№ | Слайд | Текст |
1 |
 |
Десять способов решенияКвадратных уравнений 4х?+х-5=0 3х?-4х+7=0 Х?+2х-7=0 (Х-5)(2х+4)=0 Х?+2х=0 Выполнил: Сизиков Станислав Учитель: Курилова М.Д. |
2 |
 |
ВведениеКвадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных уравнений. Мы все умеем решать квадратные уравнения, начиная с 8 класса. А как же зарождалась и развивалась история решения квадратных уравнений. |
3 |
 |
История квадратных уравненийКвадратные уравнения в Древнем Вавилоне. Квадратные уравнения у Диафанта. Квадратные уравнения в Индии. Квадратные уравнения у Ал-Хорезми. Квадратные уравнения в Европе XII-XVII вв. |
4 |
 |
Немного о квадратных уравненияхКвадратным уравнением называется уравнение вида ax? + bx + c =0, где х-переменная, a,b и c – некоторые числа, причем а?0. В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Имеется десять способов решения квадратных уравнений. |
5 |
 |
Десять способов решения квадратных уравненийРазложение левой части на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по формуле. Решение с помощью Теоремы Виета. Решение способом «переброски». Свойства коэффициентов квадратного уравнения. Графическое решение. Решение с помощью циркуля и линейки. Решение с помощью номограммы. Геометрический способ решения. |
6 |
 |
Разложение на множители1.Решим уравнение х? + 10х – 24=0. Разложим левую часть на множители: х? + 10х – 24=х? +12х – 24 –2х = х(х+12) – 2(х+12)= =(х+12)(х-2). Следовательно, уравнение можно переписать так: (х+12)(х-2)=0. Так как уравнение равно нулю, то - по крайней мере один из его множителей равен нулю.Поэтому х=2, а также х=-12. Эти числа и являются корнями уравнения х?+10х-24=0. |
7 |
 |
Метод выделения полного квадратаПоясним этот метод на примере: Решим уравнение х?+6х-7=0. х?+6х-7=0. (х?+2х*3+9)-9-7=0, (х+3)? – 16=0, (х+3)= ± 4, х+3=4 или х+3=-4, х=4-3 х=-4-3, х=1. х=-7. Метод выделения полного квадрата позволяет вывести формулу корней квадратного уравнения ax?+bx+c=0, а>о или а<0. |
8 |
 |
Решение по формулеУмножим последовательно обе части уравнения ах?+bx+c=0 на 4а и имеем: 4a?x?+4abx+4ac=0, ((2ax)?+2axb+b?)-b?-4ac, (2ax+b)?= b?-4ac, |
9 |
 |
Решение уравнений с помощью теоремы ВиетаКак известно, приведенное квадратное уравнение имеет вид x?+px+q=0. (1) Его корни удовлетворяют теореме Виета, которая при а=1 имеет вид |
10 |
 |
Решение способом «переброски»Рассмотрим квадратное уравнение ax?+bx+c=0,где а>0 или а<0. Умножая обе части уравнения на а, получаем уравнение a?x?+abx+ac=0. Пусть ax=y, откуда x=y/a; тогда приходим к уравнению y?+by+ac=0, равносильному данному. Его корни найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х1=y1/a, x2=y2/a. |
11 |
 |
Свойства коэффициентовПусть дано квадратное уравнение ax?+bx+c=0, где а?0 1. Если a+b+c=0, (т. е. сумма коэффициентов равна нулю), то, 2. Если а-b+c=0, или b=a+c, то, |
12 |
 |
Графическое решение квадратных уравненийЕсли в уравнении x?+px+q=0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим x?=-px-q. Построим графики зависимости y=x? и y=-px-q. График первой зависимости-парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости-прямая. Возможны следующие случаи – прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения; прямая и парабола могут касаться (только одна общая точка),т.е.уравнение имеет одно решение; |
13 |
 |
-Прямая и парабола не имеют общих точек, т.Е. Квадратное уравнение неимеет корней. y 1 Х Х1 0 1 Х2 |
14 |
 |
Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейкиГрафический способ решения квадратных уравнений с помощью параболы неудобен. Предлагаем следующий способ c помощью линейки и циркуля. y Х |
15 |
 |
Решение с помощью номограммыЭто старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных уравнений. Номограмма позволяет, не решая, определить корни уравнения. q p O B E F D H А С |
16 |
 |
Геометрический способ решенияВ древности когда геометрия была более развита, чем алгебра, квадратные уравнения решали геометрически. C D 6,25 2,5х 6,25 Х? 2,5х 2,5х 6,25 2,5х 6,25 A B |
17 |
 |
ЗаключениеМожет быть математика где-то там в иных измерениях записана вся и мы лишь достаем все новые факты из дыры с мирами?... Кто его знает; но выходит, что если физикам, химикам, экономистам или археологам понадобится новая модель устройства мира, эту модель всегда можно взять с полки, куда её триста лет назад положили математики, либо собрать из деталей, лежащих на той же полке… |
«Десять способов решения» |