Без темы
<<  Экскурсионные походы в муниципальное учреждение культуры «Белёвский районный художественно-краеведческий музей» Адрес: К.Маркса улица, дом 114, город Белёв, Тульская область, телефон (48742) 4-15-85 Электронные карты ДубльГИС, правила и возможности их использования  >>
Экспоненциальная модель «хищник-жертва»
Экспоненциальная модель «хищник-жертва»
Математическая модель
Математическая модель
Преобразование модели
Преобразование модели
Положения равновесия
Положения равновесия
Линеаризованная система
Линеаризованная система
Анализ на устойчивость положений равновесия
Анализ на устойчивость положений равновесия
Анализ на устойчивость положений равновесия
Анализ на устойчивость положений равновесия
Анализ на устойчивость положений равновесия
Анализ на устойчивость положений равновесия
Существование и устойчивость положений равновесия
Существование и устойчивость положений равновесия
Область устойчивости P2(x*; y*)
Область устойчивости P2(x*; y*)
Динамика численности «жертвы» в отсутствии «хищника»
Динамика численности «жертвы» в отсутствии «хищника»
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Динамика видов
Литература
Литература

Презентация на тему: «Экспоненциальная модель «хищник-жертва»». Автор: Семенова Елена. Файл: «Экспоненциальная модель «хищник-жертва».ppsx». Размер zip-архива: 233 КБ.

Экспоненциальная модель «хищник-жертва»

содержание презентации «Экспоненциальная модель «хищник-жертва».ppsx»
СлайдТекст
1 Экспоненциальная модель «хищник-жертва»

Экспоненциальная модель «хищник-жертва»

Существование и устойчивость положений равновесия

2 Математическая модель

Математическая модель

(1)

X(t)

Численность «жертвы» в момент времени t,

Y(t)

Численность «хищника» в момент времени t,

A, B

Постоянные коэффициенты прироста «жертвы» и «хищника» соответственно без учета взаимодействия видов, причем A > 1, 0 < B < 1;

?, ?

Положительные постоянные, учитывающие внутривидовую конкуренцию в популяциях «жертвы» и «хищника» соответственно;

?, ?

Положительные постоянные, учитывающие межвидовые взаимодействия.

2

3 Преобразование модели

Преобразование модели

Уменьшим размерность области параметров, выполнив замену При этом система (1) примет вид где

(2)

Допустимые значения параметров модели: A > 1, 0 < B < 1, a > 0, b > 0.

3

4 Положения равновесия

Положения равновесия

Найдем положения равновесия системы (2), решая систему уравнений: Положения равновесия: P0(0; 0), P1(ln A; 0), P2(x*; y*), где Положение равновесия P2 имеет смысл, если a ln A + ln B > 0.

(3)

Система (2) имеет два положения равновесия P0 и P1, если a ln A + ln B ? 0, иначе – три: P0, P1 и P2.

1) Если a ln A + ln B = 0, то P1= P2. 2) Решение (0; ln B) системы (3) не является положением равновесия системы (2), так как ln B < 0.

4

5 Линеаризованная система

Линеаризованная система

Для системы (2) в окрестности произвольного положения равновесия соответствующая линеаризованная система имеет вид: где

(4)

Положение равновесия системы (2) асимптотически устойчиво, если все собственные значения ?i матрицы линеаризованной системы (4) удовлет-воряют условию |?i | < 1.

5

6 Анализ на устойчивость положений равновесия

Анализ на устойчивость положений равновесия

Положение равновесия P0 (0; 0)

Для точки P0 система (4) принимает вид: Для собственных значений матрицы системы имеем: ?1 = A > 1, ?2 = B < 1. Следовательно, положение равновесия P0 неустойчиво при всех допустимых значений параметров системы (2).

6

7 Анализ на устойчивость положений равновесия

Анализ на устойчивость положений равновесия

Положение равновесия P1 (ln A; 0)

Для точки P1 система (4) принимает вид: Собственные значения матрицы системы равны: ?1 = 1 – ln A , ?2 = BAa. Положение равновесия P1 будет асимптотически устойчиво, если параметры A, B и a удовлетворяют условиям: Заметим, что, если положение равновесия P1 асимптотически устойчиво, то в системе (2) нет* положения равновесия P2.

* Нарушается условие существования точки P2: a ln A + ln B > 0.

7

8 Анализ на устойчивость положений равновесия

Анализ на устойчивость положений равновесия

Положение равновесия P2 (x*; y*)

Для точки P2 система (4) принимает вид: Собственные значения матрицы будут корнями уравнения: ?2 – ( 2 – x* – y*) ? + 1 – x* – y* + ?x*y* = 0. Положение равновесия P2 будет асимптотически устойчиво, если его координаты удовлетворяют условиям*:

* Все корни уравнения ?2 + a1? + a2 = 0 будут по модулю меньше единицы, если коэффициенты уравнения удовлетворяют условиям: 1+ a1 + a2 > 0, 1– a1 + a2 > 0, a2 < 1.

8

9 Существование и устойчивость положений равновесия

Существование и устойчивость положений равновесия

Положения равновесия

Условия существования

Характер устойчивости

P0(0;0)

Неустойчиво

P1(ln A; 0)

Асимптотически устойчиво, если a ln B + ln A < 0, 1 < A < e2

P2(x*; y*)

a ln A + ln B > 0

Асимптотически устойчиво, если

9

10 Область устойчивости P2(x*; y*)

Область устойчивости P2(x*; y*)

10

11 Динамика численности «жертвы» в отсутствии «хищника»

Динамика численности «жертвы» в отсутствии «хищника»

В отсутствии «хищника» (y(t) = 0 ?t ? 0) динамика численности «жертвы» описывается моделью Риккера*: (5) Свойства решений уравнения (5): Существует два положения равновесия P0(0) и P1(ln A). Если 1< A ? e2, то положение равновесия P1 асимптотически устойчиво. Если A > e2, то оба положения равновесия P0 и P1 неустойчивы, но существует цикл длины 2, который является устойчивым (притягиваю-щим), если A ? e?*, где ?* ? 2,526. Если A > e?* , то среди решений уравнения (5) есть цикл длины 4, для которого существует критическое значение A* параметра A такое, что при A < A* цикл длины 4 будет устойчивым. При дальнейшем возрастании значений параметра A встречаются устойчивые циклы длины 8, 16, … , 2k (k – любое натуральное число).

* Подробное исследование динамики модели (5) дано в [1].

11

12 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 1

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

12

2,5

0,3

0,5

1

2

1

(0; 0)

(0,916; 0)

------

Неуст.

Устойчиво

------

13 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 1

При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищника при t ? +?. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений).

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

13

2,5

0,3

0,5

1

2

1

(0; 0)

(0,916; 0)

------

Неуст.

Устойчиво

------

14 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 2

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

14

2,5

0,7

0,5

1

2

0

(0; 0)

(0,916; 0)

(0,849; 0,068)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

15 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 2

При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t ? +? численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (A < e, монотонное затухание отклонений).

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

15

2,5

0,7

0,5

1

2

0

(0; 0)

(0,916; 0)

(0,849; 0,068)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

16 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 3

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

16

2,5

0,7

0,5

1

2

1

(0; 0)

(0,916; 0)

(0,849; 0,068)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

17 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 3

При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t ? +? наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне. (A < e, монотонное затухание отклонений).

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

17

2,5

0,7

0,5

1

2

1

(0; 0)

(0,916; 0)

(0,849; 0,068)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

18 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 4

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

18

6

0,3

0,5

1

2

1

(0; 0)

(1,792; 0)

------

Неуст.

Устойчиво

------

19 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 4

При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника наблюдается вырождение хищника при t ? +?. Численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A ( e < A ? e2, затухающие колебания).

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

19

6

0,3

0,5

1

2

1

(0; 0)

(1,792; 0)

------

Неуст.

Устойчиво

------

20 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 5

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

20

6

0,7

0,5

1

2

0

(0; 0)

(1,792; 0)

1,432; 0,359)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

21 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 5

При любой ненулевой начальной численности жертвы в отсутствии хищника при t ? +? численность жертвы стабилизируется на равновесном уровне ln A (e < A ? e2, затухающие колебания).

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

21

6

0,7

0,5

1

2

0

(0; 0)

(1,792; 0)

1,432; 0,359)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

22 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 6

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

22

6

0,7

0,5

1

2

1

(0; 0)

(1,792; 0)

1,432; 0,359)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

23 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 6

При любой ненулевой начальной численности жертвы и хищника при t ? +? наблюдается стабилизация численности обоих видов на равновесном уровне.

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

23

6

0,7

0,5

1

2

1

(0; 0)

(1,792; 0)

1,432; 0,359)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

24 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 7

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

24

8,3

0,3

0,5

1

2

1

(0; 0)

(2,116; 0)

------

Неуст.

Неуст.

------

25 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 8

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

25

8,3

0,9

0,5

1

2

0

(0; 0)

(2,116; 0)

(1,481; 0,635)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

26 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 9

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

26

8,3

0,9

0,5

1

2

1

(0; 0)

(2,116; 0)

(1,481; 0,635)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

27 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 10

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

27

14

0,2

0,5

1

2

0

(0; 0)

(2,639; 0)

------

Неуст.

Неуст.

------

28 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 11

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

28

14

0,5

0,5

1

2

0

(0; 0)

(2,639; 0)

(2,221; 0,418)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

29 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 12

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

29

14

0,5

0,5

1

2

1

(0; 0)

(2,639; 0)

(2,221; 0,418)

Неуст.

Неуст.

Устойчиво

30 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 13

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

30

14

0,5

0,5

0,7

2

1

(0; 0)

(2,639; 0)

(2,314; 0,464)

Неуст.

Неуст.

Неустойчиво

31 Динамика видов

Динамика видов

Пример № 14

A

B

a

b

x(0)

y(0)

P0

P1

P2

31

6

0,4

2

1

2

1

(0; 0)

(1,792; 0)

(0,903; 0,889)

Неуст.

Неуст.

Неуст.

32 Литература

Литература

Якобсон М.В. О свойствах динамических систем, порождаемых отображениями вида x? Axe-?x / Моделирование биологических сообществ. Владивосток, 1975, с. 141 –162. Шапиро А.П., Луппов С.П. Рекуррентные уравнения в теории популяционной биологии. М.: Наука, 1983.

32

«Экспоненциальная модель «хищник-жертва»»
http://900igr.net/prezentacija/informatika/eksponentsialnaja-model-khischnik-zhertva-185340.html
cсылка на страницу

Без темы

778 презентаций
Урок

Информатика

130 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по информатике > Без темы > Экспоненциальная модель «хищник-жертва»