Неметаллы
<<  1. Ряд Флейта — общее название для ряда инструментов из группы деревянных духовых  >>
Функциональные ряды
Функциональные ряды
Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом
Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом
Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то
Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то
3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III
3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III
Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R
Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R
Коэффициент (4) определяется единственным образом функциями: (5)
Коэффициент (4) определяется единственным образом функциями: (5)
Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1) чему равен
Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1) чему равен
f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по
f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по
т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на
т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на
Если f(x) - четная функция на отрезке [-
Если f(x) - четная функция на отрезке [-
Разложение функции в неполный ряд Фурье
Разложение функции в неполный ряд Фурье
б) нечетная – разложение по синусам: Тогда функция будет представима в
б) нечетная – разложение по синусам: Тогда функция будет представима в
в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция
в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция
на Упр: та же функция, продолжение - четное
на Упр: та же функция, продолжение - четное
Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье
Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье
Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем
Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем
Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда
Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда

Презентация: «Функциональные ряды». Автор: student. Файл: «Функциональные ряды.ppt». Размер zip-архива: 134 КБ.

Функциональные ряды

содержание презентации «Функциональные ряды.ppt»
СлайдТекст
1 Функциональные ряды

Функциональные ряды

2 Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом

Опр-е: Выражение f1(x)+f2(x)+…+fn(x)+… (1) называется рядом

относительно переменной x. Придавая переменой x некоторое значение x0,x1 и т.д., мы будем получать те или иные числовые ряды. В зависимости от значения, принимающего переменной x, численный ряд может оказаться сходящимся или расходящимся. Опр-е: Совокупность всех значений переменной x, для которых ряд (1) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Опр-е: Функциональный ряд вида a0+a1x+a2x2+…+anxn+… (2), где а0, а1, а2… не зависят от переменой x, называется степенным рядом относительно переменных x. Области сходимости степенных рядов устроены довольно просто. Они описываются следующей теоремой.

3 Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то

Теорема Абеля: если степенной ряд (2) сходится при некотором x=x0,то

он сходится абсолютно при всех значениях x, для которых . Наоборот, если ряд (2) расходится при x=x0, он расходится при всех значениях x, для которых Для каждого степенного ряда существует такое вещественное неотрицательное число R, что при |x|<R ряд (2) сходится, а при |x|>R расходится. R-радиус сходимости. Опр-е: Область значений переменной x, удовлетворяющих соотношению –R< x <R называется в случае вещественного ряда его интервалом сходимости. 1) Степенные ряды вида (2), которые сходятся лишь в точке х=0 относятся к рядам первого класса. # 1+x+1!x2+…+n!xn+… 2) Степенные ряды вида (2), которые сходятся на всем множестве действительных чисел, относятся к рядам второго класса. #

4 3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III

3) Ряды вида 2 не принадлежащие к I и II классам относятся к рядам III

классам. Теорема: Пусть для ряда (2) существует и отличен от нуля предел: Тогда R= # Составим предел отношения Интервал сходимости: -3<x<3. Ряды по степеням разности х-а

5 Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R

Интервалом сходимости степенного ряда (3) является интервал длинной 2R

с центром в точке x=a. Разложение функций в степенные ряды Ряд Тэйлора Если функция F(x) является суммой ряда (3), то в этом случае говорят, что F(x) разлагается в ряд по степеням (x-a) Мы имеем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых членов степенного ряда (т.е. многочленов). Если функция F(x) на интервале (х0-R; х0+R) располагается в степенной ряд F(х)= (4) то это разложение единственно.

6 Коэффициент (4) определяется единственным образом функциями: (5)

Коэффициент (4) определяется единственным образом функциями: (5)

Подставляя выражения (5) в равенство (4) получаем ряд Тейлора – разложением функции F(х) по степеням разности (х-а). Пример: Найти коэффициент а4 в разложении функции f(x)=x3-1 по степеням разности (x-1). f’(x)=3x2 f’’(x)=6x f’’’(x)=6 fIV(x)=0 a4=0

7 Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1) чему равен

Пример: f(x) = 4x5-10x3+3 разложить по степеням (x-1) чему равен

коэффициент при (x-1)2. Порядок 5, значит слагаемых будет 6. F’(x)=20х4-30х2 F’’(x)=80х3-60х F’’(1)=80-30=20 Ряды Фурье Опр-е: Тригонометрический ряд вида: (8) где а0,аn,bn (n=1,2 и т.д.) – постоянные числа, называемые коэффициентами тригонометрического ряда, называется рядом Фурье ф-ции f(x).

8 f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по

f(x) – периодическая с периодом Коэффициенты ряда (8) определяются по

формулам: Достаточные условия представимости функции ряда Фурье. Пусть функция f(x) на отрезке [- ; ] удовлетворяет условиям Дирихле: 1. Это значит, что функция на этом отрезке непрерывна или кусочно – непрерывна (т.е. имеет конечное число точек разрыва первого рода) 2. Монотонна или кусочно-монотонна.

9 т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на

т. Дирихле: Если функция f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на

отрезке [-?; ?], то ряд Фурье этой функции сходится на всем отрезке и сумма этого ряда равна: значению функции f(x) в точках непрерывности функции, из интервала (-?; ?) (f(x0-0)+f(x0+0))/2 во всех точках разрыва х0. (f(?-0)+f(-?+0))/2– на концах отрезка [-?; ?].

10 Если f(x) - четная функция на отрезке [-

Если f(x) - четная функция на отрезке [-

; ?], т.е. f(-x)=f(x); xє [-?; ?], то ее коэффициенты Фурье bn =0 коэффициент an – можно вычислить по формулам (9). Если f(x) нечетная функция то коэффициент an =0. Таким образом, если функция четная, то ее ряд Фурье содержит только cos(nx) (неполный ряд по cos(nx)), а если не четная, то содержится только sin(nx) (неполный по sin(nx)).

11 Разложение функции в неполный ряд Фурье

Разложение функции в неполный ряд Фурье

Разложения будет неполным (говорят о неполном ряде Фурье), если исходящая функция является : а) четной –разложение по косинусам: Тогда функция будет представима в виде ряда

12 б) нечетная – разложение по синусам: Тогда функция будет представима в

б) нечетная – разложение по синусам: Тогда функция будет представима в

виде ряда

13 в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция

в) определенная на полуинтервале т.е. на или В этом случае функция

продолжается на другой полуинтервал и просчитываются соответствующие коэффициенты (ak или bk). Пример: Разложить функцию f(x)=x на [0;?] в ряд Фурье по синусам(как нечетную) Зададим продолжение функции на интервале [0;?] как нечетную функцию.

14 на Упр: та же функция, продолжение - четное

на Упр: та же функция, продолжение - четное

15 Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье

Нахождение суммы числового ряда с помощью разложения в ряд Фурье

С помощью имеющегося разложения в ряд Фурье можно вычислять значения сумм числовых рядов, соответствующих данному ряду. Пример: Дана функция Вычислив коэффициенты ряда Фурье, имеем: Найти сумму числового ряда, используя это разложение:

16 Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем

Второе слагаемое ряда Фурье содержит нужную нам сумму, но с множителем

cos(2k-1)x, который является мнимым. Пусть cos(2k-1)x=1, тогда: cos(2k-1)x=1 (2k-1)x=0 x=0 в этой точке функция f(x) определена и значит по теореме Дирихле сумма ряда равна значению функции в этой точке: S=f(x), f(0)=-x|0=-0=0 Рассчитаем третье слагаемое: Подставим все найденные значения в разложение:

17 Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда

Упр: с помощью разложения функции f(x)=x2 найти сумму числового ряда

«Функциональные ряды»
http://900igr.net/prezentacija/khimija/funktsionalnye-rjady-210648.html
cсылка на страницу

Неметаллы

12 презентаций о неметаллах
Урок

Химия

65 тем
Слайды
900igr.net > Презентации по химии > Неметаллы > Функциональные ряды