Треугольник
<<  Четыре замечательные точки треугольника Биссектриса угла  >>
Замечательные точки треугольника
Замечательные точки треугольника
Высоты треугольника
Высоты треугольника
Замечание
Замечание
Теорема
Теорема
Точки
Точки
Высоты тупоугольного треугольника
Высоты тупоугольного треугольника
Точка пересечения высот
Точка пересечения высот
Точка пересечения медиан
Точка пересечения медиан
Медианы треугольника
Медианы треугольника
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения биссектрис
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения медиан
Постройте точку пересечения
Постройте точку пересечения
Постройте точку
Постройте точку
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения прямых
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника
Точка пересечения биссектрис
Точка пересечения биссектрис
Точка пересечения медиан треугольника
Точка пересечения медиан треугольника
Точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника
Точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника
Вершина треугольника
Вершина треугольника
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Точка пересечения серединных перпендикуляров
Биссектриса треугольника
Биссектриса треугольника
Центр описанной окружности
Центр описанной окружности
Ортоцентр
Ортоцентр
Центр вписанной окружности
Центр вписанной окружности
Углы
Углы
Биссектрисы
Биссектрисы
Найдите угол
Найдите угол
Найдите угол между высотами
Найдите угол между высотами
Медиана прямоугольного треугольника
Медиана прямоугольного треугольника
Медиана треугольника
Медиана треугольника
Гипотенуза
Гипотенуза
Радиус окружности
Радиус окружности
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник
Медиана, проведенная к гипотенузе
Медиана, проведенная к гипотенузе
Проекции двух сторон
Проекции двух сторон
Основания трапеции
Основания трапеции
Высоты
Высоты
Упражнение 30
Упражнение 30
Упражнение 31
Упражнение 31
Центр
Центр
Окружность Эйлера
Окружность Эйлера
Решение
Решение
Изобразите окружность
Изобразите окружность
Изобразите окружность Эйлера
Изобразите окружность Эйлера
Точка Торричелли
Точка Торричелли
Равносторонний треугольник
Равносторонний треугольник
Равносторонние треугольники
Равносторонние треугольники
Центры окружностей
Центры окружностей

Презентация на тему: «Задачи на замечательные точки треугольника». Автор: *. Файл: «Задачи на замечательные точки треугольника.ppt». Размер zip-архива: 604 КБ.

Задачи на замечательные точки треугольника

содержание презентации «Задачи на замечательные точки треугольника.ppt»
СлайдТекст
1 Замечательные точки треугольника

Замечательные точки треугольника

К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис – центр вписанной окружности; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон – центр вписанной окружности; в) точка пересечения высот или их продолжений – ортоцентр; г) точка пересечения медиан – центроид.

2 Высоты треугольника

Высоты треугольника

Теорема 1

Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке.

В самом деле, СЕ = АВ и АВ = СD как противоположные стороны параллелограммов АЕСВ и АСDB. Следовательно, ЕС = СD. Точно так же FB = BD, FA = AE. Отсюда следует, что высоты треугольника АВС лежат на серединных перпендикулярах к сторонам треугольника DEF. Так как серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, то и высоты треугольника ABC или их продолжения пересекаются в одной точке.

3 Замечание

Замечание

Заметим, что высоты треугольника могут не пересекаться. На рисунке изображен тупоугольный треугольник ABC, в котором продолжения высот AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке H, а сами высоты не пересекаются.

4 Теорема

Теорема

Теорема 2

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2 : 1, считая от вершин.

Треугольники HGO и EDO равны (по второму признаку равенства треугольников). Следовательно, HO = OE и GO = OD. Таким образом, имеем AG = GO = OD, BH = HO = OE, т.е. медианы АD и BE в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от соответствующей вершины. Медиана, проведенная из вершины С, также должна делить медиану АD в отношении 2:1. Следовательно, она будет проходить через точку О, т.е. все три медианы будут пересекаться в одной точке.

5 Точки

Точки

Вопрос 1

Какие точки относятся к числу замечательных точек в треугольнике?

Ответ: К числу замечательных точек треугольника относятся: а) точка пересечения биссектрис; б) точка пересечения серединных перпендикуляров сторон; в) точка пересечения высот или их продолжений; г) точка пересечения медиан.

6 Высоты тупоугольного треугольника

Высоты тупоугольного треугольника

Вопрос 2

Всегда ли высоты треугольника пересекаются?

Ответ: Нет. Высоты тупоугольного треугольника не пересекаются.

7 Точка пересечения высот

Точка пересечения высот

Вопрос 3

Как называется точка пересечения высот?

Ответ: Ортоцентр.

8 Точка пересечения медиан

Точка пересечения медиан

Вопрос 4

Как называется точка пересечения медиан?

Ответ: Центроид.

9 Медианы треугольника

Медианы треугольника

Вопрос 5

В каком отношении делятся медианы треугольника точкой их пересечения?

Ответ: 2:1, считая от вершин.

10 Постройте точку пересечения биссектрис

Постройте точку пересечения биссектрис

Упражнение 1

Постройте точку пересечения биссектрис треугольника ABC.

11 Постройте точку пересечения медиан

Постройте точку пересечения медиан

Упражнение 2

Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.

12 Постройте точку пересечения

Постройте точку пересечения

Упражнение 3

Постройте точку пересечения медиан треугольника ABC.

13 Постройте точку

Постройте точку

Упражнение 4

Постройте точку пересечения высот треугольника ABC.

14 Постройте точку пересечения прямых

Постройте точку пересечения прямых

Упражнение 5

Постройте точку пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника ABC.

15 Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров

Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров

Упражнение 6

Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.

16 Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Упражнение 7

Постройте точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника ABC.

17 Точка пересечения биссектрис

Точка пересечения биссектрис

Упражнение 8

Может ли точка пересечения биссектрис треугольника находиться вне этого треугольника?

Ответ: Нет.

18 Точка пересечения медиан треугольника

Точка пересечения медиан треугольника

Упражнение 9

Может ли точка пересечения медиан треугольника находиться вне этого треугольника?

Ответ: Нет.

19 Точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника

Точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника

Упражнение 10

Может ли точка пересечения высот или их продолжений находиться вне этого треугольника?

Ответ: Да, у тупоугольного треугольника.

20 Вершина треугольника

Вершина треугольника

Упражнение 11

Может ли вершина треугольника быть точкой пересечения его высот?

Ответ: Да, у прямоугольного треугольника.

21 Точка пересечения серединных перпендикуляров

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Упражнение 12

Где находится точка пересечения серединных перпендикуляров для: а) прямоугольного треугольника; б) остроугольного треугольника; в) тупоугольного треугольника?

Ответ: а) В середине гипотенузы;

Б) внутри треугольника;

В) вне треугольника.

22 Биссектриса треугольника

Биссектриса треугольника

Упражнение 13

Может ли одна биссектриса треугольника проходить через середину другой?

23 Центр описанной окружности

Центр описанной окружности

Упражнение 14

К какой из сторон треугольника ближе расположен центр описанной окружности?

Ответ: К большей стороне.

24 Ортоцентр

Ортоцентр

Упражнение 15

К какой из сторон треугольника ближе расположен ортоцентр?

Ответ: Ортоцентр треугольника расположен ближе к меньшей стороне.

25 Центр вписанной окружности

Центр вписанной окружности

Упражнение 16

К какой из вершин треугольника ближе расположен центр вписанной окружности?

Ответ: К вершине, лежащей против большей стороны.

26 Углы

Углы

Упражнение 17

Углы В и С треугольника АВС равны соответственно 10о и 100о. Найдите углы ВОС и СОА, где О - центр описанной окружности.

Ответ: 140о, 20о.

27 Биссектрисы

Биссектрисы

Упражнение 18

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы АСО и ВСО, если AOB = 136о.

Ответ: 46о и 46о.

28 Найдите угол

Найдите угол

Упражнение 19

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите угол АOB, если ACB = 50о.

Ответ: 115о.

29 Найдите угол между высотами

Найдите угол между высотами

Упражнение 20

Углы треугольника АВС равны соответственно 40о, 60о и 80о. Найдите угол между высотами АA1 и BB1.

Ответ: 80о.

30 Медиана прямоугольного треугольника

Медиана прямоугольного треугольника

Упражнение 21

Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство. следует из того, что центром окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является середина гипотенузы.

31 Медиана треугольника

Медиана треугольника

Упражнение 22

Докажите, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то этот треугольник прямоугольный.

Доказательство. В этом случае основание M медианы равноудалено от вершин треугольника и, следовательно, является центром описанной окружности. Угол C опирается на диаметр AB, следовательно, равен 90о.

32 Гипотенуза

Гипотенуза

Упражнение 23

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности.

Ответ: 2.

33 Радиус окружности

Радиус окружности

Упражнение 24

Найдите радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, высота которого равна 6.

Ответ: 2.

34 Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник

Упражнение 25

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 3. Найдите высоту этого треугольника.

Ответ: 9.

35 Медиана, проведенная к гипотенузе

Медиана, проведенная к гипотенузе

Упражнение 26

Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 и делит прямой угол в отношении 1:2. Найдите меньший катет треугольника.

Ответ: 3.

36 Проекции двух сторон

Проекции двух сторон

Упражнение 27

Проекции двух сторон остроугольного треугольника АВС на прямую АС имеют длины 6 см и 4 см. Какую длину имеют проекции медиан этого треугольника на ту же прямую?

Ответ: 1 см, 7 см и 8 см.

37 Основания трапеции

Основания трапеции

Упражнение 28

Основания трапеции равны 20 и 8, углы при большем основании равны 40о и 50о. Найдите отрезок, соединяющий середины оснований.

Ответ: 6.

38 Высоты

Высоты

Упражнение 29

Докажите, что если AA1, BB1 – высоты треугольника ABC, то угол A1AC равен углу B1BC.

Доказательство. Прямоугольные треугольники A1AC и B1BC имеют общий острый угол C. Следовательно, равны и два других их острых угла A1AC и B1BC.

39 Упражнение 30

Упражнение 30

Докажите, что если AA1, BB1 – высоты треугольника ABC, то угол B1A1C равен углу BAC.

40 Упражнение 31

Упражнение 31

Докажите, что если AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC, то угол A1C1C равен углу B1C1C.

41 Центр

Центр

Упражнение 32

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB1 и CC1, BC = 24, B1C1 = 12, O – центр вписанной окружности. Найдите угол BOC.

42 Окружность Эйлера

Окружность Эйлера

Пусть в треугольнике ABC точки A1, B1, C1 обозначают середины сторон противоположных соответствующим вершинам; H – точка пересечения высот треугольника; A2, B2, C2 – основания высот, опущенных из соответствующих вершин; A3, B3, C3 – середины отрезков AH, BH и CH. Докажите, что точки A1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 принадлежат одной окружности, называемой окружностью девяти точек, или окружностью Эйлера.

Решение дано на следующем слайде.

43 Решение

Решение

Проведем окружность через точки C1, C2, C3. Отрезок C1C3 будет ее диаметром. Так как A1C1 – средняя линия треугольника ABC, то A1C1 || AC. Так как A1C3 – средняя линия треугольника BCH, то A1C3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A1 принадлежит этой окружности.

Аналогично, Так как A3C3 – средняя линия треугольника AHC, то A3C3 || AC. Так как C1A3 – средняя линия треугольника ABH, то C1A3 || BH. Значит, и, следовательно, точка A3 принадлежит этой окружности.

A1C1A3C3 – прямоугольник и, значит, A1A3 – диаметр окружности. Так как , то A2 принадлежит окружности. Таким образом, мы доказали, что этой окружности принадлежат точки A1, A2, A3. Аналогично доказывается, что этой окружности принадлежат точки B1, B2, B3.

44 Изобразите окружность

Изобразите окружность

Окружность Эйлера 2

Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC. Найдите ее радиус.

45 Изобразите окружность Эйлера

Изобразите окружность Эйлера

Окружность Эйлера 3

Изобразите окружность Эйлера для треугольника ABC.

46 Точка Торричелли

Точка Торричелли

Точкой Торричелли треугольника ABC называется такая точка O, из которой стороны данного треугольника видны под углом 120о, т.е. углы AOB, AOC и BOC равны 120о. Докажите, что в случае, если все углы треугольника меньше 120о, точка Торричелли существует.

Решение дано на следующем слайде.

47 Равносторонний треугольник

Равносторонний треугольник

Решение

На стороне AB треугольника ABC построим равносторонний треугольник ABC', и опишем около него окружность. Отрезок AB стягивает дугу этой окружности величиной 120о. Следовательно, из точек этой дуги, отличных от A и B, отрезок AB виден под углом 120о.

Аналогично, на стороне BC треугольника ABC построим равносторонний треугольник A’BC, и опишем около него окружность. Из точек соответствующей дуги, отличных B и C, отрезок BC виден под углом 120о. В случае, когда углы треугольника меньше 120о, эти дуги пересекаются в некоторой внутренней точке O, из которой стороны треугольника ABC видны под углом 120о.

48 Равносторонние треугольники

Равносторонние треугольники

Упражнение 35

На сторонах треугольника ABC, углы которого меньше 120о, во внешнюю сторону от него построили равносторонние треугольники. Докажите, что отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника и противоположные им вершины равносторонних треугольников, пересекаются в одной точке.

Решение. Докажем, что искомой точкой пересечения является точка Торричелли O.

49 Центры окружностей

Центры окружностей

Упражнение 36

На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону от него построили равносторонние треугольники. Докажите, что центры окружностей, описанных около этих треугольников, являются вершинами равностороннего треугольника.

«Задачи на замечательные точки треугольника»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/zadachi-na-zamechatelnye-tochki-treugolnika-59733.html
cсылка на страницу
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Треугольник > Задачи на замечательные точки треугольника