Треугольник
<<  Задачи на среднюю линию треугольника Замечательные точки треугольника  >>
Четыре замечательные точки треугольника
Четыре замечательные точки треугольника
Стороны угла
Стороны угла
Доказательство
Доказательство
Следствие
Следствие
Прямая, проходящая через середину данного отрезка
Прямая, проходящая через середину данного отрезка
Точка серединного перпендикуляра
Точка серединного перпендикуляра
Серединный перпендикуляр к отрезку
Серединный перпендикуляр к отрезку
Перпендикуляры
Перпендикуляры
Противоположные стороны
Противоположные стороны
Прямая
Прямая
Биссектрисы
Биссектрисы

Презентация: «Замечательные точки треугольника». Автор: student. Файл: «Замечательные точки треугольника.ppt». Размер zip-архива: 120 КБ.

Замечательные точки треугольника

содержание презентации «Замечательные точки треугольника.ppt»
СлайдТекст
1 Четыре замечательные точки треугольника

Четыре замечательные точки треугольника

в Оглавление

2 Стороны угла

Стороны угла

Теорема №1

1 т.Е равноудалена от прямых, содержащих стороны угла.

Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон1. Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудалена от его сторон угла, лежит на его биссектрисе.

в Оглавление

3 Доказательство

Доказательство

?АМК = ?АМL (т. к. АМ -общая гипотенуза, МК = МL) ? ?ВАМ = ?МАС ? луч АМ- биссектриса ?ВАС

М

1) Возьмем произвольную точку М на биссектрисе ?ВАС

Мк ? ав, мl ? ac.

МК = МL (т.к ?АМК = ?АМL по гипотенузе и острому углу).

2) Точка М лежит внутри ?ВАС и равноудалена от его сторон АВ, АС.

В

К

А

L

С

в Оглавление

4 Следствие

Следствие

О - точка пересечения биссектрис АА1, ВВ1 ?АВС.

Проведем ОК ? АВ, ОL ? ВС, ОМ ? СА. ОК = ОМ и ОК = ОL ? ОМ = ОL.

т.е точка О равноудалена от сторон ?АВС ? О ? биссектрисе СС1 этого угла, ? ВВ1 ? СС1 ? АА1 = О

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

В

К

С1

А1

О

L

А

С

В1

М

в Оглавление

5 Прямая, проходящая через середину данного отрезка

Прямая, проходящая через середину данного отрезка

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

А

А

В

в Оглавление

6 Точка серединного перпендикуляра

Точка серединного перпендикуляра

Теорема №2

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Обратно: каждая точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

в Оглавление

7 Серединный перпендикуляр к отрезку

Серединный перпендикуляр к отрезку

Доказательство

1) Прямая m- серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Точка О - середина этого отрезка.

Докажем, что АМ = МВ.

?АМО = ?МОВ (по двум катетам) ? АМ = МВ

2) Точка N равноудалена от концов отрезка.

Докажем, что точка N лежит на прямой m.

?АNВ - равноб. (т.к АN = NВ). NО - медиана и высота ? NO ? АВ, поэтому прямые ОN и m совпадают, т.е N- точка прямой m.

М

А

В

О

m

m

O

A

B

N

в Оглавление

8 Перпендикуляры

Перпендикуляры

Следствие

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство: m ? ВА, n ? ВС.

По теореме о серединном перпендикуляре ОВ = ОА и ОВ = ОС ? ОА = ОС

Т.е точка О равноудалена от концов отрезка АС и, значит, лежит на серединном перпендикуляре p к этому отрезку ? перпендикуляры m, n и p пересекаются в точке О.

В

n

m

О

А

С

Р

в Оглавление

9 Противоположные стороны

Противоположные стороны

Теорема №3

Точки А, В и С являются серединами сторон ? А2В2С2 ? АВ = А2С и СВ2 = АВ как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2 ? А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Доказательство Проведем через каждую вершину ? АВС прямые: С2В2 II ВС, С2А2 II АС, А2В2 II АВ. Получим ?А2В2С2 .

СС1 ? А2В2 , АА1 ? В2С2 и ВВ1 ? А2С2 ? АА1 ? С2В2, ВВ1 ? СС2 и СС1 ? В2А2 ? они пересекаются в одной точке.

В

А2

С2

А1

С1

С

А

В1

В2

в Оглавление

10 Прямая

Прямая

Задача №1

В треугольнике АВС, изображённом на рисунке, АС = ВС = АВ, ВМ = МС.

ВТ ? АС, ?АОС = ?ВСО. Какая из прямых СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС.

Решение

В

М

О

С

А

Т

По условию задачи ?АОС = ?ВСО и АС = ВС, т. е. отрезок СО является биссектрисой равнобедренного треугольника, а поэтому она является также медианой и высотой. Следовательно, прямая СО проходит через середину отрезка АВ и перпендикулярна к этому отрезку, т. е. является серединным перпендикуляром к стороне АВ.

в Оглавление

11 Биссектрисы

Биссектрисы

Задача №2

Биссектрисы АА1 и ВВ1 треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если ?АВМ = 360.

Решение

1) Проведём СС1 ? АВ.

2) Рассмотрим ?АСС1 = ?ВСС1 (по гипотенузе и острому углу.) ? ?А = ?В = 720 .

3)?А+?В+?С = 1800 (по теореме о сумме углов ?.) ? ?C = 360. 4)Точка М- равноудалена от вершин ?АВС. АА1 и ВВ1-биссектрисы ? СС1 является биссектрисой и они пересекаются в одной точке М ? ?ВСМ = ? АСМ = 180

В

С1

А1

М

А

С

В1

в Оглавление

«Замечательные точки треугольника»
http://900igr.net/prezentacija/geometrija/zamechatelnye-tochki-treugolnika-53600.html
cсылка на страницу

Треугольник

42 презентации о треугольнике
Урок

Геометрия

40 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по геометрии > Треугольник > Замечательные точки треугольника