Десять способов решения

Десять способов решения

Квадратных уравнений

4х?+х-5=0

3х?-4х+7=0

Х?+2х-7=0

(Х-5)(2х+4)=0

Х?+2х=0

Выполнил: Сизиков Станислав Учитель: Курилова М.Д.

Введение

Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений. Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная с 8 класса. А как же зарождалась и развивалась история решения квадратных уравнений.

История квадратных уравнений

Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения у Диафанта. Квадратные уравнения в Индии. Квадратные уравнения у Ал-Хорезми. Квадратные уравнения в Европе XII-XVII вв.

Немного о квадратных уравнениях

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax? + bx + c =0, где х-переменная, a,b и c – некоторые числа, причем а?0. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений.

Десять способов решения квадратных уравнений

Разложение левой части на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение с помощью Теоремы Виета. Решение способом «переброски». Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Графическое решение. Решение с помощью циркуля и линейки. Решение с помощью номограммы. Геометрический способ решения.

Разложение на множители

1.Решим уравнение х? + 10х – 24=0. Разложим левую часть на множители: х? + 10х – 24=х? +12х – 24 –2х = х(х+12) – 2(х+12)= =(х+12)(х-2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х+12)(х-2)=0. Так как уравнение равно нулю, то - по крайней мере один из его множителей равен нулю.Поэтому х=2, а также х=-12. Эти числа и являются корнями уравнения х?+10х-24=0.

Метод выделения полного квадрата

Поясним этот метод на примере: Решим уравнение х?+6х-7=0. х?+6х-7=0. (х?+2х*3+9)-9-7=0, (х+3)? – 16=0, (х+3)= ± 4, х+3=4 или х+3=-4, х=4-3 х=-4-3, х=1. х=-7. Метод выделения полного квадрата позволяет вывести формулу корней квадратного уравнения ax?+bx+c=0, а>о или а<0.

Решение по формуле

Умножим последовательно обе части уравнения ах?+bx+c=0 на 4а и имеем: 4a?x?+4abx+4ac=0, ((2ax)?+2axb+b?)-b?-4ac, (2ax+b)?= b?-4ac,

Решение уравнений с помощью теоремы Виета

Как известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид x?+px+q=0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид

Решение способом «переброски»

Рассмотрим квадратное уравнение ax?+bx+c=0,где а>0 или а<0. Умножая обе части уравнения на а, получаем уравнение a?x?+abx+ac=0. Пусть ax=y, откуда x=y/a; тогда приходим к уравнению y?+by+ac=0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1=y1/a, x2=y2/a.

Свойства коэффициентов

Пусть дано квадратное уравнение ax?+bx+c=0, где а?0 1. Если a+b+c=0, (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то,

2. Если а-b+c=0, или b=a+c, то,

Графическое решение квадратных уравнений

Если в уравнении x?+px+q=0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x?=-px-q. Построим графики зависимости y=x? и y=-px-q. График первой зависимости-парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости-прямая. Возможны следующие случаи – прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение;

-Прямая и парабола не имеют общих точек, т.Е. Квадратное уравнение не

имеет корней.

y

1

Х

Х1

0

1

Х2

Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

Графический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Предлагаем следующий способ c помощью линейки и циркуля.

y

Х

Решение с помощью номограммы

Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма позволяет, не решая, определить корни уравнения.

q

p

O

B

E

F

D

H

А

С

Геометрический способ решения

В древности когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали геометрически.

C

D

6,25

2,5х

6,25

Х?

2,5х

2,5х

6,25

2,5х

6,25

A

B

Заключение

Может быть математика где-то там в иных измерениях записана вся и мы лишь достаем все новые факты из дыры с мирами?... Кто его знает; но выходит, что если физикам, химикам, экономистам или археологам понадобится новая модель устройства мира, эту модель всегда можно взять с полки, куда её триста лет назад положили математики, либо собрать из деталей, лежащих на той же полке…