD = SCAD, SABC = SDBC (как площади треугольников, имеющих cоответственно одинаковые основания и высоты).

3. SOAB = SOCD (т.К. Soab = sabc – sobc = sdbc – sobc= socd).

4. SBAD : SDBC = AD : BC (SBAD = 0,5·AD·h, SDBC = 0,5·BC·h).

13 Специфика трапеций

Специфика трапеций

5. Диагонали трапеции делят её на четыре треугольника так, что произведение площадей тех из них, которые прилежат к основаниям, равно квадрату площади треугольника, прилежащего к любой из боковых сторон трапеции: S1S2 = S2. (SOAD =S1=0,5·OB·OC·sin ?, SOCB = S2 =0,5·OA·OD·sin ?, SOAB =S=0,5·OA·OB·sin(180° – ?)=0,5·OA·OB·sin ?, SOCD =S=0,5·OC·OD·sin(180° – ?)=0,5·OA·OB·sin ?, тогда S1S2 = S2).

14 Специфика трапеций

Специфика трапеций

6. Биссектрисы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, перпендикулярны (следует из того факта, что сумма этих углов равна 180° как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

7. Точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон, середина верхнего и середина нижнего основания – лежат на одной прямой.

15 Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

построения в задачах на трапецию.

Построение 1 Через вершину меньшего основания трапеции провести прямую, параллельную её боковой стороне, до пересечения со вторым основанием; трапеция разбивается на параллелограмм и треугольник.

16 Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

построения в задачах на трапецию

Построение 2 Из вершины С меньшего основания трапеции ABCD провести прямую CE, параллельную диагонали BD, до пересечения с AD в точке E; получится треугольник ACE, две стороны которого равны диагоналям трапеции, а длина третьей равна сумме длин оснований трапеции AE = AD + DE. При этом площадь трапеции ABCD равна площади образованного треугольника ACE: SABCD = SACE

17 Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

Специфика трапеций Основные (наиболее распространённые) дополнительные

построения в задачах на трапецию

Построение 3 Из вершин меньшего основания трапеции опустить две высоты BH1 и CH2.

Построение 4 Достроить трапецию ABCD до треугольника APD, вершина Р которого образуется при пересечении продолжений боковых сторон трапеции.

18 Задача №1

Задача №1

(Тренировочные варианты Иркутск 2013г.) Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны.

19 По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол

По условию КТ = РН; значит, параллелограмм КРТН – прямоугольник, угол

КРТ – прямой; следовательно, угол между диагоналями ВD и АС тоже прямой, а значит, SABCD = 0,5· ВD· АС = 0,5 · 3 · 4 = 6. Ответ: 6.

Решение. Точки K, Р, Т, Н середины сторон четырёхугольника ABCD. Отрезки АС и ВD – диагонали четырёхугольника ABCD.

2. По свойству средней линии треугольника отрезки КН и РТ параллельны диагонали ВD и равны её половине; отрезки КР и НТ параллельны диагонали АС и равны её половине. Значит, КРТН – параллелограмм.

20 Задача №2

Задача №2

(ФИПИ 2014г.) На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 24, а площадь четырёхугольника РКСD равна 10. Найдите площадь треугольника АРD.

21 Решение

Решение

?AВD = ?CDB (по трём равным сторонам). SAВD = SCDB = 0,5·SAВCD = =0,5·24=12; SКРB = SCDB – SPKCD = 12 – 10 = 2

2. ?APD~ ?KPB (по двум равным углам); SAРD : SKPB = k2; AP=k·PK, DP=k·PB

3. ?AВP и ?ВPK имеют общую высоту из вершины В, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAВP : SKPB = АP : PK = k (из п.2)

4. ?APD и ?ABP имеют общую высоту из вершины A, значит, отношение их площадей равно отношению их оснований, т.е. SAP D : SAВP = DP : PB = k (из п.2)

22 Ответ: 8

Ответ: 8

5. Из п.3 и п.1 SAВP = k·SKPB = 2k

6. Из п.4 и п.5 SAPD = k·SABP = k·2k = 2k2

SABD = SAВP + SAPD = 2k + 2k2 . Из п.1 следует 2k + 2k2 = 12. Корни уравнения k2 + k – 6 = 0 числа –3 и 2; по смыслу задачи k = 2.

8. SAPD = 2k2 = 2·22 = 8.

23 Задача №3

Задача №3

(МИОО 2013г.) Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников OАD и OCВ равны соответственно 16 см2 и 9 см2. Найдите площадь трапеции.

24 Решение

Решение

По условию SOAD не равна SOCB , значит, AD и BC – основания трапеции ABCD.

2. ?OAD~ ?OCB (по двум равным углам), SOAD : SOCB = k2 =16:9, где k = 4:3 = OA:OC.

25 Ответ: 49 cм2

Ответ: 49 cм2

4. SBAD = SCAD , т. к. эти треугольники имеют общее основание AD и их высоты, проведённые к этому основанию, равны как высоты трапеции. Значит, SOAB = SABC – SOBC = SDBC – SOBC= SOCD , т. е. SOCD = SOAB = 12.

5. SAВCD = SOAD + SOCB + SOCD + SOAB =16 + 9 + 12 +12 = 49 cм2.

26 Задача №4

Задача №4

(МИОО 2010г.) Прямая, параллельная основаниям MP и NK трапеции MNKP, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны MN и KP в точках A и B соответственно. Найдите длину отрезка AB, если MP=40 см, NK=24 см.

27 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
28 4. AB = 30 см

4. AB = 30 см

Ответ: 30 см.

29 ГОСУДАРСТВЕННАЯ ИТОГОВАЯ АТТЕСТАЦИЯ ОСНОВНОЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН
30 Решение

Решение

1. Пусть точка F – точка пересечения прямых CE и AD. Тогда ABCF – параллелограмм (по определению параллелограмма ). BF – диагональ параллелограмма делит его на два равных треугольника; SFCB = 0,5·SABCF

31 3. ?AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую

3. ?AВE и параллелограмм ABCF имеют одно и то же основание AB и общую

высоту, проведённую к AB. Значит, SАВЕ = 0,5·SABCF = SDCB = 15. Ответ: 15.

2. SDCB = SFCB (как площади треугольников, имеющих общее основание и одинаковую высоту – высоту трапеции). Значит, SDCB = SFCB = 0,5·SABCF = 15.

32 Задача № 6 (МИОО 2013г

Задача № 6 (МИОО 2013г

) В равнобедренной трапеции ABCD боковые стороны равны меньшему основанию BC. К диагоналям трапеции провели перпендикуляры BH и CE. Найдите площадь четырёхугольника BCEH, если площадь трапеции ABCD равна 36.

33 Решение

Решение

По свойству равнобедренной трапеции AC=BD, следовательно, треугольники ABC и DCB равны. Так как AB=BC=CD, треугольники ABC и DCB равнобедренные, следовательно, BH и CE – соответствующие медианы этих треугольников. Значит, AH=HC=BE=ED. Отрезок HE соединяет середины диагоналей трапеции, cледовательно, прямые HE, AD и BC параллельны, поэтому, BCEH – трапеция.

34 Ответ: 9

Ответ: 9

35 Задача № 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины

Задача № 7. Диагонали трапеции 3 и 5; отрезок, соединяющий середины

оснований 2. Найдите площадь трапеции.

Решение. 1. Дополнительное построение: СМ параллельна KL, CF параллельна BD. 2. Из построения следует: LKCM и DBCF параллелограммы; LM = KC = 0,5·BC, DF= BC, AM = AL+LM = 0,5· AD + 0,5·BC. 3. CM – медиана треугольника ACF. По формуле медианы

36 Ответ: 6

Ответ: 6

Полупериметр треугольника ACF равен

Пусть h – высота трапеции ABCD или треугольника ACF. Тогда SABCD = 0,5·(AD+BC)·h = 0,5·(AD+DF)·h = 0,5·AF·h = SACF=6.

37 Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

1. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон равны. 2. В выпуклом четырёхугольнике ABCТ длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CТ, равна одному метру. Прямые BТ и AC перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BТ. 3. На стороне ВC параллелограмма ABCD выбрана точка К. Отрезки АК и ВD пересекаются в точке Р. Площадь параллелограмма ABCD равна 80, а площадь четырёхугольника РКСD равна 31. Найдите площадь треугольника АРD.

38 Задачи для самостоятельного решения

Задачи для самостоятельного решения

4. Диагонали AC и BD трапеции ABCD пересекаются в точке О. Площади треугольников АOD и ВOC равны соответственно 25 см2 и 16 см2. Найдите площадь трапеции. 5. Прямая, параллельная основаниям BC и AD трапеции ABCD, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны AB и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка ЕF , если AD= =12 см, ВC=24 см. 6. В трапеции ABCD (AD параллельна BC, AD > BC) на диагонали AC выбрана точка Е так, что ВЕ параллельна CD. Площадь треугольника АВC равна 10. Найдите площадь треугольника DЕC.

39 Использованные источники

Использованные источники

? А.С. Зеленский, И.И. Панфилов «Геометрия в задачах». Учебное пособие для учащихся старших классов и поступающих в вузы. – Москва, НТЦ «Университетский» УНИВЕР-ПРЕСС, 2008. ? И.В. Ященко, С.А. Шестаков и др. Математика. 9 класс. Типовые тестовые задания. – «Экзамен», Москва, 2013. ? Образовательный портал для подготовки к экзаменам РЕШУ ЕГЭ ? http://pedsovet.su/load/321 ? http://www.mathvaz.ru/ ? http://alexlarin.net/

«Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/vypuklye-chetyrjokhugolniki-spetsifika-parallelogrammov-spetsifika-trapetsij-176294.html
cсылка на страницу

Геометрические фигуры

20 презентаций о геометрических фигурах
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Геометрические фигуры > Выпуклые четырёхугольники Специфика параллелограммов Специфика трапеций