Презентация на тему «Однотипные задачи под номерами одного цвета»

Однотипные задачи под номерами одного цвета

Чтобы увидеть решение задачи, кликните по тексту. Чтобы увидеть ответ к задаче, кликните по кнопке:

• Справочный материал

Классическое определение вероятности

Где m - число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n - число всех возможных исходов.

Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных для него исходов испытания к числу всех равновозможных исходов.

Некоторые свойства и формулы

Вероятность достоверного события равна единице. Вероятность невозможного события равна нулю. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Формула сложения вероятностей совместных событий: P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A?B) 5. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A U B) =P(A) + P(B)

6. Вероятность произведения независимых событий А и В (наступают одновременно)вычисляется по формуле: P(A?B) = P(A) ? P(B). 7. Формула умножения вероятностей: P(A?B) = P(A) ? P(B/A), где P(B/A) – условная вероятность события В, при условии, что событие А наступило.

8. Формула Бернулли – формула вероятности k успехов в серии из n

испытаний

Где – число сочетаний, р – вероятность успеха, q = 1 – р – вероятность неудачи.

При подбрасывании симметричной монеты, когда р = q = ? , формула Бернулли принимает вид:

Например, вероятность выпадения орла дважды в трех испытаниях:

Некоторые методы решения задач

2. Задачи с монетами ( и игральной костью) при небольшом количестве подбрасываний удобно решать методом перебора комбинаций. Метод перебора комбинаций: – выписываем все возможные комбинации орлов и решек. Например, ОО,ОР,РО, РР. Число таких комбинаций – n; – среди полученных комбинаций выделяем те, которые требуются по условию задачи (благоприятные исходы),– m; – вероятность находим по формуле:

Большинство задач можно решить с помощью классической формулы вероятности:

•Решение задач по формуле вероятности

1. Папа, мама, сын и дочка бросили жребий – кому мыть посуду. Найдите вероятность того, что посуду будет мыть мама.

Ответ: 0,25

Решение

N = 4 – число всех элементарных исходов;

M = 1 – число благоприятных исходов (жребий выпал на маму).

Ответ: 0,25

2. Женя, Лена, Маша, Аня и Коля бросили жребий – кому идти в магазин

Найдите вероятность того, что в магазин надо будет идти Ане.

Ответ: 0,2

Решение

N = 5 – число всех возможных исходов;

m = 1 – число благоприятных исходов (в магазин идти Ане).

Ответ: 0,2

3. Фабрика выпускает сумки

В среднем на 100 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,93

Решение

N = 100 + 8 = 108 – число всех возможных исходов (всего сумок);

M = 100 – число благоприятных исходов (качественная сумка).

Ответ: 0,93

4. В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 9

подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Ответ: 0,991

Решение

N = 1000 – число всех возможных исходов (всего насосов);

M = 1000 – 9 = 991 – число благоприятных исходов (насос не подтекает).

Ответ: 0,991

5. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них

встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике.

Ответ: 0,2

Решение

N = 55 – число всех возможных исходов;

M = 11 – число благоприятных исходов (вопрос по ботанике).

Ответ: 0,2

6. На семинар приехали трое ученых из Норвегии, четверо из России и

трое из Испании. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из России.

Ответ: 0,4

Решение

N = 3+4+3=10 – число всех возможных исходов, (число всех претендентов на это, в данном случае восьмое, место);

m = 4 – число благоприятных исходов (число претендентов из России).

Ответ: 0,4

7. В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7

из США, остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.

Ответ: 0,25

Решение

N = 20 – число всех возможных исходов,(число всех претендентов на это место, причем это может быть1, 2, …, 8, последнее место);

m = 20 – (8+7)=5 – число благоприятных исходов (число претендентов из Китая)

Ответ: 0,25

8. Конкурс исполнителей проводится в 5 дней

Всего заявлено 80 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Ответ: 0,225

Решение

n = 80 – число всех возможных исходов (всех возможных порядковых номеров выступления представителя России);

M = (80-8): 4 = 18 – число благоприятных исходов (порядковых номеров, приходящихся на второй, третий , четвертый и пятый дни).

Ответ: 0,225

9. В чемпионате мира участвуют 20 команд

С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по пять команд в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 . Капитаны команд тянут по карточке. Какова вероятность того, что команда Великобритании окажется во второй группе?

Ответ: 0,25

Решение

N = 20 – число всех возможных исходов (всего карточек);

M = 5 – число благоприятных исходов (число карточек с номером 2).

Ответ: 0,25

10

Перед началом первого тура чемпионата по Бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России?

Ответ: 0,36

Решение

N = 26 – 1 = 25 – число всех возможных исходов (число соперников);

m = 10 – 1 = 9 – число благоприятных исходов (число соперников-россиян); Сам с собой он играть не будет!

Ответ: 0,36

11

Перед началом первого тура чемпионата по шахматам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 76 шахматистов, среди которых 4 участника из России, в том числе Александр Ефимов. Найдите вероятность того, что в первом туре Александр Ефимов будет играть с каким-либо шахматистом из России?

Ответ: 0,04

Решение

N = 76 – 1 = 75 – число всех возможных исходов (число соперников),

M = 4 – 1 = 3 – число благоприятных исходов (число соперников-россиян)

Ответ: 0,04

12

Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 46 теннисистов, среди которых 19 участников из России, в том числе Ярослав Исаков. Найдите вероятность того, что в первом туре Ярослав Исаков будет играть с каким-либо теннисистом из России?

Ответ: 0,4

Решение

N = 46 – 1 = 45 – число всех возможных исходов (равно числу соперников)

M = 19 – 1 = 18 – число благоприятных исходов (при которых соперником будет россиянин)

Ответ: 0,4

Однотипные задачи под номерами одного цвета

Чтобы увидеть решение задачи, кликните по тексту. Чтобы увидеть ответ к задаче, кликните по кнопке:

3. При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно

посчитать по формуле

Аналогично при бросании кубика

4. Комбинаторный метод решения можно применять при подсчете количества исходов с помощью формул комбинаторики.

•Решение задач с игральной костью

13. Бросают игральную кость. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее 4 очков.

Ответ: 0,5

Решение

N = 6 – число всех возможных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6);

M = 3 – число благоприятных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3).

Ответ: 0,5

14

Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало нечетное число очков?

Ответ: 0,5

Решение

N = 6 – число всех возможных исходов (выпадение чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6),

M = 3 – число благоприятных исходов (выпадение чисел 1, 3, 5)

Ответ: 0,5

15

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

I способ

Ответ: 0,14

Решение

N = 6*6 = 36 – число всех возможных исходов (выпадение чисел на двух кубиках: {1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} … {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6});

M = 5 – число благоприятных исходов (выпадение чисел {2,6} {3,5} {4,4} {5,3} {6,2}).

II способ (табличный)

1

2

3

4

5

6

1

2

M = 5 – число благоприятных исходов.

3

4

5

6

Ответ: 0,14

2+6

3+5

4+4

5+3

6+2

16

В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет очков. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,03

Решение

M = 6 – число благоприятных исходов (в порядке убывания для удобства):

{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} 1 {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} … {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6}

{1,1} {1,2} {1,3} {1,4} {1,5} {1,6} 2 {2,1} {2,2} {2,3} {2,4} {2,5} {2,6} … {6,1} {6,2} {6,3} {6,4} {6,5} {6,6} …

Ответ: 0,03

{6,6,4} {6,5,5} {6,4,6} {5,6,5} {5,5,6} {4,6,6}

17

Лена дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 11 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 6 очков.

Ответ: 0,5

Решение

При бросании кубика 11 очков можно получить двумя способами 5+6 или 6+5 .

N = 2 – число всех возможных исходов, {5,6} {6,5};

M = 1 – число благоприятных исходов, {5,6}.

Ответ: 0,5

18

Женя дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 5 очков. Найдите вероятность того, что при втором броске выпало 2 очка.

Ответ: 0,25

Решение

При бросании кубика 5 очков можно получить четырьмя способами.

N = 4 – число всех возможных исходов {1,4} {2,3} {3,2} {4,1};

M = 1 – число благоприятных исходов, {3,2}.

Ответ: 0,25

19

Наташа и Вика играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что Наташа проиграла.

Ответ: 0,5

Решение

При бросании кубика 9 очков можно получить четырьмя способами: 3+6 , 4+5, 5+4, 6+3;

N = 4 – число всех возможных исходов, {3,6} {4,5} {5,4} {6,3};

m = 2 – число исходов, при которых у Наташи (на первом кубике) выпало меньше очков, чем у Вики.

Ответ: 0,5

Однотипные задачи под номерами одного цвета

Чтобы увидеть решение задачи, кликните по тексту. Чтобы увидеть ответ к задаче, кликните по кнопке:

3. При решении задач с монетами число всех возможных исходов можно

посчитать по формуле

Аналогично при бросании кубика

4. Комбинаторный метод решения можно применять при подсчете количества исходов с помощью формул комбинаторики.

•Решение задач с монетами

21.В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.

Решение

Ответ: 0,5

I способ (метод перебора комбинаций)

Монету бросают 2 раза. Обозначения: О – выпадение орла, Р – выпадение решки, {О Р}- выпадение орла в первом броске, решки – во втором.

{О о} {о р} {р о} {р р}

N = 4 – число всех возможных исходов:

M = 2 – число благоприятных исходов (выпадение орла ровно один раз)

II способ (дерево возможных вариантов)

Р

О

n = 2

m = 4

Р

О

Р

О

Iiiспособ

Р(С) = Р(АUВ) = Р(А) + Р(В), где событие С – орел выпал в двух испытаниях ровно 1 раз; событие А – орел выпал в первом испытании и не выпал во втором; событие В – орел выпал во втором испытании и не выпал в первом;

Р = ?– вероятность выпадения орла в одном испытании, q =1 – ? = ? – вероятность не выпадения орла (выпадения решки).

Ivспособ

По формуле Бернулли

Вероятность одного успеха (к=1) в двух испытаниях (n=2), если р = ? – вероятность выпадения орла в одном испытании, q =1 – ? = ? – вероятность не выпадения орла (выпадения решки).

Или по второй формуле:

Ответ: 0,5

22

Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Меркурий» играет по очереди с командами «Марс», «Юпитер», «Уран». Найти вероятность того, что во всех матчах право владеть мячом получит команда «Меркурий».

Ответ: 0,125

Решение

I способ (перебора комбинаций)

Монету бросают 3 раза. Для команды «Меркурий» возможные исходы в трех бросках ?

{О о о} {р о о} {о р о} {о о р} {р р о} {р о р} {о р р} {р р р}

N = 8 – число всех возможных исходов;

M = 1 – число благоприятных исходов (выпадение орла в трех бросках).

II способ

По формуле Бернулли вероятность трех успехов (к = 3) в трех испытаниях (n = 3):

III способ

Применим правило умножения вероятностей независимых событий. Вероятность выпадения орла в каждом случае равна ?. Значит, вероятность того, что орел выпадет все три раза, равна:

Ответ: 0,125

23

Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первой владеть мячом. Команда «Байкал» играет по очереди с командами «Амур», «Енисей», «Иртыш». Найти вероятность того, что команда «Байкал» будет первой владеть мячом только в игре с «Амуром».

Ответ: 0,125

{О о о} {р о о} {о р о} {о о р} {р р о} {р о р} {о р р} {р р р}

Решение

Монету бросают 3 раза. Для команды «Байкал» возможные исходы в трех бросках ?

N = 8 – число всех возможных исходов;

M = 1 – число благоприятных исходов (выпадение орла в первой игре).

Ответ: 0,125

24

У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в одном кармане.

Ответ: 0,4

Решение

Iспособ (метод перебора вариантов):

{234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}

{123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156}

Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4; двухрублевые – 5, 6. n = 20 – число всех исходов Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания, чтобы не пропустить комбинацию) ?

M = 8 – число благоприятных исходов (комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) не взяты или взяты обе)

Iiспособ (комбинаторный):

Р(С) = Р(А) + Р(В), где событие С – двухрублевые монеты лежат в одном кармане; событие А – двухрублевые монеты остались в кармане, а переложил рублевые; событие В – переложил обе двухрублевые монеты и одну рублевую; события А и В несовместные.

III способ (непосредственного вычисления вероятности):

Монеты окажутся в одном кармане, если переложены три рублевые или две рублевые и одна двухрублевая монета. Переложить их последовательно можно четырьмя способами (обозначения: рублевая – 1, двухрублевая – 2) :

1 1 1

1 2 2

2 2 1

2 1 2

Ответ: 0,4

25

У Пети в кармане лежат шесть монет: четыре монеты по рублю и две монеты по два рубля. Петя, не глядя, переложил какие-то три монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что теперь две двухрублевые монеты лежат в разных карманах.

Ответ: 0,6

Решение

{234} {235} {236} {245} {246} {256} {345} {346} {356} {456}

{123} {124} {125} {126} {134} {135} {136} {145} {146} {156}

Iспособ (метод перебора вариантов):

Пронумеруем монеты: рублевые – 1, 2, 3, 4; двухрублевые – 5, 6. n = 20 – число всех исходов Взять три монеты можно так: (числа в порядке возрастания, чтобы не пропустить комбинацию) ?

M = 12 – число благоприятных исходов (комбинации, в которых монеты 5 и 6 (двухрублевые) взяты по одной)

Iiспособ (комбинаторный)

Событие А - переложили две рублевые монеты и одну двухрублевую.

III способ

Монеты окажутся в разных карманах, если переложены две рублевые и одна двухрублевая монета. Переложить их последовательно можно тремя способами:,

1 1 2

1 2 1

2 1 1

Ответ: 0,6

26

Найти вероятность того, что произведение трех последних цифр случайно выбранного телефонного номера четно .

Решение

Ответ: 0,875

I способ

II способ

M = (5 ? 5 ? 5)? 3 + (5 ? 5 ? 5)? 3 + (5 ? 5 ? 5) = 875 (5 ? 5 ? 5)? 3 – количество исходов, когда одна цифра четная, а две другие нечетные (для каждой цифры исходов – 5, вариантов расположения – 3). (5 ? 5 ? 5)? 3 – количество исходов, когда две цифры четные, а одна – нечетная, 5 ? 5 ? 5 – количество исходов, когда все три цифры – четные. N = 10 ? 10 ? 10 = 1000 – количество всех исходов ( для каждой цифры – 10)

III способ

IV способ

Выбор четной или нечетной цифры можно сравнить с выпадением орла или решки при подбрасывании монеты несколько раз с такой же вероятностью. Тогда выбор трех нечетных цифр аналогичен выпадению трех решек в трех испытаниях

Ответ: 0,875

Задачи на сложение и умножение вероятностей

27. Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,7. Найдите вероятность того, что биатлонист первые четыре раза попал в мишени, а последний раз промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: 0,07

Решение

Вероятность попадания в мишень равна 0,7; вероятность промаха равна 1 – 0,7 = 0,3.

Т. к. результаты выстрелов – независимые события, вероятность того, что биатлонист четыре раза попал в мишень, а один раз промахнулся, равна:

Р= 0,7 ? 0,7 ? 0,7 ? 0,7 ? 0,3 ? 0,07

Ответ: 0,07

28

В магазине стоят три платежных автомата. Каждый из них может быть неисправен с вероятностью 0,1. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

Ответ: 0,999

Решение

Тогда Р(А)= 1 - 0,001 = 0,999

Ответ: 0,999

29

В интернет-магазине три телефонных оператора. В случайный момент оператор занят разговором с клиентом с вероятностью 0,7 независимо от других. Клиент звонит в магазин. Найдите вероятность того, что в этот момент хотя бы один оператор не занят.

Ответ: 0,657

Решение

I способ

Событие А – не занят хотя бы один оператор, т.е. не занят один, два или все три оператора.

Р(а) = (0,3 ? 0,7 ? 0,7) ? 3 + (0,3 ? 0,3 ? 0,7) ? 3 + + 0,3 ? 0,3 ? 0,3 = 0,657

II способ

Ответ: 0,657

.?

30

В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы . Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.

Ответ: 0,3

Решение

Ответ: 0,3

31

В классе 28 учащихся, среди них Наташа и Владик - брат и сестра. Для проведения медосмотра класс случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найти вероятность того, что Владик и Наташа попали в разные группы.

Решение

32

В группе иностранных туристов 51 человек. Среди них два испанца. Для посещения музея группу делят на две подгруппы – 25 и 26 человек – случайным образом. Найти вероятность того, что оба испанца окажутся в одной подгруппе.

Решение